Katerovo kyvadlo - Kater's pendulum

Katerovo původní kyvadlo, které ukazuje použití, z Katerova článku z roku 1818. Kyvadlo je období bylo načasováno porovnáním jeho švih s kyvadlem v přesném hodiny za ním. Pohled (vlevo) byl použit, aby se zabránilo chybě paralaxy .

A Kater je kyvadlo je reverzibilní bez houpající se kyvadlo vynalezl britský fyzik a armádní kapitán Henry Kater v roce 1817 pro použití jako gravimetru nástroj pro měření lokální gravitační zrychlení . Jeho výhodou je, že na rozdíl od předchozích kyvadlových gravimetrů nemusí být stanoveno těžiště kyvadla a střed oscilace , což umožňuje větší přesnost. Asi století, do 30. let, zůstalo Katerovo kyvadlo a jeho různá vylepšení standardní metodou pro měření síly zemské gravitace během geodetických průzkumů. Nyní se používá pouze k prokázání principů kyvadla.

Popis

K měření gravitačního zrychlení g lze použít kyvadlo, protože u úzkých výkyvů závisí jeho perioda výkyvu T pouze na ga jeho délce L :

${\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}} \ qquad \ qquad \ qquad (1) \,}$

Takže změřením délky L a periody T kyvadla lze vypočítat g .

Katerovo kyvadlo se skládá z tuhé kovové tyče se dvěma otočnými body, jeden blízko každého konce tyče. Může být zavěšen buď na čepu, nebo otočen. Má také buď nastavitelnou váhu, kterou lze pohybovat nahoru a dolů po tyči, nebo jeden nastavitelný otočný čep, který upravuje doby švihu. Při použití je otočen z jednoho otočného čepu a načasovaná perioda a poté otočena vzhůru nohama a otočena z druhého otočného čepu a načasovaná perioda. Pohyblivá váha (nebo otočný čep) se nastavuje, dokud nejsou obě období stejná. V tomto bodě se perioda T rovná periodě „ideálního“ jednoduchého kyvadla o délce rovnající se vzdálenosti mezi čepy. Z období a naměřené vzdálenosti L mezi otočnými čepy lze gravitační zrychlení vypočítat s velkou přesností z výše uvedené rovnice (1).

Zrychlení způsobené gravitací Katerovým kyvadlem je dáno vztahem,

${\ displaystyle g = {\ frac {8 \ pi ^ {2}} {{\ dfrac {T_ {1} ^ {2} + T_ {2} ^ {2}} {l_ {1} + l_ {2} }} + {\ dfrac {T_ {1} ^ {2} -T_ {2} ^ {2}} {l_ {1} -l_ {2}}}}}}$

kde T1 a T2 jsou časové periody oscilací, když jsou zavěšeny na K1 a K2 a l1 a l2 jsou vzdálenosti hran nožů K1 a K2 od těžiště.

Dějiny

Měření gravitace pomocí kyvadel

Katerovo kyvadlo a postavení

První osobou, která zjistila, že gravitace kolísala na zemském povrchu, byl francouzský vědec Jean Richer , který byl v roce 1671 vyslán na expedici do Cayenne ve Francouzské Guyaně francouzskou Académie des Sciences , která měla za úkol provádět měření pomocí kyvadlových hodin . Prostřednictvím pozorování, která provedl v následujícím roce, Richer zjistil, že hodiny byly o 2½ minuty denně pomalejší než v Paříži, nebo ekvivalentně délka kyvadla s výkyvem jedné sekundy byla 1¼ pařížských čar nebo 2,6 mm, kratších než v Paříži. Vědci toho dne si uvědomili a Isaac Newton v roce 1687 dokázal , že to bylo způsobeno skutečností, že Země nebyla dokonalá koule, ale mírně zploštělá ; na rovníku to bylo silnější kvůli rotaci Země. Protože povrch byl dále od středu Země v Cayenne než v Paříži, byla tam gravitace slabší. Od té doby se kyvadla pro volné otáčení začaly používat jako přesné gravimetry prováděné na cestách do různých částí světa, aby se změřilo místní gravitační zrychlení. Hromadění dat geografické gravitace vedlo k stále přesnějším modelům celkového tvaru Země.

