Věta o otevřeném mapování (funkční analýza) - Open mapping theorem (functional analysis)

Ve funkční analýze je open mapování věta , také známý jako teorém Banach-Schauder (pojmenoval Stefan Banach a Juliusz Schauder ), je základním výsledek, který říká, že v případě, že spojitý lineární operátor mezi Banachových prostorů je surjective pak se jedná o otevřený mapa .

Klasická (Banachův prostor) forma

Věta o otevřeném mapování pro Banachovy prostory ( Rudin 1973 , Věta 2.11) - Pokud $X$ a $Y$ jsou Banachovy prostory a $A : X \to Y$ je surjektivní spojitý lineární operátor, pak $A$ je otevřená mapa (tj. Pokud $U$ je otevřená množina v $X$ , pak $A (U)$ je otevřeno v $Y$ ).

Jeden důkaz používá Baire v kategorii větu , a úplnost obou $X$ a $Y$ je zásadní pro teorému. Tvrzení této věty již není pravdivé, pokud se předpokládá, že buď prostor je normovaným prostorem , ale platí, pokud jsou $X$ a $Y$ považovány za Fréchetovy prostory .

Důkaz

Předpokládejme, že $A : X \to Y$ je surjektivní spojitý lineární operátor. Za účelem prokázání, že je otevřená mapa, stačí ukázat, že mapuje otevřené jednotky míč do $X$ do okolí původu $Y$ .

Nechte pak ${\ Displaystyle U = B_ {1}^{X} (0), V = B_ {1}^{Y} (0).}$

{\ Displaystyle X = \ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} kU.}

Protože $A$ je surjektivní:

{\ Displaystyle Y = A (X) = A \ left (\ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} kU \ right) = \ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} A (kU). }

Ale $Y$ je Banach, takže podle věty o Baireově kategorii

{\ Displaystyle \ existuje k \ in \ mathbb {N}: \ qquad \ left ({\ overline {A (kU)}} \ right)^{\ circle} \ neq \ varnothing}

.

To znamená, že máme $c \in Y$ a $r > 0$ takové, že

{\ Displaystyle B_ {r} (c) \ subseteq \ left ({\ overline {A (kU)}} \ right)^{\ circle} \ subseteq {\ overline {A (kU)}}}

.

Nechť $v \in V$ , pak

{\ Displaystyle c, c+rv \ in B_ {r} (c) \ subseteq {\ overline {A (kU)}}.}

Spojitostí sčítání a linearity rozdíl $rv$ splňuje

{\ displaystyle rv \ in {\ overline {A (kU)}}+{\ overline {A (kU)}} \ subseteq {\ overline {A (kU)+A (kU)}} \ subseteq {\ overline { A (2kU)}},}

a opět podle linearity,

{\ displaystyle V \ subseteq {\ overline {A \ left (LU \ right)}}}}

kde jsme nastavili $L = 2 k / r$ . Z toho vyplývá, že pro všechna $y \in Y$ a všechna $𝜀> 0$ existuje nějaké $x \in X$ takové, že

{\ Displaystyle \ qquad \ | x \ | _ {X} \ leq L \ | y \ | _ {Y} \ quad {\ text {and}} \ quad \ | y-Ax \ | _ {Y} <\ epsilon. \ qquad (1)}

Naším dalším cílem je ukázat, že $V \subseteq A (2 LU)$ .

Nechť $y \in V$ . Do (1) existuje nějaké $x 1$ s $|| x 1 || <L$ a $|| y - Ax 1 || <1/2$ . Sekvenci $(x n)$ definujte indukčně následujícím způsobem. Převzít:

{\ Displaystyle \ | x_ {n} \ | <{\ frac {L} {2^{n-1}}} \ quad {\ text {and}} \ quad \ left \ | yA \ left (x_ {1 }+x_ {2}+\ cdots+x_ {n} \ right) \ right \ | <{\ frac {1} {2^{n}}}. \ qquad (2)}

Potom (1) můžeme vybrat $x n +1,$ takže:

{\ Displaystyle \ | x_ {n+1} \ | <{\ frac {L} {2^{n}}} \ quad {\ text {and}} \ quad \ left \ | yA \ left (x_ {1 }+x_ {2}+\ cdots+x_ {n} \ right) -A \ left (x_ {n+1} \ right) \ right \ | <{\ frac {1} {2^{n+1} }},}

takže (2) je splněno pro $x n +1$ . Nechat

{\ Displaystyle s_ {n} = x_ {1}+x_ {2}+\ cdots+x_ {n}}

.

