Frobenius endomorfismus - Frobenius endomorphism

V komutativní algebry a teorie pole je endomorphism Frobenius (po Ferdinand Georg Frobenius ) je speciální endomorphism z komutativních kruhy s primární charakteristikou p , důležité třídy, která zahrnuje konečná pole . Endomorfismů mapuje každý prvek k jeho p -tý moci. V určitých kontextech jde o automorfismus , ale to obecně není pravda.

Definice

Nechť R je komutativní kruh s primární charakteristikou p ( integrální doména kladné charakteristiky má vždy primární charakteristiku, například). Frobeniův endomorfismus F je definován

${\ displaystyle F (r) = r ^ {p}}$

pro všechny r v R . Respektuje násobení R :

${\ displaystyle F (rs) = (rs) ^ {p} = r ^ {p} s ^ {p} = F (r) F (s),}$

a F (1) je jasně také 1. Co je zajímavé, nicméně, je to, že také respektuje přidání R . Výraz ( r + s ) ^p lze rozšířit pomocí binomické věty . Protože p je prvočíslo, dělí p ! ale ne žádné q ! pro q < p ; proto rozdělí čitatele , ale ne jmenovatele , explicitního vzorce binomických koeficientů

${\ displaystyle {\ frac {p!} {k! (pk)!}},}$

pokud 1 ≤ k ≤ p - 1 . Proto jsou koeficienty všech výrazů kromě r ^p a s ^p dělitelné p , charakteristikou, a proto zanikají. Tím pádem

${\ displaystyle F (r + s) = (r + s) ^ {p} = r ^ {p} + s ^ {p} = F (r) + F (s).}$

To ukazuje, že F je kruhový homomorfismus.

Jestliže φ  : R → S je homomorfismus kruhů charakteristické p , pak

${\ displaystyle \ phi (x ^ {p}) = \ phi (x) ^ {p}.}$

Pokud jsou F _R a F _S Frobeniovy endomorfismy R a S , lze to přepsat jako:

${\ displaystyle \ phi \ circ F_ {R} = F_ {S} \ circ \ phi.}$

To znamená, že Frobenius endomorphism se o přírodní transformace z identity functor na kategorii charakteristických p prstenců k sobě.

Pokud je prsten R prsten bez nilpotentních prvků, pak je Frobeniova endomorfismus injektivní: F ( r ) = 0 znamená r ^p = 0 , což podle definice znamená, že r je nilpotent řádu nejvýše p . Ve skutečnosti je to nutné a dostačující, protože pokud je r jakýkoli nilpotentní, pak jedna z jeho sil bude nilpotentní řádu nejvýše p . Zejména pokud R je pole, pak je Frobeniova endomorfismus injektivní.

Frobeniový morfismus nemusí být nutně surjektivní , i když R je pole. Například nechť K = F _p ( t ) je konečné pole prvků p společně s jediným transcendentálním prvkem; ekvivalentně je K pole racionálních funkcí s koeficienty v F _p . Pak obrázek F neobsahuje t . Pokud by se to stalo, pak by existovala racionální funkce q ( t ) / r ( t ), jejíž p -tý výkon q ( t ) ^p / r ( t ) ^p by se rovnal t . Ale stupeň této p - té síly je p deg ( q ) - p deg ( r ) , což je násobek p . Zejména to nemůže být 1, což je stupeň t . To je rozpor; tak t není v obrazu F .

Pole K se nazývá dokonalé, pokud má buď charakteristickou nulu, nebo má kladnou charakteristiku a jeho Frobeniova endomorfismus je automorfismus. Například všechna konečná pole jsou dokonalá.

Pevné body Frobeniova endomorfismu

Uvažujme konečné pole F _str . Podle Fermatovy malé věty splňuje každý prvek x z F _p x ^p = x . Ekvivalentně, to je kořen polynomu X ^p - X . Prvky F _p proto určují p kořeny této rovnice, a protože tato rovnice má stupeň p , nemá na žádném prodloužení více než p kořenů . Zejména v případě, K je algebraické rozšíření F _p (například jako algebraický uzávěru nebo jiného konečného pole), pak F _p je pevná pole Frobenius automorphism K .

