Základní lemma (program Langlands) - Fundamental lemma (Langlands program)

V matematické teorii automorfních forem se základní lemma týká orbitálních integrálů na reduktivní skupině přes lokální pole se stabilními orbitálními integrály na jejích endoskopických skupinách . Předpokládal to Robert Langlands  ( 1983 ) v průběhu vývoje programu Langlands . Základní lemma prokázali Gérard Laumon a Ngô Bảo Châu v případě unitárních skupin a poté Ngô (2010) pro obecné redukční skupiny, vycházející z řady důležitých redukcí provedených Jean-Loup Waldspurgeremk případu Lieových algeber . Časopis Time umístil důkaz Ngô na seznam „10 nejlepších vědeckých objevů roku 2009“. V roce 2010 byla Ngô za tento důkaz oceněna medailí Fields .

Motivace a historie

Langlands nastínil strategii pro prokázání místních a globálních Langlandsových domněnek pomocí trasovacího vzorce Arthur – Selberg , ale aby tento přístup fungoval, musí být geometrické stránky stopového vzorce pro různé skupiny konkrétním způsobem spojeny. Tento vztah má podobu identit mezi orbitální integrálů na redukční skupiny G a H v průběhu nonarchimedean místní oblasti F , kde je skupina H , nazývá endoskopické skupina z G je, konstruované z G a některé další údaje.

První zvažovaný případ byl ( Labesse & Langlands 1979 ). Langlands a Diana Shelstad  ( 1987 ) poté vyvinuli obecný rámec pro teorii endoskopického přenosu a formulovali specifické domněnky. Během příštích dvou desetiletí však bylo dosaženo pouze částečného pokroku směrem k prokázání základního lemmatu. Harris to nazval „překážkou omezující pokrok u řady aritmetických otázek“. Sám Langlands, který psal o počátcích endoskopie, uvedl: ${\ displaystyle G = {\ rm {SL}} _ {2}}$

... není to základní lemma jako takové, co je kritické pro analytickou teorii automorfních forem a pro aritmetiku odrůd Shimura ; je to stabilizovaný (nebo stabilní) stopový vzorec, redukce samotného stopového vzorce na stabilní stopový vzorec pro skupinu a její endoskopické skupiny a stabilizace Grothendieck-Lefschetzova vzorce . Nic z toho není možné bez základního lemmatu a jeho absence způsobila, že pokrok byl téměř nemožný po více než dvacet let.

Prohlášení

Základní lemma uvádí, že orbitální integrál O pro skupinu G se rovná stabilnímu orbitálnímu integrálu SO pro endoskopickou skupinu H , a to až do faktoru přenosu Δ ( Nadler 2012 ):

${\ displaystyle SO _ {\ gamma _ {H}} (1_ {K_ {H}}) = \ Delta (\ gamma _ {H}, \ gamma _ {G}) O _ {\ gamma _ {G}} ^ { \ kappa} (1_ {K_ {G}})}$

kde

• F je místní pole
• G je unramified skupina definovaná nad F , jinými slovy kvazi-rozdělená redukční skupina definovaná nad F, která se rozdělí nad unramified příponou F
• H je unramified endoskopická skupina G asociovaná s κ
• K _G a K _H jsou hyperspecial maximální kompaktní podskupiny G a H , což znamená, hrubě, že jsou podskupiny bodů s koeficienty v kruhu celých čísel z F .
• 1 _{K G} a 1 _{K H} jsou charakteristické funkce K _G a K _H .
• Δ (γ _H , γ _G ) je faktor přenosu, určitý elementární výraz v závislosti na γ _H a γ _G
• γ _H a γ _G jsou prvky G a H představující stabilní conjugacy tříd, tak, aby se stabilní conjugacy třída G je převod třídy stabilní conjugacy z H .
• κ je znak skupiny tříd konjugace ve stabilní třídě konjugace γ _G
• SO a O jsou stabilní orbitální integrály a orbitální integrály v závislosti na jejich parametrech.

Přístupy

Shelstad (1982) prokázal základní lemma pro archimédská pole.

Waldspurger (1991) ověřil základní lemma pro obecné lineární skupiny.

Kottwitz (1992) a Blasius & Rogawski (1992) ověřili některé případy základního lematu pro trojrozměrné jednotné skupiny.

Hales (1997) a Weissauer (2009) ověřili základní lemma pro symplektické a obecné symlektické skupiny Sp ₄ , GSp ₄ .

Papír George Lusztiga a Davida Kazhdana poukázal na to, že orbitální integrály lze interpretovat jako počítání bodů na určitých algebraických varietách přes konečná pole. Dále lze dotyčné integrály vypočítat způsobem, který závisí pouze na zbytkovém poli F ; a problém lze omezit na verzi orbitálních integrálů z Lie algebry. Poté byl problém zopakován, pokud jde o Springerovo vlákno algebraických skupin. Okruh myšlenek byl spojen s domněnkou čistoty ; Laumon poskytl podmíněný důkaz založený na takové domněnce pro jednotné skupiny. Laumon a Ngô ( 2008 ) poté dokázali základní lemma pro unitární skupiny pomocí Hitchinovy ​​fibrace zavedené Ngô ( 2006 ), což je abstraktní geometrický analog Hitchinova systému komplexní algebraické geometrie. Waldspurger (2006) ukázal u Lieových algeber, že případ funkčního pole implikuje základní lemma nad všemi místními poli, a Waldspurger (2008) ukázal, že základní lemma u Lieových algeber implikuje základní lemma pro skupiny.

