Modulární odrůda Hilbert - Hilbert modular variety

V matematice, Hilbertova modulární povrch nebo Hilbertova-Blumenthal povrch je algebraický povrch získaný tím, že kvocient součin dvou kopií horní polorovině o modulární skupinou Hilbertova . Obecněji řečeno, Hilbertova modulární odrůda je algebraická odrůda získaná odebráním kvocientu produktu více kopií horní poloroviny pomocí Hilbertovy modulární skupiny.

Hilbertovy modulární povrchy poprvé popsal Otto Blumenthal ( 1903 , 1904 ) pomocí několika nepublikovaných poznámek, které napsal David Hilbert asi před 10 lety.

Definice

Pokud R je kruh celých čísel o skutečné kvadratické pole , pak Hilbertovy modulární skupina SL ₂ ( R ) působí na výrobku H x H ze dvou kopií horní poloviny roviny H . S touto akcí souvisí několik biracionálně ekvivalentních povrchů, z nichž každý lze nazvat Hilbertovy modulární povrchy :

Povrch X je kvocient H × H podle SL ₂ ( R ); není kompaktní a obvykle má kvocientové singularity vycházející z bodů s netriviálními izotropními skupinami.
Povrch X ^* se získá z X přidáním konečného počtu bodů odpovídajících vrcholům akce. Je kompaktní a má nejen kvocientové singularity X , ale také singularity ve svých vrcholcích.
Povrch Y se získá z X ^* minimálním řešením singularit. Jedná se o kompaktní hladký algebraický povrch , ale obecně není minimální.
Povrch Y ⁰ se získá z Y sfouknutím určitých výjimečných -1 křivek. Je hladký a kompaktní a je často (ale ne vždy) minimální.

Existuje několik variant této konstrukce:

Hilbertova modulární skupina může být nahrazena nějakou podskupinou konečného indexu, jako je například podskupina kongruence .
Jeden může rozšířit Hilbertovu modulární skupinu o skupinu řádu 2, působící na Hilbertovu modulární skupinu prostřednictvím Galoisovy akce a výměnou dvou kopií horní poloviční roviny.

Singularity

Hirzebruch (1953) ukázal, jak vyřešit kvocientové singularity, a Hirzebruch (1971) ukázal, jak vyřešit jejich špičkové singularity.

Klasifikace povrchů

Papíry Hirzebruch (1971) , Hirzebruch & Van de Ven (1974) a Hirzebruch & Zagier (1977), které lze identifikovat jejich typ v klasifikaci algebraických ploch . Většina z nich jsou povrchy obecného typu , ale některé z nich jsou racionální povrchy nebo vyfukované povrchy K3 nebo eliptické povrchy .

Příklady

van der Geer (1988) uvádí dlouhou tabulku příkladů.

Clebsch povrch vyhozen na jeho 10 Eckardt bodů je Hilbertova modulární povrch.

Přidruženo k rozšíření kvadratického pole

Vzhledem k tomu, rozšíření kvadratické těleso pro tam je spojena Hilbert modulární odrůdy získané z compactifying určité množství zlomků a řešení je to singularity. Dovolit značí horní polovinu letadlo a nechat působit na via ${\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {p}})}$ ${\ displaystyle p = 4k + 1}$ ${\ displaystyle Y (p)}$ ${\ displaystyle X (p)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$ ${\ displaystyle SL (2, {\ mathcal {O}} _ {K}) / \ {\ pm {\ text {Id}} _ {2} \}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}} \ krát {\ mathfrak {H}}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} (z_ {1}, z_ {2}) = \ left ({\ frac {az_ {1} + bz_ {2}} {cz_ {1} + dz_ {2}}}, {\ frac {a'z_ {1} + b'z_ {2}} {c'z_ {1} + d'z_ {2}}} \ vpravo)}$

kde jsou konjugáty Galois . Přidružená kvocient odrůd je označena ${\ displaystyle a ', b', c ', d'}$

${\ displaystyle X (p) = G \ zpětné lomítko {\ mathfrak {H}} \ krát {\ mathfrak {H}}}$

a lze je zhutnit do odrůdy zvané hrbolky , které jsou v bijekci s ideálními třídami v . Vyřešení jeho singularit dává odrůdě zvané Hilbertova modulární odrůda rozšíření pole . Z Baileyho-Borelovy věty o zhuštění existuje zakotvení tohoto povrchu do projektivního prostoru. ${\ displaystyle {\ overline {X}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ text {Cl}} ({\ mathcal {O}} _ {K})}$ ${\ displaystyle Y (p)}$

Viz také

Reference

Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlin, doi : 10,1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3 , MR 2030225
Blumenthal, Otto (1903), „Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen“ , Mathematische Annalen , 56 (4): 509–548, doi : 10,1007 / BF01444306 , S2CID 122293576
Blumenthal, Otto (1904), „Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen“ , Mathematische Annalen , 58 (4): 497–527, doi : 10,1007 / BF01449486 , S2CID 179178108
Hirzebruch, Friedrich (1953), „Über vierdimensionale RIEMANNsche Flächen mehrdeutiger analytischer Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen“ , Mathematische Annalen , 126 (1): 1–22, doi : 10.1007 / BF01343146 , hdl : 2100 , ISSN 0025-5831 , MR 0062842 , S2CID 122862268
Hirzebruch, Friedrich (1971), „Hilbertova modulární skupina, řešení singularit na špičkách a související problémy“, Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971), Exp. No. 396 , Lecture Notes in Math, 244 , Berlin, New York: Springer-Verlag , str. 275–288, doi : 10,1007 / BFb0058707 , ISBN 978-3-540-05720-8 , MR 0417187
Hirzebruch, Friedrich EP (1973), „Hilbert modulární povrchy“, L'Enseignement Mathématique , IIe Série, 19 : 183–281, doi : 10,5169 / seals-46292 , ISSN 0013-8584 , MR 0393045
Hirzebruch, Friedrich ; Van de Ven, Antonius (1974), „Hilbertovy modulární povrchy a klasifikace algebraických povrchů“ , Inventiones Mathematicae ( předložený rukopis), 23 (1): 1–29, doi : 10,1007 / BF01405200 , hdl : 21.11116 / 0000-0004 -39A4-3 , ISSN 0020-9910 , MR 0364262 , S2CID 73577779
Hirzebruch, Friedrich ; Zagier, Don (1977), „Klasifikace modulárních povrchů Hilberta“, Baily, WL; Shioda., T. (eds.), Komplexní analýza a algebraická geometrie , Tokio: Iwanami Shoten, str. 43–77, ISBN 978-0-521-09334-7 , MR 0480356
van der Geer, Gerard (1988), Hilbert modulární povrchy , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Výsledky v matematice a příbuzných oblastech (3)], 16 , Berlín, New York: Springer-Verlag , doi : 10,1007 / 978 -3-642-61553-5 , ISBN 978-3-540-17601-5 , MR 0930101

externí odkazy

Ehlen, S., Krátký úvod do Hilbertovy modulární plochy a Hirzebruch-Zagierovy cykly (PDF)

Languages

In other projects