Nechť R je kruh s charakteristikou p > 0 . Pokud R je integrální doména, pak ze stejného důvodu jsou pevné body Frobenius prvky prvočísla. Pokud však R není doménou, pak X ^p - X může mít více než p kořenů; například k tomu dojde, pokud R = F _p × F _p .

Podobná vlastnost je dát na konečného pole o n -té iteraci z Frobenius automorfismus: Každý prvek je kořen , takže pokud K je algebraické rozšíření a F je Frobenius automorphism K , pak se pevná pole F ⁿ je . Pokud R je doména, která je -algebra, pak pevné body n- té iterace Frobenius jsou prvky obrazu . ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ displaystyle X ^ {p ^ {n}} - X}$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$

Iterace mapy Frobenius dává posloupnost prvků v R :

${\ displaystyle x, x ^ {p}, x ^ {p ^ {2}}, x ^ {p ^ {3}}, \ ldots.}$

Tato posloupnost iterací se používá při definování uzavření Frobenius a těsného uzavření ideálu.

Jako generátor Galoisových skupin

Galois skupina o prodloužení konečných těles je generován iteraci z Frobeniova automorfismus. Nejprve zvažte případ, kdy je pozemní pole prvočíslem F _p . Nechť F _q je konečné pole prvků q , kde q = p ⁿ . Frobeniový automorfismus F z F _q fixuje primární pole F _p , takže je prvkem Galoisovy skupiny Gal ( F _q / F _p ) . Ve skutečnosti, protože je cyklický s prvky q - 1 , víme, že skupina Galois je cyklická a F je generátor. Pořadí F je n, protože F ⁿ působí na prvek x jeho odesláním na x ^q , a to je identita na prvcích F _q . Každý automorfismus F _q je mocninou F a generátory jsou mocniny F ⁱ s i coprime na n . ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {q} ^ {\ times}}$

Nyní zvažte konečné pole F _{q ^f} jako rozšíření F _q , kde q = p ^n, jak je uvedeno výše. Pokud n > 1 , pak Frobeniovy automorfismus F z F _{q ^f} neopravuje pozemní pole F _q , ale jeho n -á iterace F ⁿ ano. Galoisova skupina Gal ( F _{q ^f}  / F _q ) je cyklická řádu f a je generována F ⁿ . Je to podskupina Gal ( F _{q ^f}  / F _p ) generovaná F ⁿ . Generátory Gal ( F _{q ^f}  / F _q ) jsou síly F ^ni, kde i je coprime na f .

Frobeniusův automorfismus není generátorem absolutní skupiny Galois

${\ displaystyle \ operatorname {Gal} \ left ({\ overline {\ mathbf {F} _ {q}}} / \ mathbf {F} _ {q} \ right),}$

protože tato Galoisova skupina je izomorfní s celočíselnými čísly

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {Z}}} = \ varprojlim _ {n} \ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z},}$

které nejsou cyklické. Protože však Frobeniový automorfismus je generátorem Galoisovy skupiny každého konečného prodloužení F _q , je generátorem každého konečného kvocientu absolutní Galoisovy skupiny. V důsledku toho se jedná o topologický generátor v obvyklé Krull topologii na absolutní skupině Galois.

Frobenius pro schémata

Existuje několik různých způsobů, jak definovat Frobeniovi morfismus pro schéma . Nejzásadnějším je absolutní Frobeniový morfismus. Absolutní Frobeniovi morfismus se však v relativní situaci chová špatně, protože základnímu schématu nevěnuje pozornost. Existuje několik různých způsobů přizpůsobení Frobeniova morfismu relativní situaci, z nichž každý je v určitých situacích užitečný.

Nechť φ: X → S je morfismus schémat, a označme absolutní Frobeniovi morfismy S a X pomocí F _S a F _X , v daném pořadí. Definovat X ^{( p )} , že je základní změna X od F _S . Pak výše uvedený diagram dojíždí a čtverec je kartézský . Morfismus F _{X / S} je relativní Frobenius.

Absolutní Frobeniův morfismus

Předpokládejme, že X je schéma charakteristické p > 0 . Vyberte volnou afinní podmnožinu U = Spec A z X . Prsten A je F _p -algebra, takže připouští Frobeniova endomorfismus. Jestliže V je otevřená afinní podmnožina U , pak přirozenosti Frobenius, Frobenius morfismu na U , kdy omezena na V , je Frobenius morfismus na V . V důsledku toho, Morfizmus lepidla Frobeniovy dát endomorphism X . Tato endomorphism se nazývá absolutní Frobenius morphism z X , označil F _X . Podle definice je to homeomorfismus X se sebou samým. Absolutní Frobenius morfismus je přírodní transformace z identity functor na kategorii F _p -schemes k sobě.

