Očekávaná hodnota (kvantová mechanika) - Expectation value (quantum mechanics)

V kvantové mechanice je hodnota očekávání pravděpodobnostní očekávaná hodnota výsledku (měření) experimentu. To lze chápat jako průměr všech možných výsledků měření jako vážený jejich pravděpodobností, a jako taková není nejvíce pravděpodobné hodnota měření; ve skutečnosti hodnota očekávání může mít nulovou pravděpodobnost výskytu (např. měření, která mohou poskytnout pouze celočíselné hodnoty, mohou mít neceločíselný průměr). Je to základní koncept ve všech oblastech kvantové fyziky .

Operační definice

Zvažte operátora . Očekávaná hodnota je pak v Diracově zápisu se na normalizované stavového vektoru. ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | A | \ psi \ rangle}$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$

Formalismus v kvantové mechanice

V kvantové teorii je experimentální uspořádání popsáno pozorovatelným měřením a stavem systému. Hodnota očekávání ve stavu je označena jako . ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ sigma}}$

Matematicky, je self-adjoint operátor na Hilbertově prostoru . V nejčastěji používaném případě v kvantové mechanice je čistý stav , popsaný normalizovaným vektorem v Hilbertově prostoru. Hodnota očekávání ve stavu je definována jako ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ psi} = \ langle \ psi | A | \ psi \ rangle.}$

( 1 )

Pokud se vezme v úvahu dynamika , vektor nebo operátor jsou považovány za časově závislé, v závislosti na tom, zda je použit Schrödingerův obrázek nebo Heisenbergův obrázek . Vývoj hodnoty očekávání nezávisí na této volbě. ${\ Displaystyle \ psi}$${\ displaystyle A}$

Pokud má úplnou sadu vlastních vektorů s vlastními hodnotami , pak ( 1 ) lze vyjádřit jako ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ phi _ {j}}$ ${\ displaystyle a_ {j}}$

${\ Displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ psi} = \ sum _ {j} a_ {j} | \ langle \ psi | \ phi _ {j} \ rangle |^{2}.}$

( 2 )

Tento výraz je podobný aritmetickému průměru a ilustruje fyzický význam matematického formalismu: Vlastní čísla jsou možnými výsledky experimentu a jejich odpovídající koeficient je pravděpodobnost, že k tomuto výsledku dojde; často se tomu říká pravděpodobnost přechodu . ${\ displaystyle a_ {j}}$${\ Displaystyle | \ langle \ psi | \ phi _ {j} \ rangle |^{2}}$

Obzvláště jednoduchý případ nastane, když je projekcí , a má tedy pouze vlastní čísla 0 a 1. To fyzicky odpovídá typu experimentu „ano-ne“. V tomto případě je hodnota očekávání pravděpodobnost, že experiment bude mít hodnotu „1“, a lze ji vypočítat jako ${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ psi} = \ | A | \ psi \ rangle \ |^{2}.}$

( 3 )

V kvantové teorii je také možné, aby operátor měl nediskrétní spektrum, například operátor polohy v kvantové mechanice. Tento operátor má zcela spojité spektrum s vlastními hodnotami a vlastními vektory v závislosti na souvislém parametru . Operátor konkrétně působí na prostorový vektor jako . V tomto případě lze vektor zapsat jako komplexně hodnotenou funkci na spektrum (obvykle skutečná čára). Toho je formálně dosaženo promítnutím stavového vektoru na vlastní čísla operátora, jako v diskrétním případě . Stává se, že vlastní vektory operátora polohy tvoří úplný základ pro vektorový prostor stavů, a proto dodržují vztah uzavření : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle | x \ rangle}$${\ Displaystyle X | x \ rangle = x | x \ rangle}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ textstyle \ psi (x) \ equiv \ langle x | \ psi \ rangle}$

Výše uvedené lze použít k odvození společného, ​​integrálního výrazu pro očekávanou hodnotu ( 4 ), vložením identit do vektorového vyjádření očekávané hodnoty a následným rozšířením na základě polohy:

V případě, že vztah orthonormality vektorů základny polohy redukuje dvojitý integrál na jeden integrál. Poslední řádek používá modul komplexní funkce vracející nahradit s , což je běžný substituce v kvantově mechanické integrálu. ${\ Displaystyle \ langle x | x '\ rangle = \ delta (x-x')}$${\ Displaystyle \ psi ^{*} \ psi}$${\ displaystyle | \ psi |^{2}}$

Hodnota očekávání pak může být uvedena, kde x je neomezené, jako vzorec

${\ Displaystyle \ langle X \ rangle _ {\ psi} = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \, x \, | \ psi (x) |^{2} \, dx.}$

( 4 )

Podobný vzorec platí pro operátora hybnosti v systémech, kde má spojité spektrum. ${\ displaystyle P}$

