Vnitřní automorfismus - Inner automorphism

V algebře vnitřní automorphism je automorphism ze skupiny , kruhového , nebo algebry dána konjugační působením pevného prvku, se nazývá konjugací prvek . Mohou být realizovány jednoduchými operacemi uvnitř samotné skupiny, odtud pochází přídavné jméno „vnitřní“. Tyto vnitřní automorfismy tvoří podskupinu skupiny automorfismu a kvocient skupiny automorfismu touto podskupinou dává vznik konceptu vnější skupiny automorfismu .

Definice

Pokud G je skupina a g je prvek G (alternativně, pokud G je kruh a g je jednotka ), pak funkce

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ varphi _ {g} \ colon G & \ to G \\\ varphi _ {g} (x) &: = g^{-1} xg \ end {aligned}}}$

se nazývá (vpravo) konjugace pomocí g (viz také třída konjugace ). Tato funkce je endomorphism of G : pro všechny${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ v G,}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {g} (x_ {1} x_ {2}) = g^{-1} x_ {1} x_ {2} g = (g^{-1} x_ {1} g) ( g^{-1} x_ {2} g) = \ varphi _ {g} (x_ {1}) \ varphi _ {g} (x_ {2}),}$

kde je druhá rovnost dán vložení identity mezi a kromě toho má levé a pravé inverzní , to znamená, je bijective , a tak k izomorfismu G se sebou samým, tj automorphism. Vnitřní automorphism je jakýkoliv automorphism, které vyplývá z konjugace. ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}.}$${\ Displaystyle \ varphi _ {g^{-1}}.}$${\ displaystyle \ varphi _ {g}}$

Hovoříme-li o správné konjugace, exprese je často označován exponenciálně se Tento zápis použita, protože složení konjugací splňuje Identita: pro všechny To ukazuje, že konjugace dává správné působení z G na sebe. ${\ displaystyle g^{-1} xg}$${\ displaystyle x^{g}.}$${\ Displaystyle (x^{g_ {1}})^{g_ {2}} = x^{g_ {1} g_ {2}}}$${\ Displaystyle g_ {1}, g_ {2} \ v G.}$

Skupiny vnitřního a vnějšího automorfismu

Složení dvou vnitřních automorphisms opět vnitřní automorphism, a s touto operací, sběr všech vnitřních automorphisms G je skupina, vnitřní automorphism skupina G označován Inn ( G ) .

Zařízení ( G ), je normální podskupina plného automorphism skupiny Aut ( G ) z G . Vnější automorphism skupina , Z ( G ), je podíl skupina

${\ displaystyle \ operatorname {Out} (G) = \ operatorname {Aut} (G)/\ operatorname {Inn} (G).}$

Vnější skupina automorfismu v jistém smyslu měří, kolik automorfismů G není vnitřních. Každý ne-vnitřní automorfismus přináší netriviální prvek Out ( G ) , ale různé ne-vnitřní automorfismy mohou přinést stejný prvek Out ( G ) .

Říká, že konjugace x pomocí několika listů x beze změny je ekvivalentní výroku, že a x dojíždět:

${\ Displaystyle a^{-1} xa = x \ iff ax = xa.}$

Existence a počet vnitřních automorfismů, které nejsou mapováním identity, je tedy jakýmsi měřítkem selhání komutativního zákona ve skupině (nebo kruhu).

Automorphism skupiny G je vnitřní pouze v případě, že se vztahuje na všechny skupiny obsahující G .

Přidružením prvek ∈ G s vnitřním automorphism f ( x ) = x v Inn ( G ), jak je uvedeno výše, jeden získává izomorfismus mezi podílem skupiny G / Z ( G ), (kde Z ( G ) je centrum z G ) a skupina pro vnitřní automorfismus:

${\ displaystyle G/Z (G) \ cong \ operatorname {Inn} (G).}$

To je důsledek první věty o izomorfismu , protože Z ( G ) je přesně množinou těch prvků G, které dávají mapování identity jako odpovídající vnitřní automorfismus (konjugace nic nemění).

