f ( R ) gravitace - f(R) gravity

${\ Displaystyle \ kappa = {\ tfrac {8 \ pi G} {c^{4}}}, g = \ det g _ {\ mu \ nu}}$

${\ displaystyle f (R)}$

Metrická f ( R ) gravitace

Odvození rovnic pole

V metrické f ( R ) gravitaci se člověk dostane k rovnicím pole tím, že se mění s ohledem na metriku a nezachází se spojením samostatně. Pro úplnost nyní krátce zmíníme základní kroky variace akce. Hlavní kroky jsou stejné jako v případě variace akce Einstein – Hilbert (podrobnější informace najdete v článku), ale existují také některé důležité rozdíly.

Variace determinantu je jako vždy:

$${\ Displaystyle \ delta {\ sqrt {-g}} =-{\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} g _ {\ mu \ nu} \ delta g^{\ mu \ nu} }$$

Ricci skalární je definován jako

$${\ Displaystyle R = g^{\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu}.}$$

Jeho variace vzhledem k inverzní metrice je tedy dána vztahem ${\ Displaystyle g^{\ mu \ nu}}$

$${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ delta R & = R _ {\ mu \ nu} \ delta g^{\ mu \ nu}+g^{\ mu \ nu} \ delta R _ {\ mu \ nu} \\ & = R _ {\ mu \ nu} \ delta g^{\ mu \ nu}+g^{\ mu \ nu} \ vlevo (\ nabla _ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ mu}^ {\ rho}-\ nabla _ {\ nu} \ delta \ Gamma _ {\ rho \ mu}^{\ rho} \ right) \ end {zarovnáno}}}$$

Druhý krok najdete v článku o akci Einstein – Hilbert . Protože je rozdíl dvou spojení, měl by se transformovat jako tenzor. Proto může být zapsán jako ${\ Displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ mu \ nu}^{\ lambda}}$

$${\ Displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ mu \ nu}^{\ lambda} = {\ frac {1} {2}} g^{\ lambda a} \ left (\ nabla _ {\ mu} \ delta g_ {a \ nu}+\ nabla _ {\ nu} \ delta g_ {a \ mu}-\ nabla _ {a} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right).}$$

Dosazením do výše uvedené rovnice:

$${\ Displaystyle \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g^{\ mu \ nu}+g _ {\ mu \ nu} \ Box \ delta g^{\ mu \ nu}-\ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ delta g^{\ mu \ nu}}$$

kde je

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mu}}$

${\ Displaystyle \ square = g^{\ mu \ nu} \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu}}$

Naznačovat , změna ve vztahu ke sporu zní: ${\ displaystyle F (R) = {\ frac {df} {dR}}}$

$${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ delta S [g] & = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (\ delta f (R) {\ sqrt {-g}}+f (R) \ delta {\ sqrt {-g}} \ right) \, \ mathrm {d} ^{4} x \\ & = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (F (R) \ delta R {\ sqrt {-g}}-{\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} g _ {\ mu \ nu} \ delta g^{\ mu \ nu} f (R) \ right) \, \ mathrm {d} ^{4} x \\ & = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ sqrt {-g}} \ left (F ( R) (R _ {\ mu \ nu} \ delta g^{\ mu \ nu}+g _ {\ mu \ nu} \ Box \ delta g^{\ mu \ nu}-\ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ delta g^{\ mu \ nu})-{\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} \ delta g^{\ mu \ nu} f (R) \ vpravo ) \, \ mathrm {d} ^{4} x \ end {aligned}}}$$

Když provedeme integraci po částech za druhého a třetího členu (a zanedbáme hraniční příspěvky), dostaneme:

$${\ Displaystyle \ delta S [g] = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ sqrt {-g}} \ delta g^{\ mu \ nu} \ left (F (R) R_ {\ mu \ nu} -{\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} f (R)+[g _ {\ mu \ nu} \ Box -\ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu}] F (R) \ right) \, \ mathrm {d} ^{4} x.}$$

