Komutativní vlastnost - Commutative property

V matematice , je binární operace je komutativní při změně pořadí operandů nemění výsledek. Je to základní vlastnost mnoha binárních operací a závisí na tom mnoho matematických důkazů . Vlastnost je nejznámější jako název vlastnosti, která říká něco jako „3 + 4 = 4 + 3“ nebo „2 × 5 = 5 × 2“ , ale lze ji použít i v pokročilejších nastaveních. Název je potřebný, protože existují operace, jako je dělení a odčítání , které jej nemají (například „3 - 5 ≠ 5 - 3“ ); takové operace nejsou komutativní, a proto se označují jako nekomutativní operace . Myšlenka, že jednoduché operace, jako je násobení a sčítání čísel, jsou komutativní, byla po mnoho let implicitně předpokládána. Tato vlastnost tedy byla pojmenována až v 19. století, kdy se matematika začala formalizovat. Pro binární relace existuje odpovídající vlastnost ; o binárním vztahu se říká, že je symetrický, pokud vztah platí bez ohledu na pořadí jeho operandů; například rovnost je symetrická, protože dva stejné matematické objekty jsou si rovny bez ohledu na jejich pořadí.

Běžné použití

Komutativita (nebo komutativní zákon ) je vlastnost obvykle spojena s operacemi a funkcemi . Pokud komutativní vlastnost platí pro pár prvků v rámci určité binární operace, pak se říká, že dva prvky dojíždějí v rámci této operace.

Matematické definice

Binární operace na nastavené S je volán komutativní jestliže ${\ displaystyle *}$

Operace, která nesplňuje výše uvedenou vlastnost, se nazývá nekomutativní .

Jeden říká, že x dojíždí s y nebo že x a y dojíždí pod if ${\ displaystyle *}$

Jinými slovy, operace je komutativní, pokud každá dvojice prvků dojíždí.

Binární funkce se někdy nazývá komutativní jestliže ${\ Displaystyle f \ colon A \ times A \ to B}$

Taková funkce se běžně nazývá symetrická funkce .

Příklady

Komutativní operace v každodenním životě

• Nasazení ponožek se podobá komutativní operaci, protože to, co je ponožka nasazena jako první, není důležité. Ať tak či onak, výsledek (s oběma ponožkami) je stejný. Naproti tomu oblékání spodního prádla a kalhot není komutativní.
• Komutativita sčítání je pozorována při platbě za položku v hotovosti. Bez ohledu na pořadí, v jakém jsou účty předávány, vždy dávají stejný součet.

Komutativní operace v matematice

Dva známé příklady komutativních binárních operací:

• Přídavek z reálných čísel je komutativní, protože
  $${\ Displaystyle y+z = z+y \ qquad {\ mbox {pro všechny}} y, z \ in \ mathbb {R}}$$

  
  Například 4 + 5 = 5 + 4, protože oba výrazy se rovnají 9.
• Násobení z reálných čísel je komutativní, protože
  $${\ Displaystyle yz = zy \ qquad {\ mbox {pro všechny}} y, z \ in \ mathbb {R}}$$

  

  Například 3 × 5 = 5 × 3, protože oba výrazy se rovnají 15.

  Jako přímý důsledek toho také platí, že výrazy ve tvaru y% ze za% z y jsou komutativní pro všechna reálná čísla y a z. Například 64% z 50 = 50% ze 64, protože oba výrazy se rovnají 32 a 30% z 50% = 50% z 30%, protože oba tyto výrazy se rovnají 15%.

• Některé funkce binární pravdy jsou také komutativní, protože pravdivostní tabulky pro funkce jsou stejné, když člověk změní pořadí operandů.

  Například logická bikondicionální funkce p ↔ q je ekvivalentní q ↔ p. Tato funkce je také zapsána jako p IFF q, nebo jako p ≡ q nebo E pq .

  Poslední forma je příkladem nejvýstižnějšího zápisu v článku o pravdivostních funkcích, který uvádí šestnáct možných binárních pravdivostních funkcí, z nichž osm je komutativních: V pq = V qp ; A pq (OR) = A qp ; D pq (NAND) = D qp ; E pq (IFF) = E qp ; J pq = J qp ; K pq (AND) = K qp ; X pq (NOR) = X qp ; O pq = O qp .

• Další příklady komutativních binárních operací zahrnují sčítání a násobení komplexních čísel , sčítání a skalární násobení z vektorů a křižovatky a spojení z množin .

