Objednaná geometrie - Ordered geometry

Uspořádaná geometrie je forma geometrie představující koncept intermediacy (neboli „mezi“), ale stejně jako projektivní geometrie vynechává základní pojem měření. Uspořádaná geometrie je základní geometrie tvořící společný rámec pro afinní , euklidovskou , absolutní a hyperbolickou geometrii (ale ne pro projektivní geometrii).

Dějiny

Moritz Pasch poprvé definoval geometrii bez odkazu na měření v roce 1882. Jeho axiomy vylepšily Peano (1889), Hilbert (1899) a Veblen (1904). Euclid očekával Paschův přístup v definici 4 The Elements : „přímka je přímka, která leží rovnoměrně s body na sobě“.

Primitivní pojmy

Jediné primitivní pojmy v uspořádané geometrii jsou body A , B , C , ... a ternární vztah intermediacy [ ABC ], který lze číst jako „ B je mezi A a C “.

Definice

Segment AB je sada z bodů P tak, že [ APB ].

Intervalu AB je segment AB a jeho koncové body A a B .

Ray / B (odkazy na „paprsku od A od B “) je množina bodů P tak, že [ PAB ].

Linie AB je interval AB a dva paprsky / B a B / A . O bodech na přímce AB se říká, že jsou kolineární .

Úhel se skládá z bodu O (dále vrcholu ) a dva non-kolineární paprsků z kyslíku (na stranách ).

Trojúhelník je dána třemi non-kolineární body (tzv vrcholy ) a jejich tři segmenty AB , BC a CA .

Pokud jsou tři body A , B a C nekolineární, pak rovina ABC je množina všech bodů kolineární s dvojicemi bodů na jedné nebo dvou stranách trojúhelníku ABC .

Pokud čtyři body , B , C , a D nejsou koplanární, pak prostor ( 3-space ) ABCD je množina všech bodů kolineární s dvojicemi bodů vybraných ze všech čtyřech plochách (rovinné oblasti) z čtyřstěnu ABCD .

Axiomy uspořádané geometrie

  1. Existují alespoň dva body.
  2. Pokud jsou A a B odlišné body, existuje C takové, že [ABC].
  3. Pokud [ ABC ], pak A a C jsou odlišné ( A ≠ C ).
  4. Pokud [ ABC ], pak [ CBA ], ale ne [ CAB ].
  5. Pokud jsou C a D odlišné body na přímce AB , pak A je na přímce CD .
  6. Pokud AB je přímka, tam je bod C není na lince AB .
  7. ( Axiom Pasch ) Je-li ABC trojúhelník a [ BCD ] a [ CEA ], pak na přímce DE existuje bod F, pro který [ AFB ].
  8. Axiom dimenzionality :
    1. U rovinné uspořádané geometrie jsou všechny body v jedné rovině. Nebo
    2. Pokud je ABC rovina, pak existuje bod D ne v rovině ABC .
  9. Všechny body jsou ve stejné rovině, prostoru atd. (V závislosti na dimenzi, pro kterou se člověk rozhodne pracovat).
  10. (Dedekindův Axiom) Pro každé rozdělení všech bodů na řádku do dvou neprázdných množin tak, že žádný bod ani jednoho neleží mezi dvěma body druhého, existuje bod jedné množiny, který leží mezi každým druhým bodem této množiny a každým bod druhé množiny.

Tyto axiomy úzce souvisejí s Hilbertovými axiomy řádu . Komplexní přehled axiomatizací uspořádané geometrie viz.

Výsledek

Sylvesterův problém kolineárních bodů

Sylvester-Gallai teorém může být prokázána v rámci objednané geometrie.

Rovnoběžnost

Gauss , Bolyai a Lobachevsky vyvinuli pojem paralelismu, který lze vyjádřit uspořádanou geometrií.

Věta (existence paralelismu): Vzhledem k bodu A a přímce r , ne přes A , existují přesně dva omezující paprsky z A v rovině Ar, které nesplňují r . Existuje tedy paralelní čára procházející A, která nesplňuje r .

Věta (přenositelnost rovnoběžnosti): Rovnoběžnost paprsku a přímky je zachována přidáním nebo odečtením segmentu od začátku paprsku.

V uspořádané geometrii nelze prokázat tranzitivitu paralelismu. Proto „uspořádaný“ koncept paralelismu nevytváří ekvivalenční vztah na řádcích.

Viz také

Reference