Kyvadla se k měření gravitace používala tak všeobecně, že v Katerově době nebyla místní síla gravitace obvykle vyjádřena nikoliv hodnotou nyní použitého zrychlení g , ale délkou sekundového kyvadla , kyvadla s tečkou dvě sekundy, takže každý švih trvá jednu sekundu. Z rovnice (1) je patrné, že u vteřinového kyvadla je délka jednoduše úměrná g :

${\ displaystyle g = \ pi ^ {2} L \,}$

Nepřesnost gravimetrických kyvadel

V Katerově době bylo možné období T kyvadel měřit velmi přesně načasováním pomocí přesných hodin nastavených průchodem hvězd nad hlavou. Před Katerovým objevem byla přesnost měření g omezena obtížností přesného měření druhého faktoru L , délky kyvadla. L v rovnici (1) výše byla délka ideálního matematického „jednoduchého kyvadla“ skládajícího se z bodové hmoty houpající se na konci bezhmotné šňůry. „Délka“ skutečného kyvadla, výkyvného tuhého tělesa, známého v mechanice jako složené kyvadlo , je však obtížnější definovat. V roce 1673 nizozemský vědec Christiaan Huygens ve své matematické analýze kyvadel, Horologium Oscillatorium , ukázal, že skutečné kyvadlo mělo stejné období jako jednoduché kyvadlo s délkou rovnou vzdálenosti mezi bodem otáčení a bodem nazývaným středem oscilace , který se nachází pod těžištěm kyvadla a závisí na rozložení hmoty po délce kyvadla. Problém byl v tom, že neexistoval způsob, jak přesně lokalizovat polohu oscilace ve skutečném kyvadle. Teoreticky by se to dalo vypočítat z tvaru kyvadla, pokud by kovové části měly jednotnou hustotu, ale metalurgická kvalita a matematické schopnosti té doby neumožňovaly provést výpočet přesně.

Chcete-li tento problém obejít, většina vědců v rané gravitaci, jako Jean Picard (1669), Charles Marie de la Condamine (1735) a Jean-Charles de Borda (1792), aproximovala jednoduché kyvadlo pomocí kovové koule zavěšené světlem drát. Pokud měl drát zanedbatelnou hmotu, střed oscilace byl blízko těžiště koule. Ale i přesné nalezení těžiště koule bylo obtížné. Navíc tento typ kyvadla ze své podstaty nebyl příliš přesný. Koule a drát se nehýbaly sem a tam jako tuhá jednotka, protože koule při každém švihu získala mírný moment hybnosti . Drát se také během švihu kyvadla pružně protáhl a během cyklu mírně změnil L.

Katerovo řešení

V Horologium Oscillatorium však Huygens také dokázal, že otočný bod a střed oscilace jsou zaměnitelné. To znamená, že pokud je jakékoli kyvadlo zavěšeno vzhůru nohama ze svého středu oscilace, má stejnou dobu švihu a nový střed oscilace je starý otočný bod. Vzdálenost mezi těmito dvěma konjugovanými body se rovnala délce jednoduchého kyvadla se stejnou periodou.

Jako součást výboru jmenovaného Královskou společností v roce 1816 k reformě britských opatření byl Kater smluvně poslaneckou sněmovnou přesně určen délku sekundového kyvadla v Londýně. Uvědomil si, že Huygensův princip lze použít k nalezení středu oscilace, a tedy délky L tuhého (složeného) kyvadla. Pokud bylo kyvadlo zavěšeno vzhůru nohama z druhého otočného bodu, který lze nastavit nahoru a dolů na tyči kyvadla, a druhý otočný čep se nastavil, dokud kyvadlo nemělo stejné období jako při kyvání pravou stranou nahoru z prvního otočného čepu, druhý čep bude v centru kmitání, a vzdálenost mezi dvěma body otáčení by L .

Kater neměl tento nápad jako první. Francouzský matematik Gaspard de Prony poprvé navrhl reverzibilní kyvadlo v roce 1800, ale jeho práce byla publikována až v roce 1889. V roce 1811 jej znovu objevil Friedrich Bohnenberger , ale Kater jej samostatně vynalezl a jako první jej uvedl do praxe.