Nekomutativní operace v každodenním životě

• Zřetězení , akt spojování řetězců znaků dohromady, je nekomutativní operace. Například,

  EA + T = JÍT ≠ ČAJ = T + EA

• Praní a sušení prádla se podobá nekomutativní operaci; praní a následné sušení přináší výrazně odlišný výsledek než sušení a následné praní.
• Otočení knihy o 90 ° kolem svislé osy a poté o 90 ° kolem vodorovné osy vytváří jinou orientaci, než když jsou otáčení prováděna v opačném pořadí.
• Pohyby jakékoli kombinační logické hry (například zákruty Rubikovy kostky ) jsou nekomutativní. To lze studovat pomocí teorie skupin .
• Myšlenkové procesy jsou nekomutativní: Osoba položila otázku (A) a poté otázku (B) může na každou otázku poskytnout jiné odpovědi než osoba, které byla položena nejprve (B) a poté (A), protože položení otázky může změnit stav osoby mysli.
• Akt oblékání je buď komutativní, nebo nekomutativní, v závislosti na položkách. Oblečení spodního prádla a běžného oblečení není rutinní. Navlékání levé a pravé ponožky je komutativní.
• Zamíchání balíčku karet je nekomutativní. Pokud vezmeme v úvahu dva způsoby, A a B, jak zamíchat balíček karet, udělat nejprve A a potom B obecně není totéž jako udělat nejprve B a potom A.

Nekomutativní operace v matematice

Některé nekomutativní binární operace:

Dělení, odčítání a umocňování

Rozdělení je nekomutativní, protože . ${\ Displaystyle 1 \ div 2 \ neq 2 \ div 1}$

Odčítání je nekomutativní, protože . Přesněji je však klasifikován jako antikomutativní , protože . ${\ Displaystyle 0-1 \ neq 1-0}$${\ displaystyle 0-1 =-(1-0)}$

Umocňování je nekomutativní, protože . ${\ Displaystyle 2^{3} \ neq 3^{2}}$

Pravdivé funkce

Některé pravdivostní funkce jsou nekomutativní, protože pravdivostní tabulky pro funkce se liší, když člověk změní pořadí operandů. Například pravdivostní tabulky pro (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) a (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) jsou

A	B	A ⇒ B	B ⇒ A.
F	F	T	T
F	T	T	F
T	F	F	T
T	T	T	T

Složení funkcí lineárních funkcí

Funkce složení z lineárních funkcí z reálných čísel do reálných čísel je téměř vždy noncommutative. Například nechte a . Pak ${\ displaystyle f (x) = 2x+1}$${\ displaystyle g (x) = 3x+7}$

${\ Displaystyle (f \ circ g) (x) = f (g (x)) = 2 (3x+7)+1 = 6x+15}$

a

${\ Displaystyle (g \ circ f) (x) = g (f (x)) = 3 (2x+1)+7 = 6x+10}$

To platí také obecněji pro lineární a afinní transformace z vektorového prostoru na sebe (viz níže reprezentace Matrix).

Násobení matice

Násobení matic ze čtvercových matic je téměř vždy noncommutative, například:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix }} \ neq {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \ end { bmatrix}}}$

Vektorový produkt

Vektorový součin (nebo křížový součin ) dvou vektorů ve třech rozměrech je antikomutativní ; tj. b × a = - ( a × b ).

Historie a etymologie

Záznamy o implicitním používání komutativního majetku sahají až do starověku. Tyto Egypťané používali komutativita z násobení zjednodušit výpočetní produkty . O Euclidovi je známo, že ve své knize Prvky převzal komutativní vlastnost násobení . Formální využití komutativního majetku vzniklo na konci 18. a na počátku 19. století, kdy matematici začali pracovat na teorii funkcí. Dnes je komutativní vlastnost dobře známou a základní vlastností používanou ve většině oborů matematiky.

První zaznamenané použití termínu komutativ bylo v memoárech Françoise Servoise z roku 1814, který použil slovo komutativ při popisu funkcí, které mají to, čemu se dnes říká komutativní vlastnost. Slovo je kombinací francouzského slova dojíždějící, které znamená „nahradit nebo změnit“, a přípony -ativního významu „inklinovat k“, takže toto slovo doslovně znamená „inklinovat k nahrazení nebo přepnutí“. Termín se poté objevil v angličtině v roce 1838 v článku Duncana Farquharsona Gregoryho s názvem „O skutečné povaze symbolické algebry“ publikovaném v roce 1840 v Transakcích Královské společnosti v Edinburghu .