Požadováním, aby akce zůstala neměnná i při změnách metriky, získáme rovnice pole: ${\ Displaystyle {\ frac {\ delta S} {\ delta g^{\ mu \ nu}}} = 0}$

$${\ Displaystyle F (R) R _ {\ mu \ nu} -{\ frac {1} {2}} f (R) g _ {\ mu \ nu}+\ left [g _ {\ mu \ nu} \ Box - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ right] F (R) = \ kappa T _ {\ mu \ nu},}$$

${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$

$${\ Displaystyle T _ {\ mu \ nu} =-{\ frac {2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {m}})} {\ delta g^{\ mu \ nu}}},}$$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {m}}$

Zobecněné Friedmannovy rovnice

Za předpokladu Robertson – Walkerovy metriky s faktorem měřítka můžeme zobecněné

${\ displaystyle a (t)}$

${\ displaystyle \ kappa = 1}$

$${\ Displaystyle 3FH^{2} = \ rho _ {\ rm {m}}+\ rho _ {\ rm {rad}}+{\ frac {1} {2}} (FR-f) -3H {\ tečka {F}}}$$

$${\ Displaystyle -2F {\ dot {H}} = \ rho _ {\ rm {m}}+{\ frac {4} {3}} \ rho _ {\ rm {rad}}+{\ ddot {F }}-H {\ dot {F}},}$$

$${\ displaystyle H = {\ frac {\ dot {a}} {a}},}$$

$${\ Displaystyle {\ dot {\ rho}} _ {\ rm {m}}+3H \ rho _ {\ rm {m}} = 0;}$$

$${\ displaystyle {\ dot {\ rho}} _ {\ rm {rad}}+4H \ rho _ {\ rm {rad}} = 0.}$$

Upravena Newtonova konstanta

Zajímavou vlastností těchto teorií je skutečnost, že gravitační konstanta závisí na čase a měřítku. Chcete -li to vidět, přidejte do metriky malou skalární poruchu (v newtonovském měřítku ):

$${\ Displaystyle \ mathrm {d} s^{2} =-(1+2 \ Phi) \ mathrm {d} t^{2}+\ alpha^{2} (1-2 \ Psi) \ delta _ { ij} \ mathrm {d} x^{i} \ mathrm {d} x^{j}}$$

$${\ Displaystyle \ Phi = -4 \ pi G _ {\ mathrm {eff}} {\ frac {a^{2}} {k^{2}}} \ delta \ rho _ {\ mathrm {m}}}$$

$${\ Displaystyle G _ {\ mathrm {eff}} = {\ frac {1} {8 \ pi F}} {\ frac {1+4 {\ frac {k^{2}} {a^{2} R} } m} {1+3 {\ frac {k^{2}} {a^{2} R}} m}},}$$

$${\ Displaystyle m \ equiv {\ frac {RF _ {, R}} {F}}.}$$

Masivní gravitační vlny

Tato třída teorií, když je linearizovaná, vykazuje tři polarizační režimy pro gravitační vlny , z nichž dva odpovídají bezhmotnému gravitonu (helicity ± 2) a třetí (skalární) vychází ze skutečnosti, že pokud vezmeme v úvahu konformní transformaci, teorie čtvrtého řádu f ( R ) se stává obecnou relativitou plus skalární pole . Chcete -li to vidět, identifikujte

$${\ Displaystyle \ Phi \ to f '(R) \ quad {\ textrm {and}} \ quad {\ frac {dV} {d \ Phi}} \ to {\ frac {2f (R) -Rf' (R )} {3}},}$$

$${\ Displaystyle \ Box \ Phi = {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} \ Phi}}}$$

