Na plášti a mimo pláště - On shell and off shell

Ve fyzice , zejména v teorii kvantového pole , se konfigurace fyzického systému, které splňují klasické pohybové rovnice, nazývají „na hromadné skořápce“ nebo jednoduše častěji na skořápce ; zatímco ti, kteří to neudělají, se nazývají „off mass shell“ nebo off shell .

V kvantové teorii pole se virtuální částice nazývají mimo skořápku, protože nesplňují vztah energie a hybnosti ; částice reálné výměny tento vztah uspokojují a jsou označovány jako shell (mass shell). Například v klasické mechanice jsou ve formulaci akce extrémní řešení variačního principu na skořápce a Euler-Lagrangeovy rovnice dávají rovnice na skořápce. Noetherova věta o diferencovatelných symetriích fyzikálních dějů a zákonech zachování je další teorém na plášti.

Mass shell

Body na povrchu hyperboloidů („skořápka“) jsou řešením rovnice.

Mass shell je synonymem pro hromadný hyperboloid , což znamená hyperboloid v prostoru energie - hybnosti popisující řešení rovnice:

${\ displaystyle E ^ {2} - | {\ vec {p}} \, | ^ {2} c ^ {2} = m_ {0} ^ {2} c ^ {4}}$,

ekvivalence vzorec hmotnost energie , který poskytuje energii , pokud jde o hybnosti a klidové hmotnosti částečky. Rovnice pro hmotnou skořápku je také často psána v termínech čtyř hybnosti ; v Einsteinově zápisu s metrickým podpisem (+, -, -, -) a jednotkách, kde je rychlost světla , jako . V literatuře se lze setkat také s použitým metrickým podpisem (-, +, +, +). ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ ${\ displaystyle c = 1}$${\ displaystyle p ^ {\ mu} p _ {\ mu} \ ekviv p ^ {2} = m ^ {2}}$${\ displaystyle p ^ {\ mu} p _ {\ mu} = - m ^ {2}}$

Čtyř-hybnost vyměněné virtuální částice je s hmotou . Čtyř-hybnost virtuální částice je rozdíl mezi čtyř-hybností přicházejících a odcházejících částic. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle q _ {\ mu}}$${\ displaystyle q ^ {2} = m_ {X} ^ {2}}$${\ displaystyle q _ {\ mu}}$

Virtuální částice odpovídající interním propagátorům ve Feynmanově diagramu mají obecně povoleno být mimo skořápku, ale amplituda procesu se zmenší v závislosti na tom, jak daleko jsou mimo skořápku. Je to proto, že -závislost propagátoru je určena čtyř-momentem přicházejících a odcházejících částic. Propagátor má typicky singularity na masové skořápce. ${\ displaystyle q ^ {2}}$

Když mluvíme o propagátoru, záporné hodnoty, které splňují rovnici, jsou považovány za skořápky, i když klasická teorie neumožňuje záporné hodnoty pro energii částice. Je to proto, že propagátor včleňuje do jednoho výrazu případy, kdy částice nese energii v jednom směru, a ve kterých její antičástice nese energii v druhém směru; negativní a pozitivní on-shell pak jednoduše představují protichůdné toky pozitivní energie. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

Skalární pole

Příkladem je uvažování o skalárním poli v D -rozměrném Minkowského prostoru . Uvažujme Lagrangeovu hustotu danou vztahem . akce${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi, \ částečný _ {\ mu} \ phi)}$

${\ displaystyle S = \ int d ^ {D} x {\ mathcal {L}} (\ phi, \ částečný _ {\ mu} \ phi)}$

Euler-Lagrangeovu rovnici pro tuto akci lze najít změnou pole a jeho derivace a nastavením variace na nulu a je:

${\ displaystyle \ částečné _ {\ mu} {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ phi)}} = {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné \ phi}}}$

Zvažte nekonečně časoprostorový překlad . Lagrangeova hustota je skalární, a tak se bude nekonečně transformovat jako pod nekonečně malou transformací. Na druhou stranu, Taylorovou expanzí , máme obecně ${\ displaystyle x ^ {\ mu} \ rightarrow x ^ {\ mu} + \ alpha ^ {\ mu}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = \ alpha ^ {\ mu} \ částečný _ {\ mu} {\ mathcal {L}}}$

${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný \ phi}} \ delta \ phi + {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L }}} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} \ phi)}} \ delta (\ částečné _ {\ mu} \ phi)}$

Nahrazení a konstatování (protože variace jsou nezávislé v každém bodě časoprostoru): ${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle \ delta (\ částečné _ {\ mu} \ phi) = \ částečné _ {\ mu} (\ delta \ phi)}$

${\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu} \ částečný _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ částečný {\ mathcal {L}}} {\ částečný \ phi}} \ alfa ^ { \ mu} \ částečné _ {\ mu} \ phi + {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné (\ částečné _ {\ nu} \ phi)}} \ alfa ^ {\ mu} \ částečné _ {\ mu} \ částečné _ {\ nu} \ phi}$

Protože to musí platit pro nezávislé překlady , můžeme „rozdělit“ a napsat: ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu} = (\ epsilon, 0, ..., 0), (0, \ epsilon, ..., 0), ...}$${\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu}}$

${\ displaystyle \ částečné _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné \ phi}} \ částečné _ {\ mu} \ phi + { \ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné (\ částečné _ {\ nu} \ phi)}} \ částečné _ {\ mu} \ částečné _ {\ nu} \ phi}$

Toto je příklad rovnice, která drží mimo shell , protože platí pro jakoukoli konfiguraci polí bez ohledu na to, zda respektuje pohybové rovnice (v tomto případě výše uvedená Euler-Lagrangeova rovnice). Můžeme však odvodit rovnici on shell jednoduchým dosazením Euler-Lagrangeovy rovnice:

${\ displaystyle \ částečné _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = \ částečné _ {\ nu} {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné (\ částečné _ {\ nu} \ phi)}} \ částečné _ {\ mu} \ phi + {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné (\ částečné _ {\ nu} \ phi)}} \ částečné _ {\ mu} \ částečný _ {\ nu} \ phi}$

Můžeme to napsat jako:

${\ displaystyle \ částečné _ {\ nu} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné (\ částečné _ {\ nu} \ phi)}} \ částečné _ {\ mu} \ phi - \ delta _ {\ mu} ^ {\ nu} {\ mathcal {L}} \ vpravo) = 0}$

A pokud definujeme množství v závorkách jako , máme: ${\ displaystyle T ^ {\ nu} {} _ {\ mu}}$

${\ displaystyle \ částečné _ {\ nu} T ^ {\ nu} {} _ {\ mu} = 0}$

Toto je příklad Noetherovy věty. Zde je konzervovanou veličinou tenzor energie a napětí , který je konzervován pouze na skořápce, tj. Pokud jsou splněny pohybové rovnice.

Reference