Výroková logika

Transformační pravidla
Výrokový kalkul
Pravidla odvozování
Úvod  / eliminace implikací ( modus ponens ) Dvoupodmínečný úvod  / eliminace Úvod  / odstranění konjunkce Úvod  / odstranění disjunkce Disjunktivní  / hypotetický sylogismus Konstruktivní  / destruktivní dilema Absorpce  / modus tollens  / modus ponendo tollens Úvod do negace
Pravidla pro výměnu
Asociativita Komutativita Distribuce Dvojitá negace De Morganovy zákony Transpozice Věcná implikace Vývoz Tautologie
Predikátová logika
Pravidla odvozování
Univerzální generalizace  / instance Existenciální generalizace  / instance

Pravidlo výměny

V pravdivě funkční výrokové logice se komutace nebo komutativita vztahují na dvě platná pravidla nahrazování . Pravidla umožňují transponovat výrokové proměnné v rámci logických výrazů v logických důkazech . Pravidla jsou:

${\ Displaystyle (P \ lor Q) \ Leftrightarrow (Q \ lor P)}$

a

${\ Displaystyle (P \ land Q) \ Leftrightarrow (Q \ land P)}$

kde „ “ je metalogický symbol představující „lze nahradit v důkazu “. ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$

Pravda funkční spojky

Komutativita je vlastností některých logických spojek pravdivosti funkční výrokové logiky . Následující logické ekvivalence ukazují, že komutativita je vlastností konkrétních spojek. Následuje tautologie fungující na základě pravdy .

Komutativita spojky

${\ Displaystyle (P \ land Q) \ leftrightarrow (Q \ land P)}$

Komutativita disjunkce

${\ Displaystyle (P \ lor Q) \ leftrightarrow (Q \ lor P)}$

Komutativita implikace (také nazývaná zákon permutace)

${\ Displaystyle (P \ to (Q \ to R)) \ leftrightarrow (Q \ to (P \ to R))}$

Komutativita ekvivalence (také nazývaná úplný komutativní zákon ekvivalence)

${\ Displaystyle (P \ leftrightarrow Q) \ leftrightarrow (Q \ leftrightarrow P)}$

Teorie množin

V teorii skupin a množin se mnoho algebraických struktur nazývá komutativní, když určité operandy splňují komutativní vlastnost. Ve vyšších odvětvích matematiky, jako je analýza a lineární algebra, se v důkazech často používá (nebo implicitně předpokládá) komutativita známých operací (jako je sčítání a násobení na reálných a komplexních číslech).

Matematické struktury a komutativita

• Komutativní pologrupa je sada obdařen celkem, asociativní a komutativní operace.
• Pokud má operace navíc prvek identity , máme komutativní monoid
• Abelian skupina , nebo komutativní skupina je skupina jejíž provoz skupina je komutativní.
• Komutativní prsten je prsten jehož násobení je komutativní. (Přidání do prstenu je vždy komutativní.)
• V poli jsou sčítání i násobení komutativní.

Související vlastnosti

Asociativita

Asociativní vlastnost úzce souvisí s komutativní vlastností. Asociativní vlastnost výrazu obsahujícího dva nebo více výskytů stejného operátora uvádí, že operace pořadí jsou prováděny v, nemá vliv na konečný výsledek, pokud se pořadí termínů nemění. Naproti tomu komutativní vlastnost uvádí, že pořadí podmínek neovlivňuje konečný výsledek.

Většina komutativních operací, s nimiž se v praxi setkáváme, je také asociativní. Komutativita však neznamená asociativitu. Protipříkladem je funkce

${\ Displaystyle f (x, y) = {\ frac {x+y} {2}},}$

což je jasně komutativní (zaměňování x a y nemá vliv na výsledek), ale není asociativní (protože například ale ). Více takových příkladů lze nalézt u komutativních neasociativních magmat . ${\ Displaystyle f (-4, f (0,+4)) =-1}$${\ Displaystyle f (f (-4,0),+4) =+1}$

Distribuční

Symetrie

Některé formy symetrie mohou být přímo spojeny s komutativitou. Když je komutativní operace zapsána jako binární funkce, pak se tato funkce nazývá symetrická funkce a její graf v trojrozměrném prostoru je symetrický v celé rovině . Pokud je například funkce f definována jako potom, je to symetrická funkce. ${\ Displaystyle z = f (x, y),}$${\ displaystyle y = x}$${\ Displaystyle f (x, y) = x+y}$${\ displaystyle f}$

U relací je symetrický vztah analogický komutativní operaci v tom, že pokud je relace R symetrická, pak . ${\ Displaystyle aRb \ Leftrightarrow bRa}$