Poznámky

Reference

• Blasius, Don; Rogawski, Jonathan D. (1992), „Základní lemma pro U (3) a příbuzné skupiny“, Langlands, Robert P .; Ramakrishnan, Dinakar (eds.), Zeta funkce modulárních povrchů Picard , Montreal, QC: Univ. Montréal, s. 363–394, ISBN 978-2-921120-08-1, MR  1155234
• Casselman, W. (2009), Langlands 'Fundamental Lemma for SL (2) (PDF)
• Dat, Jean-François (listopad 2004), Lemme fondamental et endoscopie, une accche géométrique, d'après Gérard Laumon et Ngô Bao Châu (PDF) , Séminaire Bourbaki , č. 940
• Hales, Thomas C. (1997), „Základní lemma pro Sp (4)“, Proceedings of the American Mathematical Society , 125 (1): 301–308, doi : 10,1090 / S0002-9939-97-03546-6 , ISSN  0002-9939 , MR  1346977
• Harris, M. (ed.), Stabilisation de la formule des traces, variétés de Shimura, et applications arithmétiques , archivovány od originálu dne 2012-04-20 , vyvolány 04.01.2012
• Kazhdan, David; Lusztig, George (1988), „Fixed point variety on affine flag manifolds“, Israel Journal of Mathematics , 62 (2): 129–168, doi : 10,1007 / BF02787119 , ISSN  0021-2172 , MR  0947819
• Kottwitz, Robert E. (1992), „Výpočet některých orbitálních integrálů“, Langlands, Robert P .; Ramakrishnan, Dinakar (eds.), Zeta funkce modulárních povrchů Picard , Montreal, QC: Univ. Montréal, str. 349–362, ISBN 978-2-921120-08-1, MR  1155233
• Labesse, Jean-Pierre; Langlands, RP (1979), „L-nerozlišitelnost pro SL (2)“, Canadian Journal of Mathematics , 31 (4): 726–785, doi : 10,4153 / CJM-1979-070-3 , ISSN  0008-414X , MR  0540902
• Langlands, Robert P. (1983), Les débuts d'une formule des traces stable , Publications Mathématiques de l'Université Paris VII [Mathematical Publications of the University of Paris VII], 13 , Paris: Université de Paris VII UER de Mathématiques, MR  0697567
• Langlands, Robert P .; Shelstad, Diana (1987), „O definici převodních faktorů“, Mathematische Annalen , 278 (1): 219–271, doi : 10,1007 / BF01458070 , ISSN  0025-5831 , MR  0909227
• Laumon, Gérard (2006), „Aspects géométriques du Lemme Fondamental de Langlands-Shelstad“, mezinárodní kongres matematiků. Sv. II , Eur. Matematika. Soc., Zürich, str. 401-419, MR  2275603 , archivovány od originálu na 2012-03-15 , vyvolány 2012-01-09
• Laumon, Gérard; Ngô, Bao Châu (2008), „Le lemme fondamental pour les groupes unitaires“, Annals of Mathematics , Second Series, 168 (2): 477–573, arXiv : math / 0404454 , doi : 10,4007 / annals.2008.168.477 , ISSN  0003-486X , MR  2434884
• Nadler, David (2012), „Geometrická podstata základního lemmatu“, Bulletin of the American Mathematical Society , 49 : 1–50, arXiv : 1009.1862 , doi : 10.1090 / S0273-0979-2011-01342-8 , ISSN  0002 -9904
• Ngô, Bao Châu (2006), „Fibration de Hitchin et endoscopie“, Inventiones Mathematicae , 164 (2): 399–453, arXiv : math / 0406599 , Bibcode : 2006InMat.164..399N , doi : 10,1007 / s00222-005 -0483-7 , ISSN  0020-9910 , MR  2218781
• Ngô, Bao Châu (2010), „Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie“, Institut des Hautes Études Scientifiques. Publikace Mathématiques , 111 : 1–169, arXiv : 0801.0446 , doi : 10,1007 / s10240-010-0026-7 , ISSN  0073-8301 , MR  2653248
• Shelstad, Diana (1982), „L-nerozeznatelnost pro skutečné skupiny“, Mathematische Annalen , 259 (3): 385–430, doi : 10,1007 / BF01456950 , ISSN  0025-5831 , MR  0661206
• Waldspurger, Jean-Loup (1991), „Sur les intégrales orbitales tordues pour les groupes linéaires: un lemme fondamental“, Canadian Journal of Mathematics , 43 (4): 852–896, doi : 10,4153 / CJM-1991-049-5 , ISSN  0008-414X , MR  1127034
• Waldspurger, Jean-Loup (2006), „Endoscopie et changement de caractéristique“, Journal of the Mathematics Institute of Jussieu. JIMJ. Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu , 5 (3): 423–525, doi : 10.1017 / S1474748006000041 , ISSN  1474-7480 , MR  2241929
• Waldspurger, Jean-Loup (2008), „L'endoscopie tordue n'est pas si tordue“ [Twisted endoscopy is not so twisted] (PDF) , Memoirs of the American Mathematical Society (ve francouzštině), Providence, RI: American Mathematical Society , 194 (908): 261, ISBN 978-0-8218-4469-4, ISSN  0065-9266 , MR  2418405
• Weissauer, Rainer (2009), Endoscopy for GSp (4) and the cohomology of Siegel modular threefolds , Lecture Notes in Mathematics, 1968 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-540-89306-6 , ISBN 978-3-540-89305-9, MR  2498783

externí odkazy

• Gerard Laumon přednáška o základním lemmatu pro unitární skupiny
• Basken, Paul (12. září 2010). „Porozumění Langlands Fundamental Lemma“ . Kronika vysokoškolského vzdělávání .