Elementární počet: Nekonečně malý přístup -Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach

Elementary Calculus: Infinitesimal approach je učebnice od H. Jerome Keislera . Podtitul se zmiňuje o nekonečně malých číslech hyperreálného číselného systému Abrahama Robinsona a někdy je uváděn jako přístup využívající nekonečně malá . Kniha je k dispozici volně online a v současné době ji vydává společnost Dover.

Učebnice

Keislerova učebnice vychází z Robinsonovy konstrukce hyperreálných čísel . Keisler také vydal pro instruktory doprovodnou knihu Foundations of Infinitesimal Calculus , která pokrývá základní materiál hlouběji.

Keisler definuje všechny základní pojmy počtu, jako je spojitost (matematika) , derivace a integrál pomocí nekonečně malých čísel . Obvyklé definice z hlediska technik ε – δ jsou uvedeny na konci kapitoly 5, aby byl umožněn přechod na standardní sekvenci.

Keisler ve své učebnici použil pedagogickou techniku ​​mikroskopu s nekonečným zvětšením, aby graficky znázorňoval odlišná hyperreálná čísla nekonečně blízko sebe. Podobně se k znázornění nekonečných čísel používá dalekohled s nekonečným rozlišením.

Když člověk zkoumá křivku, řekněme graf ƒ , pod lupou, její zakřivení klesá úměrně se zvětšovací schopností čočky. Podobně mikroskop s nekonečným zvětšením transformuje nekonečně malý oblouk grafu ƒ na přímku až do nekonečně malé chyby (viditelné pouze při použití „mikroskopu“ s vyšším zvětšením). Derivace ƒ je pak ( standardní část ) sklonu této přímky (viz obrázek).

Funkce standardní části „zaokrouhlí“ konečný hyperreal na nejbližší reálné číslo. „Nekonečně malý mikroskop“ se používá k zobrazení nekonečně malého sousedství standardního skutečného.

Mikroskop se tedy používá jako zařízení při vysvětlování derivátu.

Recepce

Kniha byla poprvé přezkoumána Errettem Bishopem , známým jeho prací v konstruktivní matematice. Bishopova recenze byla přísně kritická; viz Kritika nestandardní analýzy . Krátce poté Martin Davis a Hausner zveřejnili podrobnou příznivou recenzi, stejně jako Andreas Blass a Keith Stroyan . Keislerova studentka K. Sullivanová v rámci své disertační práce provedla kontrolovaný experiment zahrnující 5 škol, který zjistil, že Elementární počet má výhody oproti standardní metodě výuky počtu. Navzdory výhodám, které popisuje Sullivan, drtivá většina matematiků ve své výuce nepřijala nekonečně malé metody. Katz a Katz v poslední době kladně hodnotí průběh počtu podle Keislerovy knihy. O'Donovan také popsal své zkušenosti s výukou počtu pomocí nekonečně malých čísel. Jeho počáteční úhel pohledu byl kladný, ale později zjistil pedagogické potíže s přístupem k nestandardnímu počtu, který tento text a další.

GR Blackley poznamenal v dopise Prindlovi, Weberovi a Schmidtovi o Elementary Calculus: An Approach using Infinitesimals : „Takové problémy, které by mohly nastat s knihou, budou politické. Je revoluční. Revoluce zřídka vítá zavedená strana, ačkoli revolucionáři často jsou. "

Hrbacek píše, že definice spojitosti , derivace a integrálu musí být implicitně zakotveny v metodě ε – δ v Robinsonově teoretickém rámci, aby se definice rozšířily o nestandardní hodnoty vstupů, přičemž tvrdí, že naděje, že by bylo možné provést nestandardní počet bez ε – δ nemohly být metody plně realizovány. Błaszczyk a kol. podrobně popsat užitečnost mikrokontinuity při vývoji transparentní definice jednotné kontinuity a charakterizovat Hrbačkovu kritiku jako „pochybný nářek“.

Princip přenosu

Mezi prvním a druhým vydáním Elementárního počtu byla velká část teoretického materiálu, který byl v první kapitole, přesunuta do epilogu na konci knihy, včetně teoretických základů nestandardní analýzy.

Ve druhém vydání Keisler zavádí princip rozšíření a princip přenosu v následující podobě:

Každé skutečné prohlášení, které platí pro jednu nebo více konkrétních skutečných funkcí, platí pro hyperrealistická přirozená rozšíření těchto funkcí.

