q -Gaussova distribuce - q-Gaussian distribution

q -Gaussian

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Parametry	${\ displaystyle q <3}$ tvar ( skutečný ) ( skutečný ) ${\ displaystyle \ beta> 0}$
Podpěra, podpora	${\ displaystyle x \ in (- \ infty; + \ infty) \!}$ pro pro ${\ displaystyle 1 \ leq q <3}$ ${\ displaystyle x \ in \ left [\ pm {1 \ over {\ sqrt {\ beta (1-q)}}} \ right]}$${\ displaystyle q <1}$
PDF	${\ displaystyle {{\ sqrt {\ beta}} \ přes C_ {q}} e_ {q} ({- \ beta x ^ {2}})}$
Znamenat	${\ displaystyle 0 {\ text {for}} q <2}$ , jinak nedefinováno
Medián	${\ displaystyle 0}$
Režim	${\ displaystyle 0}$
Rozptyl	${\ displaystyle {1 \ over {\ beta (5-3q)}} {\ text {pro}} q <{5 \ nad 3}}$ ${\ displaystyle \ infty {\ text {pro}} {5 \ nad 3} \ leq q <2}$ ${\ displaystyle {\ text {nedefinováno pro}} 2 \ leq q <3}$
Šikmost	${\ displaystyle 0 {\ text {for}} q <{3 \ nad 2}}$
Př. špičatost	${\ displaystyle 6 {q-1 \ nad 7-5q} {\ text {pro}} q <{7 \ nad 5}}$

Q -Gaussian je rozdělení pravděpodobnosti vyplývající z maximalizace entropie Tsallis za vhodných omezení. Je to jeden příklad distribuce Tsallis . Q -Gaussian je zobecněním Gaussova stejným způsobem, který Tsallis entropie je zobecněním standardního Boltzmannova-Gibbs entropie nebo Shannon entropie . Normální rozdělení se izoluje jako q  → 1.

Q -Gaussian byla aplikována na problémy v oblastech statistické mechaniky , geologie , anatomii , astronomie , ekonomika , finance a strojového učení . Distribuce je často přednost pro jeho těžké ocasy ve srovnání s Gaussova pro 1 < q <3. Pro na q -Gaussian distribuce je PDF z ohraničené náhodné veličiny . Díky tomu je v biologii a dalších doménách q- gaussovská distribuce vhodnější než Gaussova distribuce k modelování účinku vnější stochasticity. V roce 2008 byl navržen zobecněný q -analog klasické centrální limitní věty , ve kterém je omezení nezávislosti proměnných iid uvolněno v rozsahu definovaném parametrem q , přičemž nezávislost je obnovena jako q  → 1. Důkaz o taková věta stále chybí. ${\ displaystyle q <1}$

V oblastech těžkého ocasu je distribuce ekvivalentní Studentovu t -distribuci s přímým mapováním mezi q a stupni volnosti . Odborník využívající jednu z těchto distribucí může proto parametrizovat stejnou distribuci dvěma různými způsoby. Volba q- gaussovské formy může nastat, pokud systém není rozsáhlý nebo pokud chybí spojení s malými velikostmi vzorků.

Charakterizace

Funkce hustoty pravděpodobnosti

Q -Gaussian má funkci hustoty pravděpodobnosti

${\ displaystyle f (x) = {{\ sqrt {\ beta}} \ nad C_ {q}} e_ {q} (- \ beta x ^ {2})}$

kde

${\ displaystyle e_ {q} (x) = [1+ (1-q) x] _ {+} ^ {1 \ nad 1-q}}$

je q -exponenciální a normalizační faktor je dán vztahem ${\ displaystyle C_ {q}}$

${\ displaystyle C_ {q} = {{2 {\ sqrt {\ pi}} \ gama \ doleva ({1 \ nad 1-q} \ doprava)} \ nad {(3-q) {\ sqrt {1- q}} \ Gamma \ vlevo ({3-q \ nad 2 (1-q)} \ vpravo)}} {\ text {pro}} - \ infty <q <1}$

${\ displaystyle C_ {q} = {\ sqrt {\ pi}} {\ text {pro}} q = 1 \,}$

${\ displaystyle C_ {q} = {{{\ sqrt {\ pi}} \ Gamma \ vlevo ({3-q \ nad 2 (q-1)} \ vpravo)} \ nad {{\ sqrt {q-1 }} \ Gamma \ left ({1 \ over q-1} \ right)}} {\ text {for}} 1 <q <3.}$

Všimněte si, že pro pro q -Gaussian distribuce je PDF z ohraničené náhodné veličiny . ${\ displaystyle q <1}$

Entropie

Stejně jako normální distribuce je maximální distribuce entropie informací pro pevné hodnoty prvního a druhého okamžiku (s pevným nulovým momentem odpovídajícím podmínce normalizace), je q -Gaussovo rozdělení maximální distribucí entropie Tsallis pro pevné hodnoty těchto tři okamžiky. ${\ displaystyle \ operatorname {E} (X)}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (X ^ {2})}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (X ^ {0}) = 1}$

Související distribuce

Studentova t -distribuce

I když to lze ospravedlnit zajímavou alternativní formou entropie, statisticky jde o zmenšenou reparametrizaci Studentova t -distribuce zavedenou W. Gossetem v roce 1908 k popisu statistik malého vzorku. V původní prezentaci Gossetu byl parametr stupňů volnosti ν omezen na kladné celé číslo související s velikostí vzorku, ale lze snadno pozorovat, že funkce hustoty Gossetu je platná pro všechny skutečné hodnoty ν . Škálovaná reparametrizace zavádí alternativní parametry q a β, které se vztahují k ν .