Výkres Katerova kyvadla
(a) protilehlé čepy ostří nože, ze kterých je kyvadlo zavěšeno
(b) jemné seřizovací závaží posunuté seřizovacím šroubem
(c) hrubé seřizovací závaží upnuté k tyči stavěcím šroubem
(d) bob
(e) ukazatele pro čtení

Kyvadlo

Kater postavil kyvadlo skládající se z mosazné tyče dlouhé asi 2 metry, široké 1 a půl palce a tlusté o osminu palce, se závažím (d) na jednom konci. Pro čep s nízkým třením použil pár krátkých trojúhelníkových čepelí „nože“ připevněných k tyči. Při používání bylo kyvadlo zavěšeno z držáku na stěnu, neseného okraji nožových nožů spočívajícími na plochých achátových deskách. Kyvadlo mělo dva z těchto čepů čepele nože (a) , otočené proti sobě, asi metr (40 palců) od sebe, takže kyvadlo kyvadla trvalo přibližně jednu sekundu, když bylo zavěšeno z každého čepu.

Kater zjistil, že nastavení jednoho z otočných čepů způsobilo nepřesnosti, takže bylo obtížné udržet osu obou čepů přesně rovnoběžně. Místo toho trvale připevnil nože nože k tyči a upravil periody kyvadla malou pohyblivou zátěží (b, c) na hřídeli kyvadla. Vzhledem k tomu, že gravitace se na Zemi liší pouze maximálně o 0,5% a na většině míst mnohem méně, bylo nutné hmotnost pouze mírně upravit. Posunutí hmotnosti směrem k jednomu z otočných čepů snížilo období, kdy bylo zavěšeno z tohoto otočného čepu, a zvýšilo dobu, když bylo zavěšeno z druhého otočného čepu. To mělo také tu výhodu, že přesné měření vzdálenosti mezi čepy muselo být provedeno pouze jednou.

experimentální procedura

K použití bylo kyvadlo zavěšeno z držáku na zeď, přičemž čepy čepele nože byly podepřeny na dvou malých vodorovných achátových deskách, před přesnými kyvadlovými hodinami pro načasování období. Bylo to otočeno nejprve z jednoho otočného čepu a oscilace načasovány, pak se otočily vzhůru nohama a otočeny z druhého otočného čepu, a oscilace znovu načasovány. Malá hmotnost (b) byla nastavena seřizovacím šroubem a postup se opakoval, dokud kyvadlo nemělo stejnou dobu, když se vykývlo z každého otočného čepu. Vložením měřené periody T a naměřené vzdálenosti mezi otočnými lopatkami L do periodické rovnice (1) lze velmi přesně vypočítat g .

Kater provedl 12 pokusů. Měřil periodu svého kyvadla velmi přesně pomocí hodinového kyvadla metodou náhod ; načasování intervalu mezi náhodami, kdy se obě kyvadla synchronně houpaly. Změřil vzdálenost mezi otočnými čepelemi pomocí mikroskopického komparátoru s přesností 2,5 μm na ^10–4 palce. Stejně jako u jiných měření gravitace kyvadla musel použít na výsledek malé korekce u řady proměnných faktorů:

• konečná šířka kyvadla kyvadla, což zvýšilo periodu
• teplota, která způsobila změnu délky tyče v důsledku tepelné roztažnosti
• atmosférický tlak, který snižoval efektivní hmotnost kyvadla vztlakem vytlačeného vzduchu, čímž se prodlužovala doba
• nadmořská výška, která snižovala gravitační sílu se vzdáleností od středu Země. Gravitační měření jsou vždy vztažena k hladině moře .

Výsledek vyjádřil délkou sekundového kyvadla . Po opravách zjistil, že průměrná délka kyvadla slunečních sekund v Londýně, na hladině moře, při teplotě 62 ° F (17 ° C), houpající se ve vakuu, byla 39,1386 palců. To odpovídá gravitačnímu zrychlení 9,81158 m / s ² . Největší odchylka jeho výsledků od průměru byla 0,00028 palce (7,1 μm). To představovalo přesnost měření gravitace 0,7 × 10 ⁻⁵ (7 miligalů ).

V roce 1824 učinil britský parlament Katerovo měření sekundového kyvadla oficiálním záložním standardem délky pro definici loděnice, pokud byl prototyp loděnice zničen.