Ne -vnitřní automorfismy konečných p -skupin

Výsledek Wolfganga Gaschütze říká, že pokud G je konečná neabelská p -skupina , pak G má automorfismus p -silového řádu, který není vnitřní.

Je otevřeným problémem, zda každá neabelská p -skupina G má automorfismus řádu p . Druhá otázka má kladnou odpověď, kdykoli má G jednu z následujících podmínek:

1. G je nilpotentní třídy 2
2. G je pravidelná p -skupina
3. G / Z ( G ) je silná p -skupina
4. Centrátor v G , C _G , v centru, Z , na Frattini podskupiny , cp , z G , C, _G ∘ Z ∘ Φ ( G ) , se nerovná cp ( G )

Typy skupin

Skupina vnitřního automorfismu skupiny G , Inn ( G ) , je triviální (tj. Skládá se pouze z prvku identity ) právě tehdy, když je G abelian .

Skupina Inn ( G ) je cyklická, pouze pokud je triviální.

Na opačném konci spektra mohou vnitřní automorfismy vyčerpat celou skupinu automorfismu; skupina, jejíž automorfismy jsou všechny vnitřní a jejichž střed je triviální, se nazývá úplná . To je případ všech symetrických skupin na n prvcích, když n není 2 nebo 6. Když n = 6 , symetrická skupina má jedinečnou netriviální třídu vnějších automorfismů, a když n = 2 , symetrická skupina, navzdory tomu, že nemá žádné vnější automorfismy, je abelianský, dává netriviální centrum a diskvalifikuje ho z úplnosti.

Pokud je skupina vnitřního automorfismu dokonalé skupiny G jednoduchá, pak se G nazývá kvazimimple .

Případ algebry lži

Automorfismus Lieovy algebry 𝔊 se nazývá vnitřní automorfismus, pokud má tvar Ad _g , kde Ad je sousední mapa a g je prvek Lieovy skupiny, jejíž Lieova algebra je 𝔊 . Pojem vnitřního automorfismu pro Lieovy algebry je kompatibilní s pojmem pro skupiny v tom smyslu, že vnitřní automorfismus Lieovy skupiny vyvolává jedinečný vnitřní automorfismus odpovídající Lieovy algebry.

Rozšíření

Jestliže G je skupina jednotek jednoho kruhu , , pak vnitřní automorphism na G může být rozšířena na mapování na projektivní lince přes A ze skupiny jednotek matice kruhu , M ₂ ( A ) . Zejména lze tímto způsobem rozšířit vnitřní automorfismy klasických skupin .

Reference

Další čtení

• Abdollahi, A. (2010), „Mocné p -skupiny mají ne -vnitřní automorfismy řádu p a nějaké kohomologie“, J. Algebra , 323 (3): 779–789, arXiv : 0901.3182 , doi : 10,1016/j.jalgebra .2009.10.013 , MR  2574864
• Abdollahi, A. (2007), „Konečné p -skupiny třídy 2 mají neinnerní automorfismy řádu p “, J. Algebra , 312 (2): 876–879, arXiv : math/0608581 , doi : 10,1016/j.jalgebra .2006.08.036 , MR  2333188
• Deaconescu, M .; Silberberg, G. (2002), „Noninner automorphisms of order p of finite p -groups“, J. Algebra , 250 : 283–287, doi : 10.1006/jabr.2001.9093 , MR  1898386
• Gaschütz, W. (1966), „Nichtabelsche p -Gruppen besitzen äussere p -Automorphismen“, J. Algebra , 4 : 1–2, doi : 10,1016/0021-8693 (66) 90045-7 , MR  0193144
• Liebeck, H. (1965), "Vnější automorfismy v nilpotentních p -skupinách třídy 2 ", J. London Math. Soc. , 40 : 268–275, doi : 10,1112/jlms/s1-40.1.268 , MR  0173708
• Remeslennikov, VN (2001) [1994], „Inner automorphism“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Weisstein, Eric W. „Vnitřní automorfismus“ . MathWorld .