Fréedericksz přechod - Fréedericksz transition

Fréedericksz přechod je fázový přechod v kapalných krystalů produkovaných při dostatečně silné elektrické nebo magnetické pole se aplikuje do kapalného krystalu v nezkresleného stavu. Pod určitou prahovou hodnotou pole zůstává režisér nezkreslený. Jak se hodnota pole od této prahové hodnoty postupně zvyšuje, ředitel se začne otáčet, dokud není zarovnán s polem. Tímto způsobem může k Fréederickszově přechodu dojít ve třech různých konfiguracích známých jako geometrie zkroucení, ohybu a roztažení. Fázový přechod byla poprvé pozorována Fréedericksz a Repiewa v roce 1927. V tomto prvním pokusu o jejich, jedna ze stěn buňky byla konkávní tak, aby vznikl variaci tloušťky podél buňky. Fázový přechod je pojmenován na počest ruského fyzika Vsevoloda Frederikse .

Derivace

Twist Geometry

Schéma ukazující geometrii zkroucení, kde je prahové elektrické pole.${\ displaystyle E_ {t}}$

Pokud je nematický tekutý krystal, který je uzavřen mezi dvěma rovnoběžnými deskami, které indukují plošné ukotvení, umístěn do dostatečně vysokého konstantního elektrického pole, bude ředitel zkreslen. Pokud je pod nulovým polem ředitel zarovnán podél osy x, pak po aplikaci elektrického pole podél osy y bude ředitel dán vztahem:

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}} = n_ {x} \ mathbf {\ hat {x}} + n_ {y} \ mathbf {\ hat {y}}}$

${\ displaystyle n_ {x} = \ cos {\ theta (z)}}$

${\ displaystyle n_ {y} = \ sin {\ theta (z)}}$

Podle tohoto uspořádání se hustota energie bez zkreslení stává:

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {d} = {\ frac {1} {2}} K_ {2} \ left ({\ frac {d \ theta} {dz}} \ right) ^ {2 }}$

Celková energie na jednotku objemu uloženou ve zkreslení a elektrickém poli je dána vztahem:

${\ displaystyle U = {\ frac {1} {2}} K_ {2} \ left ({\ frac {d \ theta} {dz}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {2 }} \ epsilon _ {0} \ Delta \ chi _ {e} E ^ {2} \ sin ^ {2} {\ theta}}$

Volná energie na jednotku plochy je pak:

${\ displaystyle F_ {A} = \ int _ {0} ^ {d} {\ frac {1} {2}} K_ {2} \ left ({\ frac {d \ theta} {dz}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {0} \ Delta \ chi _ {e} E ^ {2} \ sin ^ {2} {\ theta} \, dz \,}$

Minimalizace pomocí variačního počtu dává:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ částečné U} {\ částečné \ theta}} \ pravé) - {\ frac {d} {dz}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné U} {\ částečné \ left ({\ frac {d \ theta} {dz}} \ right)}} \ right) = 0}$

${\ displaystyle K_ {2} \ left ({\ frac {d ^ {2} \ theta} {dz ^ {2}}} \ right) + \ epsilon _ {0} \ Delta \ chi _ {e} E ^ {2} \ sin {\ theta} \ cos {\ theta} = 0}$

Přepsáním to z hlediska a kde je separační vzdálenost mezi dvěma deskami má za následek zjednodušení rovnice na: ${\ displaystyle \ zeta = {\ frac {z} {d}}}$${\ displaystyle \ xi _ {d} = d ^ {- 1} {\ sqrt {\ frac {K_ {2}} {\ epsilon _ {0} \ Delta \ chi _ {e} E ^ {2}}} }}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle \ xi _ {d} ^ {2} \ vlevo ({\ frac {d ^ {2} \ theta} {d \ zeta ^ {2}}} \ vpravo) + \ sin {\ theta} \ cos {\ theta} = 0}$