Pokud X je S- schéma a Frobeniovi morfismus S je identita, pak absolutní Frobeniovi morfismus je morfismus S- schémat. Obecně však tomu tak není. Zvažte například prsten . Nechť X i S se rovnají Spec A se strukturní mapou X → S je identita. Frobenius morphism na A pošle se na ^str . Není to morfismus -algeber. Pokud by to bylo, pak by vynásobení prvkem b in dojíždělo s použitím Frobeniova endomorfismu. To však není pravda, protože: ${\ displaystyle A = \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$

${\ Displaystyle b \ cdot a = ba \ neq F (b) \ cdot a = b ^ {p} a.}$

První z nich je akce b ve struktuře -algebry, kterou A začíná, a druhá je akce indukovaná Frobeniem. Frobeniovi morfismus na Spec A tedy není morfismem -schémat. ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$

Absolutní Frobeniový morfismus je čistě neoddělitelný morfismus stupně p . Jeho rozdíl je nula. Zachovává výrobky, což znamená, že pro jakékoli dva režimy X a Y , F _{X x Y} = F _X x F _Y .

Omezení a rozšíření skalárů Frobeniem

Předpokládejme, že cp  : X → S je struktura morfismus U systému S na schématu X . Základna schéma S má Frobenius morphism F _S . Skládání φ s F _S má za následek S- schéma X _F nazývané omezení skalárů Frobeniem . Omezení skaláry je vlastně functor, protože S -morphism X → Y indukuje s -morphism X _F → Y _F .

Zvažte například prstenec A s charakteristikou p > 0 a konečně prezentovanou algebru nad A :

${\ displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}).}$

Působení A na R je dáno vztahem:

${\ displaystyle c \ cdot \ sum a _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} = \ sum ca _ {\ alpha} X ^ {\ alpha},}$

kde α je multi-index. Nechť X = Spec R . Pak X _F je afinní schéma Spec R , ale jeho morfismus struktury Spec R → Spec A , a tedy působení A na R , se liší:

${\ displaystyle c \ cdot \ sum a _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} = \ sum F (c) a _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} = \ sum c ^ {p} a _ {\ alpha} X ^ {\ alpha}.}$

Protože omezení skalárů Frobeniem je jednoduše složení, mnoho vlastností X zdědí X _F za vhodných hypotéz o Frobeniově morfismu. Například, je-li X a S _F jsou oba konečného typu, tak potom je X _F .

Rozšíření skaláry podle Frobenius je definováno jako:

${\ displaystyle X ^ {(p)} = X \ krát _ {S} S_ {F}.}$

Výstupek na S faktorem je X ^{( p )} s S na schématu. Pokud S není z kontextu jasné, pak X ^{( p )} je označeno X ^{( p / S )} . Stejně jako omezení skalárů, i rozšíření skalárů je funktor: S- morfismus X → Y určuje S- morfismus X ^{( p )} → Y ^{( p )} .

Stejně jako předtím, za kruhový A a konečně předložený algebry R přes A , a opět nechat X = Spec R . Pak:

${\ displaystyle X ^ {(p)} = \ operatorname {Spec} R \ otimes _ {A} A_ {F}.}$

Globální část X ^{( p )} má tvar:

${\ displaystyle \ sum _ {i} \ left (\ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) \ mnohokrát b_ {i} = \ sum _ {i} \ sum _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ často a_ {i \ alpha} ^ {p} b_ {i},}$

kde α je multi-index a každá _iα a b _i je element A . Akce prvku c bodu A v této části je:

${\ displaystyle c \ cdot \ sum _ {i} \ left (\ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) \ otimes b_ {i} = \ sum _ {i} \ left (\ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) \ otimes b_ {i} c.}$

V důsledku toho je X ^{( p )} izomorfní s:

${\ displaystyle \ operatorname {Spec} A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / \ left (f_ {1} ^ {(p)}, \ ldots, f_ {m} ^ {(p) }\že jo),}$

kde, pokud:

${\ displaystyle f_ {j} = \ součet _ {\ beta} f_ {j \ beta} X ^ {\ beta},}$

pak:

${\ displaystyle f_ {j} ^ {(p)} = \ součet _ {\ beta} f_ {j \ beta} ^ {p} X ^ {\ beta}.}$

Podobný popis platí pro libovolné -algebras R .