Všechny výše uvedené vzorce platí pouze pro čisté stavy . Především v termodynamice a kvantové optice jsou důležité také smíšené stavy ; ty jsou popsány pozitivním operátorem stopové třídy , statistickým operátorem nebo maticí hustoty . Očekávanou hodnotu pak lze získat jako ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ textstyle \ rho = \ sum _ {i} \ rho _ {i} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} |}$

${\ Displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ rho} = \ operatorname {Trace} (\ rho A) = \ sum _ {i} \ rho _ {i} \ langle \ psi _ {i} | A | \ psi _ {i} \ rangle = \ sum _ {i} \ rho _ {i} \ langle A \ rangle _ {\ psi _ {i}}.}$

( 5 )

Obecná formulace

Kvantové stavy jsou obecně popsány pozitivními normalizovanými lineárními funkcionály na množině pozorovatelných, matematicky často považovaných za C* algebru . Očekávaná hodnota pozorovatelného je pak dána vztahem ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ langle A \ rangle _ {\ sigma} = \ sigma (A).}$

( 6 )

Pokud algebra pozorovatelných působí na Hilbertově prostoru neredukovatelně a pokud je normální funkční , to znamená, že je v ultra slabé topologii spojitá , pak ji lze zapsat jako ${\ Displaystyle \ sigma}$

s pozitivním stopových třídy provozovatele stopových 1. Tímto způsobem se získá vzorec ( 5 ) výše. V případě čistém stavu , je výstupek na jednotkový vektor . Potom , což dává vzorec ( 1 ) výše. ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ rho = | \ psi \ rangle \ langle \ psi |}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ sigma = \ langle \ psi | \ cdot \; \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle A}$Předpokládá se, že je operátorem s vlastním nastavením. V obecném případě nebude jeho spektrum ani zcela diskrétní, ani zcela spojité. Přesto lze psát ve spektrálním rozkladu , ${\ displaystyle A}$

s měřítkem v hodnotě projektoru . Pro hodnotu očekávání v čistém stavu to znamená ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ sigma = \ langle \ psi | \ cdot \, \ psi \ rangle}$ což lze považovat za běžné zobecnění výše uvedených vzorců ( 2 ) a ( 4 ).

V nerelativistických teoriích konečného počtu částic (kvantová mechanika, v užším smyslu) jsou uvažované stavy obecně normální. V jiných oblastech kvantové teorie se však používají i nenormální stavy: objevují se například. ve formě stavů KMS v kvantové statistické mechanice nekonečně rozšířených médií a jako nabité stavy v teorii kvantového pole . V těchto případech je hodnota očekávání určena pouze obecnějším vzorcem ( 6 ).

Příklad v konfiguračním prostoru

Jako příklad uvažujme kvantově mechanickou částici v jedné prostorové dimenzi, v reprezentaci konfiguračního prostoru . Tady je Hilbertův prostor , prostor čtvercově integrovatelných funkcí na skutečné čáře. Vektory jsou reprezentovány funkcemi , nazývanými vlnové funkce . Skalární součin je dán vztahem . Vlnové funkce mají přímou interpretaci jako rozdělení pravděpodobnosti: ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = L^{2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ psi \ in {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ textstyle \ langle \ psi _ {1} | \ psi _ {2} \ rangle = \ int \ psi _ {1}^{\ ast} (x) \ psi _ {2} (x) \, dx}$

udává pravděpodobnost nalezení částice v nekonečně malém intervalu délky kolem nějakého bodu . ${\ displaystyle dx}$${\ displaystyle x}$

Jako pozorovatelný zvažte operátora polohy , který působí na vlnové funkce podle ${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle \ psi}$

Očekávaná hodnota nebo střední hodnota měření provedených na velmi velkém počtu identických nezávislých systémů bude dána vztahem ${\ displaystyle Q}$

Očekávaná hodnota existuje pouze tehdy, pokud integrál konverguje, což neplatí pro všechny vektory . Důvodem je, že operátor polohy je neomezený a musí být vybrán ze své definiční oblasti . ${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ psi}$

Obecně lze očekávání jakéhokoli pozorovatelného vypočítat nahrazením příslušného operátora. Například k výpočtu průměrné síle, jeden používá operátor hybnost v prostoru konfigurace , . Jeho hodnota očekávání je explicitně ${\ displaystyle Q}$${\ textstyle P = -i \ hbar \, {\ frac {d} {dx}}}$

Ne všichni operátoři obecně poskytují měřitelnou hodnotu. Operátor, který má čistou skutečnou hodnotu očekávání, se nazývá pozorovatelný a jeho hodnotu lze přímo měřit v experimentu.

Viz také

• Rayleighův kvocient
• Princip nejistoty
• Virová věta

Poznámky

Reference

Další čtení

Hodnota očekávání, zejména tak, jak je uvedena v části „ Formalismus v kvantové mechanice “, je obsažena ve většině základních učebnic kvantové mechaniky.

Diskuse o koncepčních aspektech viz:

• Isham, Chris J (1995). Přednášky z kvantové teorie: matematické a strukturální základy . Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-001-9.