Čára v nekonečnu - Line at infinity
V geometrii a topologii je linka v nekonečnu je projektivní čára , která se přidává do reálné (afinní) roviny s cílem poskytnout uzávěr, aby, a odstranit výjimečné případy z, na výskytu vlastnosti výsledného projektivní roviny . Čára v nekonečnu se také nazývá ideální čára .
Geometrická formulace
V projektivní geometrii se každá dvojice přímek vždy protíná v určitém bodě, ale rovnoběžky se neprotínají ve skutečné rovině. Čára v nekonečnu se přidá ke skutečné rovině. Tím je rovina dokončena, protože nyní se rovnoběžky protínají v bodě, který leží na přímce v nekonečnu. Také pokud se jakýkoli pár linií protíná v bodě na linii v nekonečnu, pak je dvojice linií paralelní.
Každá čára v určitém bodě protíná čáru v nekonečnu. Bod, ve kterém se protínají rovnoběžky, závisí pouze na sklonu přímek, vůbec ne na jejich průsečíku y .
V afinní rovině se čára táhne ve dvou opačných směrech. V projektivní rovině se dva opačné směry přímky setkávají v bodě na přímce v nekonečnu. Proto jsou čáry v projektivní rovině uzavřené křivky , tj. Jsou spíše cyklické než lineární. To platí pro přímku v nekonečnu samotném; setkává se ve svých dvou koncových bodech (které tedy vlastně nejsou vůbec koncovými body), a tak je ve skutečnosti cyklický.
Topologická perspektiva
Přímku v nekonečnu lze vizualizovat jako kruh, který obklopuje afinní rovinu. Diametrálně protilehlé body kruhu jsou však ekvivalentní - jsou to stejný bod. Kombinace afinní rovině a linky v nekonečnu dělá skutečný projektivní roviny , .
Hyperbola může být viděn jako uzavřené křivky, která protíná linii v nekonečnu ve dvou různých bodech. Tyto dva body jsou specifikovány sklony dvou asymptot hyperboly. Podobně lze parabolu považovat za uzavřenou křivku, která protíná čáru v nekonečnu v jednom bodě. Tento bod je určen sklonem osy paraboly. Pokud je parabola rozříznuta svým vrcholem na symetrický pár „rohů“, pak se tyto dva rohy stávají navzájem více rovnoběžnějšími dále od vrcholu a jsou ve skutečnosti rovnoběžné s osou a navzájem v nekonečnu, takže protínají na přímce v nekonečnu.
Analogem pro komplexní projektivní rovinu je „čára“ v nekonečnu, která je (přirozeně) komplexní projektivní linií . Topologicky je to zcela odlišné v tom, že se jedná o Riemannovu sféru , která je tedy 2- sférou , která se přidává ke složitému afinnímu prostoru dvou dimenzí nad C (tedy čtyřem skutečným rozměrům), což vede k čtyřrozměrnému kompaktnímu potrubí . Výsledek je orientovatelný , zatímco skutečná projektivní rovina není.
Dějiny
Složitá čára v nekonečnu byla hodně používána v geometrii devatenáctého století. Ve skutečnosti jedním z nejpoužívanějších triků bylo považovat kruh za kuželovitý omezený průchod dvěma body v nekonečnu, řešení
- X 2 + Y 2 = 0.
Tato rovnice je forma, kterou má každá kružnice, když v X a Y klesneme o členy nižšího řádu . Více formálně bychom měli používat homogenní souřadnice
- [ X: Y: Z ]
a všimněte si, že čára v nekonečnu je určena nastavením
- Z = 0.
Díky homogenitě rovnic zavedením mocnin Z a následným nastavením Z = 0 přesně vylučujeme členy nižšího řádu.
Při řešení rovnice tedy zjistíme, že všechny kruhy „procházejí“ kruhovými body v nekonečnu
- I = [1: i : 0] a J = [1: - i : 0].
Jedná se samozřejmě o složité body pro jakoukoli představující sadu homogenních souřadnic. Protože projektivní rovina má dostatečně velkou skupinu symetrie , nejsou v žádném případě zvláštní. Závěr je, že rodina tří parametrů kruhů mohou být považovány za zvláštní případ lineárního systému kuželoseček procházejících dvěma danými odlišnými body P a Q .
Viz také
- Eliptická geometrie § Eliptická rovina
- Hyperplán v nekonečnu
- Letadlo v nekonečnu
- Namiřte na nekonečno