Od prvního nerovnosti v (2), { s _n } je cauchyovská , a protože $X$ je kompletní, $to n$ konverguje na některé $x \in X$ . (2) V, sekvence $jako n$ má tendenci $y$ , a tak $Ax = y$ kontinuita $A$ . Taky,

{\ Displaystyle \ | x \ | = \ lim _ {n \ to \ infty} \ | s_ {n} \ | \ leq \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ | x_ {n} \ | <2 l.}

To ukazuje, že $y$ patří k $A (2 LU)$ , takže $V \subseteq A (2 LU)$ podle nároku. Tak obraz ( U ) v jednotkové koule v $X,$ obsahuje otevřený kulový $V$ $/ 2$ $L$ a $Y$ . Z tohoto důvodu, $($ $U$ $)$ je sousedství původu v $Y$ , a toto uzavírá důkaz.

Související výsledky

Věta - Nechť $X$ a $Y$ jsou Banachovy mezery, nechť $B X$ a $B Y$ označují jejich otevřené jednotkové koule a nechť $T : X \to Y$ je ohraničený lineární operátor. Pokud $δ> 0,$ pak mezi následujícími čtyřmi výroky máme (se stejným $δ$ ) ${\ Displaystyle (1) \ implies (2) \ implies (3) \ implies (4)}$

${\ Displaystyle \ left \ | T^{*} y^{*} \ right \ | \ geq \ delta \ left \ | y^{*} \ right \ |}$ pro všechny ; ${\ Displaystyle y^{*} \ v Y^{*}}$
${\ displaystyle {\ overline {T \ left (B_ {X} \ right)}} \ supseteq \ delta B_ {Y}}$ ;
${\ displaystyle {T \ left (B_ {X} \ right)} \ supseteq \ delta B_ {Y}}$ ;
$Im T = Y$ (tj. $T$ je surjektivní).

Kromě toho, pokud $T$ je surjektivní, pak (1) platí pro nějaké $δ> 0$

Důsledky

Otevřená věta o mapování má několik důležitých důsledků:

Pokud $A : X \to Y$ je bijektivní spojitý lineární operátor mezi Banachovými prostory $X$ a $Y$ , pak je inverzní operátor $A -1 : Y \to X také$ spojitý (toto se nazývá ohraničená inverzní věta ).
Pokud $A : X \to Y$ je lineární operátor mezi Banachovými prostory $X$ a $Y$ , a pokud pro každou posloupnost $(x n)$ v $X$ s $x n \to 0$ a $Ax n \to y$ vyplývá, že y = 0, pak $A$ je spojitý ( věta o uzavřeném grafu ).

Zobecnění

Místní konvexita $X$ nebo $Y$ není pro důkaz zásadní, ale úplnost je: věta zůstává pravdivá v případě, kdy $X$ a $Y$ jsou F-mezery . Kromě toho lze větu kombinovat s větou kategorie Baire následujícím způsobem:

Věta (( Rudin 1991 , Věta 2.11)) - Nechť $X$ být F-space a $Y$ topological vektorový prostor . Pokud $A : X \to Y$ je kontinuální lineární operátor, pak buď $($ $X$ $)$ je hubený soubor v Y , nebo $($ $X$ $) =$ $Y$ . V druhém případě $A$ je otevřené mapování a $Y$ je také F-prostor.

Kromě toho, v tomto posledně uvedeném případě, pokud $N$ je jádro z $A$ , pak je kanonický faktorizace $A$ ve formě

{\ displaystyle X \ to X/N {\ overset {\ alpha} {\ to}} Y}

kde $X / N$ je kvocient prostor (také F-space) o $X$ u uzavřeného podprostoru $N$ . Kvocient mapování $X \to X / N$ je otevřená, a mapování α je izomorfismus z topologických vektorových prostorů .

Věta o otevřeném mapování () - Pokud $A : X \to Y$ je surjektivní uzavřený lineární operátor z kompletního pseudometrizovatelného TVS $X$ do topologického vektorového prostoru $Y$ a pokud je splněna alespoň jedna z následujících podmínek:

$Y$ je Baireův prostor , nebo
$X$ je lokálně konvexní a $Y$ je sudový prostor ,

buď $($ $X$ $)$ je hubený soubor v Y , nebo $($ $X$ $) =$ $Y$ . pak $A$ je otevřené mapování.