Protože rozšíření skalárů je základní změna, zachovává limity a vedlejší produkty. To zejména znamená, že pokud má X algebraickou strukturu definovanou z hlediska konečných limitů (jako je například skupinové schéma), pak také X ^{( p )} . Kromě toho být základní změnou znamená, že rozšíření skalárů zachovává vlastnosti, jako je konečný typ, konečná prezentace, oddělené, afinní atd.

Rozšíření skalárů se chová s ohledem na změnu báze dobře: Vzhledem k morfismu S ′ → S existuje přirozený izomorfismus:

${\ displaystyle X ^ {(p / S)} \ krát _ {S} S '\ cong (X \ krát _ {S} S') ^ {(p / S ')}.}$

Relativní Frobenius

Nechť X je S- schéma se strukturním morfismem φ . Relativní Frobenius morfismus z X je morfismus:

${\ displaystyle F_ {X / S}: X \ až X ^ {(p)}}$

definováno univerzální vlastností pullback X ^{( p )} (viz diagram výše):

${\ displaystyle F_ {X / S} = (F_ {X}, \ varphi).}$

Protože absolutní Frobeniovi morfismus je přirozený, relativní Frobeniovi morfismus je morfismus S- schémat.

Zvažte například A -algebru:

${\ displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}).}$

My máme:

${\ displaystyle R ^ {(p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1} ^ {(p)}, \ ldots, f_ {m} ^ {(p )}).}$

Relativní Frobeniový morfismus je homomorfismus R ^{( p )} → R definovaný:

${\ displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ další a_ {i \ alpha} \ mapsto \ sum _ {i} \ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alfa } X ^ {p \ alpha}.}$

Relativní Frobenius je kompatibilní se změnou báze v tom smyslu, že za přirozeného izomorfismu X ^{( p / S )} × _S S ' a ( X × _S S ') ^{( p / S ')} máme:

${\ displaystyle F_ {X / S} \ krát 1_ {S '} = F_ {X \ krát _ {S} S' / S '}.}$

Relativní Frobenius je univerzální homeomorfismus. Pokud X → S je otevřené ponoření, pak je to identita. Jestliže X → S je uzavřená ponoření určuje ideál svazek I z O _S , potom X ^{( p )} je určena ideální svazek I ^p a relativní Frobenius je augmentace mapa O _S / I ^p → O _S / I .

X je unramified přes S právě tehdy, když F _{X / S} je unramified a právě když F _{X / S} je monomorfismus. X je étale nad S právě tehdy, když F _{X / S} je étale a právě tehdy, když F _{X / S} je izomorfismus.

Aritmetický Frobenius

Aritmetický Frobenius Morfizmus z S na schématu X je morfismus:

${\ displaystyle F_ {X / S} ^ {a}: X ^ {(p)} \ až X \ krát _ {S} S \ cong X}$

definován:

${\ displaystyle F_ {X / S} ^ {a} = 1_ {X} \ krát F_ {S}.}$

To znamená, že se jedná o záměnu báze z F _S pomocí 1 _X .

Opět, pokud:

${\ displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}),}$

${\ displaystyle R ^ {(p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}) \ otimes _ {A} A_ {F },}$

pak aritmetický Frobenius je homomorfismus:

${\ displaystyle \ sum _ {i} \ left (\ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) \ mnohokrát b_ {i} \ mapsto \ sum _ {i} \ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha} b_ {i} ^ {p} X ^ {\ alpha}.}$

Pokud přepíšeme R ^{( p )} jako:

${\ displaystyle R ^ {(p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / \ left (f_ {1} ^ {(p)}, \ ldots, f_ {m} ^ { (p)} \ vpravo),}$

pak tento homomorfismus je:

${\ displaystyle \ sum a _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ mapsto \ sum a _ {\ alpha} ^ {p} X ^ {\ alpha}.}$