Operátoři bez dojíždění v kvantové mechanice

V kvantové mechanice, jak ji formuloval Schrödinger , jsou fyzikální proměnné reprezentovány lineárními operátory, jako jsou (což znamená vynásobit ) a . Tyto dva operátoři nejsou dojíždět, jak může být vidět s ohledem na účinek svých přípravků a (nazývané také produkty provozovatelé) na jednorozměrné vlnové funkce : ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ textstyle {\ frac {d} {dx}}}$ ${\ textstyle x {\ frac {d} {dx}}}$${\ textstyle {\ frac {d} {dx}} x}$ ${\ Displaystyle \ psi (x)}$

${\ Displaystyle x \ cdot {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} x} \ psi = x \ cdot \ psi '\ \ neq \ \ psi +x \ cdot \ psi' = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} x} \ left (x \ cdot \ psi \ right)}$

Podle principu neurčitosti z Heisenbergem , v případě, že dva operátoři představující dvojici proměnných nejsou dojíždět, pak, že pár proměnných jsou vzájemně komplementární , což znamená, že nemohou být současně měřena nebo přesně znám. Například, poloha a lineární hybnosti v exitem směr částečky jsou reprezentovány operátory a , v uvedeném pořadí (kde je snížená Planckova konstanta ). Toto je stejný příklad až na konstantu , takže operátoři opět nedojíždějí a fyzický význam je, že poloha a lineární hybnost v daném směru se doplňují. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ částečná} {\ částečná x}}}$${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle -i \ hbar}$

Viz také

• Anticommutativní vlastnost
• Centralizátor a normalizátor (také nazývaný komutant)
• Komutativní diagram
• Komutativní (neurofyziologie)
• Komutátor
• Paralelogramový zákon
• Statistika částic (pro komutativitu ve fyzice )
• Důkaz, že Peanoovy axiomy naznačují komutativitu sčítání přirozených čísel
• Kvazikomutativní vlastnost
• Stopový monoid
• Pravděpodobnost dojíždění

Poznámky

Reference

Knihy

• Axler, Sheldon (1997). Lineární algebra Provedeno správně, 2e . Springer. ISBN 0-387-98258-2.

  Abstraktní teorie algebry. V této souvislosti pokrývá komutativitu. V celé knize používá majetek.

• Copi, Irving M .; Cohen, Carl (2005). Úvod do logiky (12. vydání). Sál Prentice. ISBN 9780131898349.
• Gallian, Joseph (2006). Současná abstraktní algebra (6e ed.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.

  Teorie lineární algebry. Vysvětluje komutativitu v kapitole 1, používá ji v celém textu.

• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstrakt a beton, zdůrazňující symetrie (2e ed.). Sál Prentice. ISBN 0-13-067342-0.

  Abstraktní teorie algebry. V celé knize používá vlastnost komutativity.

• Hurley, Patrick J .; Watson, Lori (2016). Stručný úvod do logiky (12. vydání). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1.

Články

• Lumpkin, B. (1997). „Matematický odkaz starověkého Egypta - reakce na Roberta Paltera“ (PDF) (nepublikovaný rukopis). Archivováno z originálu (PDF) dne 13. července 2007. Citační deník vyžaduje |journal=( nápověda )

  Článek popisující matematickou schopnost starověkých civilizací.

• Gay, Robins R .; Shute, Charles CD (1987). Rhind Matematický papyrus: Staroegyptský text . Britské muzeum. ISBN 0-7141-0944-4.

  Překlad a interpretace Rhindského matematického papyru .

Online zdroje

• „Komutativita“ , encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
• Krowne, Aaron, komutativní na PlanetMath ., Přístup 8. srpna 2007.

  Definice komutativity a příklady komutativních operací

• Weisstein, Eric W. „Dojíždět“ . MathWorld ., Přístup 8. srpna 2007.

  Vysvětlení pojmu dojíždění

• "Yark" . Příklady nekomutativních operací na PlanetMath ., Přístup 8. srpna 2007

  Příklady prokazující některé nekomutativní operace

• O'Conner, JJ; Robertson, EF „Historie reálných čísel“ . MacTutor . Vyvolány 8 August rok 2007 .

  Článek poskytující historii skutečných čísel

• Cabillón, Julio; Miller, Jeff. „Nejdříve známá použití matematických výrazů“ . Citováno 22. listopadu 2008 .

  Stránka pokrývající nejstarší použití matematických výrazů

• O'Conner, JJ; Robertson, EF „biografie Françoise Servoise“ . MacTutor . Vyvolány 8 August rok 2007 .

  Životopis Francoise Servoise, který tento výraz poprvé použil