Použití

Gravimetr s variantou kyvadla Repsold

Velké zvýšení přesnosti měření gravitace, které umožnilo Katerovo kyvadlo, zavedlo gravimetrii jako běžnou součást geodézie . Aby bylo užitečné, bylo nutné najít přesné umístění (zeměpisné šířky a délky) „stanice“, kde bylo provedeno gravitační měření, takže měření kyvadlem se stalo součástí průzkumu . Katerova kyvadla byla převzata z velkých historických geodetických průzkumů velké části světa, které se prováděly během 19. století. Zejména Katerova kyvadla byla použita ve Velkém trigonometrickém průzkumu Indie.

Reverzibilní kyvadla zůstala standardní metodou používanou pro měření absolutní gravitace, dokud nebyla v 50. letech nahrazena gravimetry s volným pádem .

Repsold – Besselovo kyvadlo

Znovu prodané kyvadlo.

Opakované načasování každé periody Katerova kyvadla a nastavování vah tak, aby byly stejné, bylo časově náročné a náchylné k chybám. Friedrich Bessel v roce 1826 ukázal, že to není nutné. Dokud jsou periody měřené od každého otočného čepu, T ₁ a T ₂ , blízké, lze z nich vypočítat periodu T ekvivalentního jednoduchého kyvadla:

${\ displaystyle T ^ {2} = {\ frac {T_ {1} ^ {2} + T_ {2} ^ {2}} {2}} + {\ frac {T_ {1} ^ {2} -T_ {2} ^ {2}} {2}} \ left ({\ frac {h_ {1} + h_ {2}} {h_ {1} -h_ {2}}} \ right) \, \ qquad \ qquad \ qquad (2)}$

Tady a jsou vzdálenosti dvou čepů od těžiště kyvadla. Vzdálenost mezi čepy lze měřit s velkou přesností. a , a tedy jejich rozdíl , nelze měřit se srovnatelnou přesností. Jsou nalezeny vyvážením kyvadla na ostří nože, aby se našlo jeho těžiště, a měřením vzdáleností každého z čepů od těžiště. Protože je však mnohem menší než , druhý člen vpravo ve výše uvedené rovnici je malý ve srovnání s prvním, takže nemusí být stanoven s vysokou přesností a výše popsaný postup vyvažování je dostatečný k poskytnutí přesných výsledků . ${\ displaystyle h_ {1} \,}$${\ displaystyle h_ {2} \,}$${\ displaystyle h_ {1} + h_ {2} \,}$${\ displaystyle h_ {1} \,}$${\ displaystyle h_ {2} \,}$${\ displaystyle h_ {1} -h_ {2} \,}$${\ displaystyle T_ {1} ^ {2} -T_ {2} ^ {2} \,}$${\ displaystyle T_ {1} ^ {2} + T_ {2} ^ {2} \,}$${\ displaystyle h_ {1} -h_ {2} \,}$

Kyvadlo proto nemusí být vůbec nastavitelné, může to být jednoduše tyč se dvěma čepy. Dokud je každý otočný čep blízko středu oscilace druhého, takže obě periody jsou blízko, lze periodu T ekvivalentního jednoduchého kyvadla vypočítat pomocí rovnice (2) a gravitaci lze vypočítat z T a L s (1).

Kromě toho Bessel ukázal, že pokud bylo kyvadlo vyrobeno se symetrickým tvarem, ale na jednom konci bylo interně váženo, chyba způsobená účinky odporu vzduchu by se odstranila. Mohla by být také provedena další chyba způsobená konečným průměrem břitů otočného nože, která se zruší výměnou břitů nože.

Bessel takové kyvadlo nezkonstruoval, ale v roce 1864 vyvinul Adolf Repsold na základě smlouvy se Švýcarskou geodetickou komisí symetrické kyvadlo dlouhé 56 cm s vyměnitelnými otočnými čepelemi s dobou asi 3 s. Repsoldovo kyvadlo bylo hojně používáno švýcarskými a ruskými geodetickými agenturami a v průzkumu Indie . Další široce používaná kyvadla této konstrukce vyrobili Charles Peirce a C. Defforges.

Reference

externí odkazy

• Přesné měření g pomocí Katerova kyvadla, U. ze Sheffieldu, má derivaci rovnic
• Kater, Henry (červen 1818) Popis experimentů pro stanovení délky vibrujících sekund kyvadla na zeměpisné šířce v Londýně, The Edinburgh Review, sv. 30, str.407 Má podrobný popis experimentu, popis kyvadla, stanovenou hodnotu, zájem francouzských vědců