Dynamické škálování - Dynamic scaling

Dynamické škálování (někdy známé jako škálování podle Family-Vicseka ) je lakmusový test, který ukazuje, zda vyvíjející se systém vykazuje vlastní podobnost . Obecně se říká, že funkce vykazuje dynamické škálování, pokud splňuje:

${\ Displaystyle f (x, t) \ sim t^{\ theta} \ varphi \ left ({\ frac {x} {t^{z}}} \ right).}$

Zde je exponent stanoven rozměrovým požadavkem . Číselná hodnota by měla zůstat neměnná, přestože měrná jednotka se nějakým faktorem změní, protože jde o bezrozměrnou veličinu. ${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle [f] = [t^{\ theta}]}$${\ displaystyle f/t^{\ theta}}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle \ varphi}$

Mnoho z těchto systémů se vyvíjí podobným způsobem v tom smyslu, že data získaná ze snímku v libovolném pevném čase jsou podobná příslušným datům převzatým ze snímku jakéhokoli dřívějšího nebo pozdějšího času. To znamená, že systém je v různých dobách podobný sobě. Lakmusový test takové vlastní podobnosti zajišťuje dynamické škálování.

Dějiny

Tamás Vicsek a Fereydoon Family poprvé navrhli myšlenku dynamického škálování v kontextu difúze omezené agregace ( DLA ) klastrů ve dvou dimenzích. Forma jejich návrhu na dynamické škálování byla:

${\ Displaystyle f (x, t) \ sim t^{-w} x^{-\ tau} \ varphi \ left ({\ frac {x} {t^{z}}} \ right),}$

kde exponenty splňují následující vztah:

${\ Displaystyle w = (2- \ tau) z.}$

Test dynamického škálování

V takových systémech můžeme definovat určitou časově závislou stochastickou proměnnou . Máme zájem o výpočet rozdělení pravděpodobnosti v různých okamžicích času, tj . Číselná hodnota a typická nebo střední hodnota se obecně mění v průběhu času. Otázkou je: co se stane s odpovídajícími bezrozměrnými proměnnými? Pokud se změní číselné hodnoty rozměrných veličin, ale odpovídající bezrozměrné veličiny zůstanou neměnné, můžeme tvrdit, že snímky systému v různých časech jsou podobné. Když k tomu dojde, řekneme, že systém je sobě podobný. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x, t)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$

Jedním ze způsobů ověření dynamického škálování je vykreslení bezrozměrných proměnných jako funkce dat extrahovaných v různých různých časech. Pokud se tedy všechny grafy vs získané v různých časech zhroutí na jednu univerzální křivku, pak se říká, že systémy v různé době jsou podobné a řídí se dynamickým škálováním. Myšlenka kolapsu dat je hluboce zakořeněná v Buckinghamově větě Pi . V zásadě lze takové systémy nazvat časovou podobností, protože stejný systém je podobný v různých časech. ${\ displaystyle f/t^{\ theta}}$${\ Displaystyle x/t^{z}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$

Příklady

Mnoho jevů zkoumaných fyziky není statických, ale vyvíjí se pravděpodobnostně s časem (tj. Stochastický proces ). Samotný vesmír je možná jedním z nejlepších příkladů. Rozšiřuje se od Velkého třesku . Podobně i růst sítí, jako je internet, je stále rostoucí systém. Dalším příkladem je degradace polymeru, kde k degradaci nedochází mrknutím oka, ale spíše po poměrně dlouhou dobu. K šíření biologických a počítačových virů také nedochází přes noc.

Mnoho dalších zdánlivě nesourodých systémů, u nichž bylo zjištěno, že vykazují dynamické škálování. Například:

• kinetika agregace popsaná Smoluchowského koagulační rovnicí ,
• komplexní sítě popsané modelem Barabasi – Albert ,
• kinetická a stochastická sada Cantor ,
• růstový model v Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) univerzálnost třídy; jeden zjistil, že šířka povrchu vykazuje dynamické škálování.${\ displaystyle W (L, t)}$
• distribuce velikosti plochy bloků vážené planární stochastické mřížky (WPSL) také vykazuje dynamické škálování.

Reference