Otevřené mapování věta pro kontinuální mapy () - Nechť $:$ $X$ $\to$ $Y$ být spojitý lineární operátor z kompletního pseudometrizable TVS $X$ do Hausdorff topological vektorový prostor $Y$ . Pokud $Im$ $A$ je v $Y$ neměnné, pak $A$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ je surjektivní otevřená mapa a $Y$ je kompletní pseudometrizovatelná TVS.

Otevřenou větu o mapování lze také uvést jako

Věta - Nechť $X$ a $Y$ jsou dvě F-mezery. Pak každá spojitá lineární satelitní $X$ na $Y$ je TVS homomorphism , kde lineární mapu $u : X \to Y$ je topologický vektorový prostor (TVS) homomorphism v případě, že indukovaná mapa je TVS-izomorfismus na jeho obraz. ${\ Displaystyle {\ hat {u}}: X/\ ker (u) \ až Y}$

Důsledky

Věta - Je -li $A : X \to Y$ spojitou lineární bijekcí z úplného pseudometrizovatelného topologického vektorového prostoru (TVS) na Hausdorff TVS, který je Baireovým prostorem , pak $A : X \to Y$ je homeomorfismus (a tedy izomorfismus TVS) .

Webbed prostory

Webbed prostory jsou třídou topologických vektorových prostorů, pro které platí otevřená mapovací věta a věta o uzavřeném grafu .

Viz také

Téměř otevřená lineární mapa
Vymezená inverzní věta
Uzavřený graf - Graf mapy uzavřené v produktovém prostoru
Věta o uzavřeném grafu - Věta týkající se spojitosti s grafy
Věta o uzavřeném grafu (funkční analýza) - Věty pro odvození spojitosti
Otevřená věta o mapování (komplexní analýza)
Projekce Fréchetových prostorů - Charakteristika surjectivity
Ursescuova věta - zobecnění uzavřeného grafu, otevřeného mapování a věty o jednotné ohraničenosti
Webbed space - Prostory, kde platí věty o otevřeném mapování a uzavřených grafech

Reference

Bibliografie

Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topologické vektorové prostory: Teorie bez podmínek konvexity . Přednášky z matematiky. 639 . Berlín New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teorie lineárních operací ] (PDF) . Monografie Matematyczne (ve francouzštině). 1 . Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Archivováno z originálu (PDF) dne 2014-01-11 . Citováno 2020-07-11 .
Berberian, Sterling K. (1974). Přednášky z funkční analýzy a teorie operátorů . Absolventské texty z matematiky. 15 . New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [ Topological Vector Spaces: Chapter 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Přeložil Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
Conway, John (1990). Kurz funkční analýzy . Absolventské texty z matematiky . 96 (2. vyd.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
Dieudonné, Jean (1970), Pojednání o analýze, svazek II , Academic Press
Edwards, Robert E. (1995). Funkční analýza: Teorie a aplikace . New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
Grothendieck, Alexander (1973). Topologické vektorové prostory . Přeložil Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
Jarchow, Hans (1981). Místně konvexní mezery . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologické vektorové prostory I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159 . Přeložil Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .
Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory . Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Topologické vektorové prostory . Cambridgeské tratě v matematice . 53 . Cambridge England: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
Rudin, Walter (1973). Funkční analýza . Mezinárodní série v čisté a aplikované matematice. 25 (první vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 9780070542259.
Rudin, Walter (1991). Funkční analýza . Mezinárodní série v čisté a aplikované matematice. 8 (druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory . GTM . 8 (druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Swartz, Charles (1992). Úvod do funkční analýzy . New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Wilansky, Albert (2013). Moderní metody v topologických vektorových prostorech . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .

Tento článek včlení materiál z Proof of open mapping theorem on PlanetMath , který je licencován pod licencí Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Languages

In other projects

Věta o otevřeném mapování (funkční analýza) - Open mapping theorem (functional analysis)

Obsah

Klasická (Banachův prostor) forma

Související výsledky

Důsledky

Zobecnění

Důsledky

Webbed prostory

Viz také

Reference

Bibliografie