Práce na prvním řádu teorie poruch:

$${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu}+h _ {\ mu \ nu}}$$

$${\ Displaystyle \ Phi = \ Phi _ {0}+\ delta \ Phi}$$

$${\ Displaystyle h _ {\ mu \ nu} (t, z; \ omega) = A^{+} (\ omega) \ exp (-i \ omega (tz)) e _ {\ mu \ nu}^{+} +A^{\ times} (\ omega) \ exp (-i \ omega (tz)) e _ {\ mu \ nu}^{\ times}+h_ {f} (v _ {\ mathrm {g}} tz; \ omega) \ eta _ {\ mu \ nu}}$$

$${\ Displaystyle h_ {f} \ equiv {\ frac {\ delta \ Phi} {\ Phi _ {0}}},}$$

a v _g ( ω ) = d ω / d k je rychlost skupiny z vlnového balíku h _f zaměřen na vlny vektoru k . První dva termíny odpovídají obvyklým příčným polarizacím z obecné relativity, zatímco třetí odpovídá novému masivnímu polarizačnímu módu teorií f ( R ). Tento režim je směsicí bezhmotného příčného dýchacího režimu (ale nikoli beze stop) a masivního podélného skalárního režimu. Příčné a beze stopy režimy (také známé jako režimy tenzoru) se šíří rychlostí světla , ale masivní skalární režim se pohybuje rychlostí v _G  <1 (v jednotkách, kde c  = 1), tento režim je disperzní. Nicméně, v f ( R ) gravitačním metrickém formalismu, pro model (také známý jako čistý model), třetí režim polarizace je režim čistého dýchání a šíří se rychlostí světla skrz časoprostor. ${\ Displaystyle f (R) = \ alpha R^{2}}$${\ displaystyle R^{2}}$

Ekvivalentní formalismus

Za určitých dalších podmínek můžeme zjednodušit analýzu f ( R ) teorií zavedením pomocného pole Φ . Za předpokladu, že pro všechny

${\ displaystyle f '' (R) \ neq 0}$

${\ Displaystyle \ Phi = f '(R)}$

${\ displaystyle R = V '(\ Phi)}$

$${\ Displaystyle S = \ int d^{4} x {\ sqrt {-g}} \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (\ Phi RV (\ Phi) \ right)+ {\ mathcal {L}} _ {\ text {m}} \ right].}$$

Máme Euler -Lagrangeovy rovnice

$${\ Displaystyle V '(\ Phi) = R}$$

$${\ Displaystyle \ Phi \ left (R _ {\ mu \ nu}-{\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R \ right)+\ left (g _ {\ mu \ nu} \ Box -\ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ right) \ Phi +{\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} V (\ Phi) = \ kappa T _ {\ mu \ nu}}$$

Odstraněním Φ získáme přesně stejné rovnice jako dříve. Rovnice jsou však v derivátech pouze druhého řádu, místo čtvrtého řádu.

Aktuálně pracujeme s rámem Jordan . Provedením konformní změny měřítka

$${\ Displaystyle {\ tilde {g}} _ {\ mu \ nu} = \ Phi g _ {\ mu \ nu},}$$

$${\ displaystyle R = \ Phi \ left [{\ tilde {R}}+{\ frac {3 {\ tilde {\ Box}} \ Phi} {\ Phi}}-{\ frac {9} {2}} \ left ({\ frac {{\ tilde {\ nabla}} \ Phi} {\ Phi}} \ right)^{2} \ right]}$$

$${\ Displaystyle S = \ int d^{4} x {\ sqrt {-{\ tilde {g}}}} {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left [{\ tilde {R}}- {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {{\ tilde {\ nabla}} \ Phi} {\ Phi}} \ right)^{2}-{\ frac {V (\ Phi) } {\ Phi ^{2}}} \ right]}$$

Definování a nahrazování ${\ displaystyle {\ tilde {\ Phi}} = {\ sqrt {3}} \ ln {\ Phi}}$

$${\ Displaystyle S = \ int \ mathrm {d} ^{4} x {\ sqrt {-{\ tilde {g}}}} {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left [{\ tilde { R}}-{\ frac {1} {2}} \ left ({\ tilde {\ nabla}} {\ tilde {\ Phi}} \ right)^{2}-{\ tilde {V}} ({ \ tilde {\ Phi}}) \ right]}$$

$${\ displaystyle {\ tilde {V}} ({\ tilde {\ Phi}}) = e^{-{\ frac {2} {\ sqrt {3}}} {\ tilde {\ Phi}}} V \ vlevo (e^{{\ tilde {\ Phi}}/{\ sqrt {3}}} \ right).}$$

Toto je obecná relativita spojená se skutečným skalárním polem: použití teorií f ( R ) k popisu zrychlujícího vesmíru je prakticky ekvivalentní použití kvintesence . (Přinejmenším ekvivalent až do upozornění, že jsme dosud neurčili hmotové spojky, takže (například) f ( R ) gravitace, ve které je hmota minimálně spojena s metrikou (tj. V Jordánském rámci), je ekvivalentní teorii kvintesence ve kterém skalární pole zprostředkovává pátou sílu s gravitační silou.)