Keisler poté uvádí několik příkladů skutečných prohlášení, na která se tato zásada vztahuje:

• Uzavření zákon pro sčítání: pro všechny x a y , součet x + y je definován.
• Komutativní zákon pro sčítání: x + y = y + x .
• Pravidlo pro pořadí: pokud 0 < x < y, pak 0 <1/ y <1/ x .
• Dělení nulou není nikdy povoleno: x /0 není definováno.
• Algebraické identity: .${\ Displaystyle (xy)^{2} = x^{2} -2xy+y^{2}}$
• Trigonometrické identity: .${\ Displaystyle \ sin ^{2} x+\ cos ^{2} x = 1}$
• Pravidlo pro logaritmy: Pokud x > 0 a y > 0, pak .${\ Displaystyle \ log _ {10} (xy) = \ log _ {10} x+\ log _ {10} y}$

Viz také

• Kritika nestandardní analýzy
• Vliv nestandardní analýzy
• Nestandardní počet
• Inkrementální věta

Poznámky

Reference

• Bishop, Errett (1977), „Recenze: H. Jerome Keisler, Elementární počet“ , Bull. Amer. Matematika. Soc. , 83 : 205–208, doi : 10,1090/s0002-9904-1977-14264-x
• Blass, Andreas (1978), „Review: Martin Davis, Applied nonstandard analysis, and KD Stroyan and WAJ Luxemburg, Introduction to the theory of infinitesimals, and H. Jerome Keisler, Foundations of infinitesimal calculus“ , Bull. Amer. Matematika. Soc. , 84 (1): 34–41, doi : 10,1090/S0002-9904-1978-14401-2

Blass píše: „Mám podezření, že mnoho matematiků uchovává někde vzadu v mysli vzorec pro délku oblouku (a rychle zapisuje dx, než jej zapíše )“ (str. 35).${\ Displaystyle \ int {\ sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}}$

„Často, jako ve výše uvedených příkladech, je nestandardní definice konceptu jednodušší než standardní definice (jak intuitivně jednodušší, tak jednodušší v technickém smyslu, například kvantifikátory nad nižšími typy nebo méně alterancí kvantifikátorů)“ (str. 37) .

"Relativní jednoduchost nestandardních definic některých konceptů elementární analýzy naznačuje pedagogickou aplikaci v prvočíselném počtu. Dalo by se využít intuitivních představ studentů o nekonečně malých číslech (které jsou obvykle velmi vágní, ale stejně tak jejich představy o skutečných číslech)" rozvíjet počet na nestandardním základě “(str. 38).

• Davis, Martin (1977), „Recenze: J. Donald Monk, Matematická logika“ , Bull. Amer. Matematika. Soc. , 83 : 1007–1011, doi : 10,1090/S0002-9904-1977-14357-7
• Davis, M .; Hausner, M (1978), "Recenze knihy. Radost nekonečně malých. Elementární kalkul J. Keislera", Mathematical Intelligencer , 1 : 168–170, doi : 10,1007/bf03023265 , S2CID  121679411.
• Hrbáček, K .; Lessmann, O .; O'Donovan, R. (listopad 2010), „Analýza pomocí ultra malých čísel“, American Mathematical Monthly , 117 (9): 801–816, doi : 10,4169/000298910x521661 , S2CID  5720030
• Hrbacek, K. (2007), „Stratified Analysis?“, In Van Den Berg, I .; Neves, V. (eds.), Síla nestandardní analýzy , Springer
• Katz, Karin Usadi; Katz, Michail G. (2010), „Kdy je 0,999 ... méně než 1?“ „ The Montana Mathematics Enthusiast , 7 (1): 3–30, arXiv : 1007.3018 , Bibcode : 2010arXiv1007.3018U , archivováno z originálu 20. července 2011
• Keisler, H. Jerome (1976), Elementary Calculus: An Approach using Infinitesimals , Prindle Weber & Schmidt, ISBN 978-0871509116
• Keisler, H. Jerome (1976), Foundations of Infinitesimal Calculus , Prindle Weber & Schmidt, ISBN 978-0871502155, vyvolány 10. ledna 2007Společník k učebnici Elementární kalkul: Přístup pomocí nekonečně malých čísel .
• Keisler, H. Jerome (2011), Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (2. vyd.), New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-48452-5
• Madison, EW; Stroyan, KD (červen – červenec 1977), „Elementary Calculus. By H. Jerome Keisler“, The American Mathematical Monthly , 84 (6): 496–500, doi : 10,2307/2321930 , JSTOR  2321930
• O'Donovan, R. (2007), „Předuniverzitní analýza“, Van Den Berg, I .; Neves, V. (eds.), Síla nestandardní analýzy , Springer
• O'Donovan, R .; Kimber, J. (2006), „Nestandardní analýza na předuniverzitní úrovni: Analýza naivní velikosti“, in Cultand, N; Di Nasso, M .; Ross, D. (eds.), Nonstandard Methods and Applications in Mathematics , Lecture Notes in Logic, 25
• Stolzenberg, G. (červen 1978), „Dopis redaktorovi“, Oznámení Americké matematické společnosti , 25 (4): 242
• Sullivan, Kathleen (1976), „Výuka elementárního počtu pomocí přístupu nestandardní analýzy“, The American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 83 (5): 370–375, doi : 10,2307/2318657 , JSTOR  2318657
• Tall, David (1980), Intuitive infinitesimals in the calculus (poster) (PDF) , Fourth International Congress on Mathematics Education, Berkeley

externí odkazy

• Kniha ve formátu PDF