Vzhledem k Studentovu t - rozdělení s ν stupni volnosti má ekvivalent q- Gaussian

${\ displaystyle q = {\ frac {\ nu +3} {\ nu +1}} {\ text {with}} \ beta = {\ frac {1} {3-q}}}$

s inverzí

${\ displaystyle \ nu = {\ frac {3-q} {q-1}}, {\ text {ale pouze pokud}} \ beta = {\ frac {1} {3-q}}.}$

Kdykoli je funkce jednoduše škálovanou verzí Studentova t -distribuce. ${\ displaystyle \ beta \ neq {1 \ nad {3-q}}}$

Někdy se tvrdí, že distribuce je zevšeobecněním Studentova t -distribuce na záporné nebo neceločíselné stupně volnosti. Teorie Studentova t -distribuce se však triviálně vztahuje na všechny skutečné stupně volnosti, kde je podpora distribuce v případě ν <0 nyní spíše kompaktní než nekonečná .

Verze se třemi parametry

Stejně jako u mnoha distribucí zaměřených na nulu lze q- gaussian triviálně rozšířit tak, aby zahrnoval i parametr umístění μ . Hustota je pak definována pomocí

${\ displaystyle {{\ sqrt {\ beta}} \ přes C_ {q}} e_ {q} ({- \ beta (x- \ mu) ^ {2}}).}$

Generování náhodných odchylek

Box-Muller převádí je zobecnit, aby náhodný odběr vzorků z q -Gaussians. Standardní technika Box – Muller generuje dvojice nezávislých normálně distribuovaných proměnných z rovnic následujícího tvaru.

${\ displaystyle Z_ {1} = {\ sqrt {-2 \ ln (U_ {1})}} \ cos (2 \ pi U_ {2})}$

${\ displaystyle Z_ {2} = {\ sqrt {-2 \ ln (U_ {1})}} \ sin (2 \ pi U_ {2})}$

Zobecněná technika Box – Muller může generovat páry q- gaussovských odchylek, které nejsou nezávislé. V praxi bude z dvojice rovnoměrně rozložených proměnných vygenerována pouze jedna odchylka. Následující vzorec vygeneruje odchylky od q- Gaussian se zadaným parametrem q a ${\ displaystyle \ beta = {1 \ nad {3-q}}}$

${\ displaystyle Z = {\ sqrt {-2 {\ text {ln}} _ {q '} (U_ {1})}} {\ text {cos}} (2 \ pi U_ {2})}$

kde je q -logaritmus a ${\ displaystyle {\ text {ln}} _ {q}}$${\ displaystyle q '= {{1 + q} \ nad {3-q}}}$

Tyto odchylky lze transformovat tak, aby generovaly odchylky od libovolného q- gaussianského typu

${\ displaystyle Z '= \ mu + {Z \ nad {\ sqrt {\ beta (3-q)}}}}$

Aplikace

Fyzika

Bylo prokázáno, že distribuce hybnosti chladných atomů v disipativních optických mřížkách je q- gaussian.

Q -Gaussian distribuce je také získat jako asymptotické funkce hustoty pravděpodobnosti z polohy jednodimenzionální pohybu hmotného subjektu dvou sil: deterministický sílu typu (určující nekonečný potenciál i) a stochastický bílého šumu síly , kde je bílý šum . Všimněte si, že v aproximaci overdamped / small mass výše zmíněná konvergence selhává , jak bylo nedávno ukázáno. ${\ displaystyle F_ {1} (x) = - 2x / (1-x ^ {2})}$${\ displaystyle F_ {2} (t) = {\ sqrt {2 (1-q)}} \ xi (t)}$${\ displaystyle \ xi (t)}$${\ displaystyle q <0}$

Finance

Distribuce finančních výnosů na newyorské burze cenných papírů, NASDAQ a jinde byly interpretovány jako q- gaussové.

Viz také

• Constantino Tsallis
• Statistiky Tsallis
• Tsallisova entropie
• Distribuce Tsallis
• q -exponenciální rozdělení
• Q-Gaussův proces

Poznámky

Další čtení

• Juniper, J. (2007) „Tsallisova distribuce a zobecněná entropie: vyhlídky na budoucí výzkum rozhodování za nejistoty“ (PDF) . , Centrum plné zaměstnanosti a spravedlnosti, The University of Newcastle, Australia

externí odkazy

• Statistika Tsallis, statistická mechanika pro nerozsáhlé systémy a interakce na velké vzdálenosti