Palatini f ( R ) gravitace

V Palatiniho f ( R ) gravitaci se s metrikou a spojením zachází samostatně a mění se akce s ohledem na každou z nich zvlášť. Předpokládá se, že záležitost Lagrangian je nezávislá na připojení. Ukázalo se, že tyto teorie jsou ekvivalentní Brans -Dickeho teorii s ω = - 3 ⁄ 2 . Vzhledem ke struktuře teorie se však zdá , že Palatiniho f ( R ) teorie jsou v rozporu se standardním modelem, mohou narušovat experimenty sluneční soustavy a zdá se, že vytvářejí nežádoucí singularity.

Metricko-afinní f ( R ) gravitace

V metricko-afinní f ( R ) gravitaci člověk věci zobecňuje ještě dále, přičemž s metrikou i spojením zachází nezávisle a za předpokladu, že záležitost závisí také na Lagrangianově.

Pozorovací testy

Protože existuje mnoho potenciálních forem gravitace f ( R ), je obtížné najít generické testy. Navíc, protože odchylky od obecné relativity mohou být v některých případech libovolně malé, nelze některé modifikace definitivně vyloučit. Určitého pokroku lze dosáhnout, aniž bychom předpokládali konkrétní podobu funkce f ( R ) Taylorovým rozšířením

$${\ Displaystyle f (R) = a_ {0}+a_ {1} R+a_ {2} R^{2}+\ cdots}$$

První termín je jako kosmologická konstanta a musí být malý. Další koeficient a ₁ lze nastavit na jednu jako v obecné relativitě. Pro metrickou f ( R ) gravitaci (na rozdíl od Palatiniho nebo metricky afinní f ( R ) gravitace) je kvadratický člen nejlépe omezen měřením páté síly , protože vede k Yukawově korekci na gravitační potenciál. Nejlepší aktuální hranice jsou | a ₂ | <4 × 10 ⁻⁹  m ² nebo ekvivalentně | a ₂ | <2,3 × 10 ²²  GeV ⁻² .

Parameterized post-Newtonian formalismus je navržen tak, aby bylo možné omezit generické modifikované teorie gravitace. Nicméně, f ( R ) gravitační sdílí mnoho stejných hodnot jako obecné relativity, a proto je k nerozeznání pomocí těchto testů. Zejména je vychýlení světla nezměněno, takže gravitace f ( R ), stejně jako obecná relativita, je zcela v souladu s hranicemi sledování Cassini .

Starobinská gravitace

Starobinská gravitace má následující podobu

$${\ Displaystyle f (R) = R+{\ frac {R^{2}} {6M^{2}}}}$$

${\ displaystyle M}$

Gogoi-Goswamiho gravitace

Gogoi-Goswamiho gravitace má následující podobu

$${\ Displaystyle f (R) = R-{\ frac {\ alpha} {\ pi}} R_ {c} \ cot ^{-1} \ left ({\ frac {R_ {c} ^{2}} { R^{2}}} \ right)-\ beta R_ {c} \ left [1- \ exp \ left (-{\ frac {R} {R_ {c}}} \ right) \ right]}$$

${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle R_ {c}}$

Tenzorová generalizace

f ( R ) gravitace, jak je uvedeno v předchozích částech, je skalární modifikací obecné relativity. Obecněji můžeme mít a

$${\ Displaystyle \ int \ mathrm {d}^{D} x {\ sqrt {-g}} \, f (R, R^{\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu}, R^{\ mu \ nu \ rho \ sigma} R _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma})}$$