Geometrický Frobenius

Předpokládejme, že absolutní Frobeniový morfismus S je inverzní inverzní . Dovolit značí S na schématu . Pak existuje rozšíření skalárů X o : ${\ displaystyle F_ {S} ^ {- 1}}$${\ displaystyle S_ {F ^ {- 1}}}$${\ displaystyle F_ {S} ^ {- 1}: S \ až S}$${\ displaystyle F_ {S} ^ {- 1}}$

${\ displaystyle X ^ {(1 / p)} = X \ krát _ {S} S_ {F ^ {- 1}}.}$

Li:

${\ displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}),}$

pak rozšíření skalárů o dává: ${\ displaystyle F_ {S} ^ {- 1}}$

${\ displaystyle R ^ {(1 / p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}) \ otimes _ {A} A_ {F ^ {- 1}}.}$

Li:

${\ displaystyle f_ {j} = \ součet _ {\ beta} f_ {j \ beta} X ^ {\ beta},}$

pak napíšeme:

${\ displaystyle f_ {j} ^ {(1 / p)} = \ součet _ {\ beta} f_ {j \ beta} ^ {1 / p} X ^ {\ beta},}$

a pak existuje izomorfismus:

${\ displaystyle R ^ {(1 / p)} \ cong A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1} ^ {(1 / p)}, \ ldots, f_ {m } ^ {(1 / p)}).}$

Geometrické Frobenius Morfizmus z S na schématu X je morfismus:

${\ displaystyle F_ {X / S} ^ {g}: X ^ {(1 / p)} \ až X \ krát _ {S} S \ cong X}$

definován:

${\ displaystyle F_ {X / S} ^ {g} = 1_ {X} \ krát F_ {S} ^ {- 1}.}$

To je základ změna od 1. _X. . ${\ displaystyle F_ {S} ^ {- 1}}$

V pokračování našeho příkladu A a R výše je geometrický Frobenius definován jako:

${\ displaystyle \ sum _ {i} \ left (\ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) \ mnohokrát b_ {i} \ mapsto \ sum _ {i} \ sum _ {\ alpha} a_ {i \ alpha} b_ {i} ^ {1 / p} X ^ {\ alpha}.}$

Po přepsání R ^{(1 / p ),} pokud jde o , je geometrický Frobenius: ${\ displaystyle \ {f_ {j} ^ {(1 / p)} \}}$

${\ displaystyle \ sum a _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ mapsto \ sum a _ {\ alpha} ^ {1 / p} X ^ {\ alpha}.}$

Aritmetický a geometrický Frobenius jako Galoisovy akce

Předpokládejme, že Frobeniovi morfismus S je izomorfismus. Pak generuje podskupinu automorphism skupiny S . Pokud S = Spec k je spektrum konečného pole, pak jeho automorphismovou skupinou je Galoisova skupina pole nad hlavním polem a Frobeniový morfismus a jeho inverze jsou oba generátory skupiny automorphism. Kromě toho, X ^{( p )} a X ^{(1 / p ),} mohou být identifikovány s X . Aritmetické a geometrické Frobeniovy morfizmy pak endomorphisms z X , a tak vést k působení Galois skupina k na X .

Zvažte množinu K- bodů X ( K ) . Tato sada přichází s Galoisovou akcí: Každý takový bod x odpovídá homomorfismu O _X → K od svazku struktury ke K , který působí prostřednictvím k (x) , zbytkového pole na x a působení Frobeniuse na x je aplikace morfismu Frobenius na reziduální pole. Tato akce Galois souhlasí s akcí aritmetického Frobeniuse: Složený morfismus

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} \ to k (x) {\ xrightarrow {\ overset {} {F}}} k (x)}$

je stejný jako složený morfismus:

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} {\ xrightarrow {{\ overset {} {F}} _ {X / S} ^ {a}}} {\ mathcal {O}} _ {X} \ do k (x)}$

definicí aritmetického Frobenia. V důsledku toho, aritmetický Frobenius výslovně vykazuje působení skupiny Galois bodům jako endomorphism X .

Frobenius pro místní pole

Daný unramified konečné prodloužení L / K z lokálních polí , je koncept frobeniův endomorfismus který indukuje endomorfismů Frobenius v odpovídajícím prodloužení polí reziduí .

