Gaussova q -distribuce - Gaussian q-distribution

V matematické fyzice a pravděpodobnosti a statistice je gaussovské q -distribuce rodina rozdělení pravděpodobnosti, která zahrnuje, jako omezující případy , rovnoměrné rozdělení a normální (Gaussovo) rozdělení . To bylo představeno Diaz a Teruel, je q-analog Gaussova nebo normální distribuce .

Distribuce je symetrická kolem nuly a je omezená, s výjimkou omezujícího případu normálního rozdělení. Omezující rovnoměrné rozdělení je v rozsahu -1 až +1.

Definice

Gaussova q-hustota.

Nechť q je reálné číslo v intervalu [0, 1). Funkce hustoty pravděpodobnosti Gaussova rozdělení q je dána vztahem

${\ displaystyle s_ {q} (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x <- \ nu \\ {\ frac {1} {c (q)}} E_ {q ^ { 2}} ^ {\ frac {-q ^ {2} x ^ {2}} {[2] _ {q}}} & {\ text {if}} - \ nu \ leq x \ leq \ nu \\ 0 & {\ mbox {if}} x> \ nu. \ End {cases}}}$

kde

${\ displaystyle \ nu = \ nu (q) = {\ frac {1} {\ sqrt {1-q}}},}$

${\ displaystyle c (q) = 2 (1-q) ^ {1/2} \ součet _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m} q ^ {m ( m + 1)}} {(1-q ^ {2m + 1}) (1-q ^ {2}) _ {q ^ {2}} ^ {m}}}.}$

Q -analogue [ t ] _q reálného čísla je dán ${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle [t] _ {q} = {\ frac {q ^ {t} -1} {q-1}}.}$

Q -analogue v exponenciální funkce je Q-exponenciální , E ^x
_q , který je dán

${\ displaystyle E_ {q} ^ {x} = \ součet _ {j = 0} ^ {\ infty} q ^ {j (j-1) / 2} {\ frac {x ^ {j}} {[j ]!}}}$

kde q -analog faktoriálu je q-faktoriál , [ n ] _q !, který je zase dán

${\ displaystyle [n] _ {q}! = [n] _ {q} [n-1] _ {q} \ cdots [2] _ {q} \,}$

pro celé číslo n  > 2 a [1] _q ! = [0] _q ! = 1.

Kumulativní Gaussova q-distribuce.

Kumulativní distribuční funkce Gaussova q -distribution je dána vztahem

${\ displaystyle G_ {q} (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x <- \ nu \\ [12pt] \ displaystyle {\ frac {1} {c (q)}} \ int _ {- \ nu} ^ {x} E_ {q ^ {2}} ^ {- q ^ {2} t ^ {2} / [2]} \, d_ {q} t & {\ text {pokud }} - \ nu \ leq x \ leq \ nu \\ [12pt] 1 & {\ text {if}} x> \ nu \ end {případy}}}$

kde integrační symbol označuje Jacksonův integrál .

Funkce G _q je dána explicitně

${\ displaystyle G_ {q} (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x <- \ nu, \\\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac { 1-q} {c (q)}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n (n + 1)} (q-1) ^ {n}} {( 1-q ^ {2n + 1}) (1-q ^ {2}) _ {q ^ {2}} ^ {n}}} x ^ {2n + 1} & {\ text {if}} - \ nu \ leq x \ leq \ nu \\ 1 & {\ text {if}} \ x> \ nu \ end {případy}}}$

kde

${\ displaystyle (a + b) _ {q} ^ {n} = \ prod _ {i = 0} ^ {n-1} (a + q ^ {i} b).}$

Okamžiky

Tyto momenty na Gaussovu q -distribution jsou dány

${\ displaystyle {\ frac {1} {c (q)}} \ int _ {- \ nu} ^ {\ nu} E_ {q ^ {2}} ^ {- q ^ {2} x ^ {2} / [2]} \, x ^ {2n} \, d_ {q} x = [2n-1] !!,}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {c (q)}} \ int _ {- \ nu} ^ {\ nu} E_ {q ^ {2}} ^ {- q ^ {2} x ^ {2} / [2]} \, x ^ {2n + 1} \, d_ {q} x = 0,}$

kde symbol [2 n  - 1] !! je q -analog dvojitého faktoriálu daný

${\ displaystyle [2n-1] [2n-3] \ cdots [1] = [2n-1] !!. \,}$

Viz také

• Q-Gaussův proces

Reference

• Díaz, R .; Pariguan, E. (2009). „Na Gaussovu q-distribuci“. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 358 : 1. arXiv : 0807.1918 . doi : 10.1016 / j.jmaa.2009.04.046 .
• Diaz, R .; Teruel, C. (2005). „q, k-zobecněné funkce gama a beta“ (PDF) . Časopis nelineární matematické fyziky . 12 (1): 118–134. arXiv : math / 0405402 . Bibcode : 2005JNMP ... 12..118D . doi : 10.2991 / jnmp.2005.12.1.10 .
• van Leeuwen, H .; Maassen, H. (1995). „A q deformace Gaussova rozdělení“ (PDF) . Journal of Mathematical Physics . 36 (9): 4743. Bibcode : 1995JMP .... 36.4743V . CiteSeerX   10.1.1.24.6957 . doi : 10,1063 / 1,530917 .
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications , New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN   0853124914 , ISBN   0470274530 , ISBN   978-0470274538