Jyā, koti-jyā a utkrama-jyā - Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā
Jyā , koti-jyā a utkrama-jyā jsou tři trigonometrické funkce zavedené indickými matematiky a astronomy. Nejdříve známé indické pojednání obsahující odkazy na tyto funkce je Surya Siddhanta . Jedná se o funkce kruhových oblouků, nikoli o funkce úhlů. Otkram a kotijyā jsou úzce souvisí s moderními trigonometrických funkcí v sinus a cosinus . Počátky moderních pojmů „sine“ a „kosinus“ byly ve skutečnosti vysledovány v sanskrtských slovech jyā a kotijyā.
Definice
Nechť 'oblouk AB' označuje oblouk, jehož dva končetiny jsou A a B kruhu se středem O. Pokud je kolmý BM upuštěn z B na OA, pak:
- jyā oblouku AB = BM
- koti-jyā z oblouku AB = OM
- utkrama-jyā z oblouku AB = MA
Je-li poloměr kruhu je R a délka oblouku AB je to , zorný úhel oblouku AB při O měřené v radiánech je θ = s / R . Tři indické funkce souvisejí s moderními trigonometrickými funkcemi následovně:
- jyā (oblouk AB) = R sin ( s / R )
- koti-jyā (oblouk AB) = R cos ( s / R )
- utkrama-jyā (oblouk AB) = R (1 - cos ( s / R )) = R versin ( s / R )
Terminologie
Oblouk kruhu je jako luk a tak se nazývá dhanu nebo chāpa, což v sanskrtu znamená „luk“. Přímka spojující dva končetiny oblouku kruhu je jako struna luku a tato čára je akordem kruhu. Tento akord se nazývá otkram který v sanskrtu znamená „tětivy“, pravděpodobně překládat Hipparchos ‚s χορδή se stejným významem. Slovo jīvá je také používáno jako synonymum pro jyā v geometrické literatuře. V určitém okamžiku si indičtí astronomové a matematici uvědomili, že výpočty by byly pohodlnější, kdyby se místo polovičních akordů použily poloviny akordů a spojily se poloviny akordů s polovinami oblouků. Poloviční akordy se nazývaly ardha-jyā s nebo jyā-ardha s. Tyto termíny byly opět zkráceny na jyā vynecháním kvalifikační ardhy, což znamenalo „polovinu“.
Sanskrtské slovo koṭi má význam „bod, hrot“ a konkrétně „ zakřivený konec luku “. V trigonometrii se začalo označovat „doplněk oblouku k 90 °“. Tak Koti-otkram je „ otkram doplňkového oblouku“. V indických pojednáních, zejména v komentářích, se koṭi-jyā často zkracuje jako kojyā . Termín koṭi také označuje „stranu pravoúhlého trojúhelníku“. Tak Koti-otkram mohlo znamenat, že boční pravoúhlý trojúhelník, jeden z jehož strany je otkram .
Utkrama znamená „obrácený“, tedy utkrama-jyā znamená „obrácený akord“. Tabulkové hodnoty utkrama-jyā jsou odvozeny od tabulkových hodnot jyā odečtením prvků od poloměru v obráceném pořadí. Toto je ve skutečnosti šíp mezi lukem a provázkem luku, a proto se také nazýval bāṇa , iṣu nebo śara, což znamená „šíp“.
Oblouk kruhu, který ve středu svírá úhel 90 °, se nazývá vritta-pāda ( kvadrat kruhu). Každé znamení zvěrokruhu definuje oblouk 30 ° a tři po sobě jdoucí znamení zvěrokruhu definuje vritta-pāda . Otkram z vritta-pāda je poloměr kruhu. Indičtí astronomové vytvořili termín tri-jyā k označení poloměru základní kružnice, přičemž termín tri-jyā naznačuje „ jyā tří znaků“. Poloměr se také nazývá vyāsārdha , viṣkambhārdha , vistarārdha atd., To vše znamená „poloprůměr“.
Podle jedné konvence jsou funkce jyā a koti-jyā označovány slovy „Rsin“ a „Rcos“ považovanými za jednotlivá slova. Jiní označují jyā respektive koti-jyā slovy „Sin“ a „Cos“ (první písmena jsou velká písmena v rozporu s prvními písmeny malá písmena v běžných sinusových a kosinových funkcích).
Od jyā po sine
Počátky moderního termínu sine byly stopovány k sanskrtskému slovu jyā , konkrétněji k jeho synonymu jīva . Tento termín byl přijat ve středověké islámské matematice a v arabštině přepsán jako jība ( جيب ). Protože arabština je psána bez krátkých samohlásek - a jako výpůjčka je zde označována dlouhá samohláska s yā with - byla to interpretována jako homografický jayb , což znamená „ňadra“. Překladatel latiny z 12. století v textu použil latinský ekvivalent pro „prsa“, sinus . Když se z jyi stal sinus , analogicky se z kojyā stal sinus .