Předpokládejme, že L / K je unramified rozšíření lokálních polí, s kroužkem na celá čísla O _K o K tak, aby pole zbytek jsou celá čísla K modulo jejich unikátní maximální ideální cp , je konečné pole objednávky q , kde q je síla prvočísla. Pokud Φ je prvočíslo L ležící nad φ , znamená to, že L / K je unramified, podle definice znamená, že celá čísla L modulo Φ , zbytkové pole L , budou konečným polem řádu q ^f rozšiřujícím zbytkové pole K, kde f je stupeň L / K . Můžeme definovat Frobeniovu mapu pro prvky kruhu celých čísel O _L z L jako automorfismus s _Φ z L takový, že

${\ displaystyle s _ {\ Phi} (x) \ equiv x ^ {q} \ mod \ Phi.}$

Frobenius pro globální pole

V algebraické teorie čísel , Frobeniovy prvky jsou definovány pro rozšíření L / K z globálních polí , které jsou omezené rozšíření Galois na primárních ideálů cp z L , které jsou unramified v L / K . Vzhledem k tomu, je rozšíření unramified skupina rozklad z cp je Galois skupina prodloužení polí reziduí. Prvek Frobenius pak lze definovat pro prvky kruhu celých čísel L jako v místním případě pomocí

${\ displaystyle s _ {\ Phi} (x) \ equiv x ^ {q} \ mod \ Phi,}$

kde q je řád zbytkového pole O _K / (Φ ∩ O _K ) .

Výtahy Frobenius jsou v souladu s p-derivacemi .

Příklady

Polynom

x ⁵ - x - 1

má diskriminaci

19 × 151 ,

a tak je unramified na prime 3; je to také nesnížitelná mod 3. Proto sousedící kořenový p o to, aby oblasti 3 -adic čísel Q ₃ dává unramified prodlužovací Q ₃ ( p ) z Q ₃ . Můžeme najít obrázek ρ pod Frobeniovou mapou tak, že lokalizujeme kořen nejblíže k ρ ³ , což můžeme udělat Newtonovou metodou . Tímto způsobem získáme prvek kruhu celých čísel Z ₃ [ ρ ] ; toto je polynom stupně čtyři v ρ s koeficienty ve 3 -adických celých číslech Z ₃ . Modulo 3 ⁸ tento polynom je

${\ displaystyle \ rho ^ {3} +3 (460 + 183 \ rho -354 \ rho ^ {2} -979 \ rho ^ {3} -575 \ rho ^ {4})}}$.

Toto je algebraické nad Q a je to správný globální obraz Frobenius, pokud jde o vložení Q do Q ₃ ; navíc jsou koeficienty algebraické a výsledek lze vyjádřit algebraicky. Jedná se však o stupeň 120, což je pořadí skupiny Galois, což ilustruje skutečnost, že explicitní výpočty lze dosáhnout mnohem snadněji, pokud budou stačit p -adické výsledky.

Pokud L / K je abelian rozšíření celosvětových oblastí, dostaneme mnohem silnější shodu, protože záleží jen na nultý cp v základní pole K . Uvažujme například rozšíření Q ( β ) o Q, které je uspokojivé, když sousedíme s kořenem β

${\ displaystyle \ beta ^ {5} + \ beta ^ {4} -4 \ beta ^ {3} -3 \ beta ^ {2} +3 \ beta + 1 = 0}$

k Q . Toto rozšíření je cyklické řádu pět, s kořeny

${\ displaystyle 2 \ cos {\ tfrac {2 \ pi n} {11}}}$

pro celé číslo n . To má kořeny, které jsou Čebyševovy polynomy z p :

β ² - 2, β ³ - 3 β , β ⁵ - 5 β ³ + 5 β

uveďte výsledek mapy Frobenius pro prvočísla 2, 3 a 5 atd. pro větší prvočísla, která se nerovnají 11, nebo ve tvaru 22 n + 1 (které se rozdělí). Okamžitě je zřejmé, jak Frobeniova mapa dává výsledek rovný mod p k p -té síle kořene β .

Viz také

• Perfektní pole
• Frobenioid
• Konečné pole § Frobeniův automorfismus a Galoisova teorie
• Univerzální homeomorfismus

Reference

• „Frobenius automorphism“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• „Frobenius endomorphism“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]