Vynásobením obou stran diferenciální rovnice touto rovnicí lze dále zjednodušit následujícím způsobem: ${\ displaystyle {\ frac {d \ theta} {d \ zeta}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ theta} {d \ zeta}} \ xi _ {d} ^ {2} \ vlevo ({\ frac {d ^ {2} \ theta} {d \ zeta ^ {2} }} \ right) + {\ frac {d \ theta} {d \ zeta}} \ sin {\ theta} \ cos {\ theta} = {\ frac {1} {2}} \ xi _ {d} ^ {2} {\ frac {d} {d \ zeta}} \ left (\ left ({\ frac {d \ theta} {d \ zeta}} \ right) ^ {2} \ right) + {\ frac { 1} {2}} {\ frac {d} {d \ zeta}} \ left (\ sin ^ {2} {\ theta} \ right) = 0}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {2}} \ xi _ {d} ^ {2} {\ frac {d} {d \ zeta}} \ left (\ left ({\ frac {d \ theta } {d \ zeta}} \ right) ^ {2} \ right) + {\ frac {1} {2}} {\ frac {d} {d \ zeta}} \ left (\ sin ^ {2} { \ theta} \ right) \, d \ zeta \, = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ theta} {d \ zeta}} = {\ frac {1} {\ xi _ {d}}} {\ sqrt {\ sin ^ {2} {\ theta _ {m} } - \ sin ^ {2} {\ theta}}}}$

Hodnota je hodnota kdy . Dosazením a do výše uvedené rovnice a integraci s ohledem na 0 až 1 se získá: ${\ displaystyle \ theta _ {m}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ zeta = 1/2}$${\ displaystyle k = \ sin {\ theta _ {m}}}$${\ displaystyle t = {\ frac {\ sin {\ theta}} {\ sin {\ theta _ {m}}}}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) (1-k ^ {2} t ^ {2})}}} \ , dt \, \ equiv K (k) = {\ frac {1} {2 \ xi _ {d}}}}$

Hodnota K (k) je úplný eliptický integrál prvního druhu . Poznamenejme, že nakonec získáme prahové elektrické pole . ${\ displaystyle K (0) = {\ frac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle E_ {t}}$

${\ displaystyle E_ {t} = {\ frac {\ pi} {d}} {\ sqrt {\ frac {K_ {2}} {\ epsilon _ {0} \ Delta \ chi _ {e}}}}}$

Výsledkem je, že měřením prahového elektrického pole lze účinně měřit zkroucenou Frankovou konstantu , pokud je známa anizotropie v elektrické susceptibilitě a oddělení desek.

Poznámky

Reference

• Collings, Peter J .; Hird, Michael (1997). Úvod do kapalných krystalů: Chemie a fyzika . Taylor & Francis Ltd. ISBN 0-7484-0643-3.
• de Gennes, Pierre-Gilles ; Prost, J. (10. srpna 1995). Fyzika kapalných krystalů (2. vyd.). Oxford University Press. ISBN 0-19-851785-8.
• Fréedericksz, V .; Repiewa, A. (1927). „Theoretisches und Experimentelles zur Frage nach der Natur der anisotropen Flüssigkeiten“. Zeitschrift für Physik . 42 (7): 532–546. Bibcode : 1927ZPhy ... 42..532F . doi : 10,1007 / BF01397711 . S2CID  119861131 .
• Fréedericksz, V .; Zolina, V. (1933). "Síly způsobující orientaci anizotropní kapaliny". Trans. Faraday Soc . 29 (140): 919–930. doi : 10,1039 / TF9332900919 .
• Priestley, EB; Wojtowicz, Peter J .; Sheng, Ping (1975). Úvod do kapalných krystalů . Plenum Press. ISBN 0-306-30858-4.
• Zöcher, H. (1933). "Účinek magnetického pole na nematický stav". Transakce Faradayovy společnosti . 29 (140): 945–957. doi : 10,1039 / TF9332900945 .