Fotonová sféra - Photon sphere

Rádiové emise z akrečního disku obklopujícího supermasivní černou díru M87* (zachyceno v roce 2017, vypočítáno pro rok 2019 ) podle snímku dalekohledu Event Horizon Telescope . Fotonová koule leží v temném stínu (který má poloměr 2,6krát větší než Schwarzschildův poloměr).

Foton koule nebo foton kruh je prostor nebo oblast prostoru, kde gravitace je tak silná, že fotony jsou nuceni cestovat v drahách. (Někdy se tomu říká poslední oběžná dráha fotonu .) Poloměr fotonové koule, který je také dolní mezí pro jakoukoli stabilní oběžnou dráhu, je pro Schwarzschildovu černou díru :

${\ displaystyle r = {\ frac {3GM} {c^{2}}} = {\ frac {3r _ {\ rm {s}}} {2}}}$

kde G je gravitační konstanta , M je hmotnost černé díry a c je rychlost světla ve vakuu a r _s je Schwarzschildův poloměr (poloměr horizontu událostí ) - odvození tohoto výsledku viz níže.

Tato rovnice znamená, že fotonové koule mohou existovat pouze v prostoru obklopujícím extrémně kompaktní objekt ( černá díra nebo případně „ultrakompaktní“ neutronová hvězda ).

Fotonová koule se nachází dále od středu černé díry než horizont událostí. Uvnitř fotonové sféry je možné si představit foton, který je emitován ze zadní části hlavy, obíhá kolem černé díry, ale poté je zachycen očima osoby, což člověku umožní vidět zadní část hlavy. U nerotujících černých děr je fotonová koule koule o poloměru 3/2 r _s . Ve sféře fotonů ani přes ni neexistují stabilní oběžné dráhy volného pádu. Jakákoli oběžná dráha volného pádu, která ji protíná z vnějších spirál do černé díry. Jakákoli oběžná dráha, která ji protíná zevnitř, uniká do nekonečna nebo padá zpět a spirálovitě se dostává do černé díry. Žádná nezrychlená oběžná dráha s poloviční hlavní osou menší než je tato vzdálenost není možná, ale v oblasti fotonů konstantní zrychlení umožní kosmické lodi nebo sondě vznášet se nad horizontem událostí.

Další vlastností fotonové sféry je obrácení odstředivé síly (pozn. Nikoli dostředivé ). Mimo fotonovou sféru platí, že čím rychleji obíhá, tím větší vnější sílu cítí. Odstředivá síla klesá ve fotonové sféře na nulu, včetně oběžných drah bez volného pádu, tj. Vážíte stejně bez ohledu na to, jak rychle obíháte, a uvnitř se stává zápornou. Uvnitř fotonové sféry platí, že čím rychleji obíháte, tím větší je vaše pociťovaná hmotnost nebo vnitřní síla. To má vážné důsledky pro dynamiku tekutin proudění tekutiny dovnitř.

Rotující černá díra má dva fotonové koule. Jak se černá díra otáčí, táhne s sebou prostor. Fotonová koule, která je blíže k černé díře, se pohybuje ve stejném směru jako rotace, zatímco fotonová koule dále se pohybuje proti ní. Čím větší je úhlová rychlost otáčení černé díry, tím větší je vzdálenost mezi dvěma fotonovými sférami. Protože má černá díra osu otáčení, platí to pouze v případě, že se blížíte k černé díře ve směru rovníku. Pokud se blížíte pod jiným úhlem, například od pólů černé díry k rovníku, existuje pouze jedna fotonová koule. Důvodem je, že když se v tomto úhlu blížíte, možnost cestování s rotací nebo proti ní neexistuje.

Odvození pro Schwarzschildovu černou díru

Protože Schwarzschildova černá díra má sférickou symetrii, jsou všechny možné osy pro kruhovou fotonovou oběžnou dráhu ekvivalentní a všechny kruhové dráhy mají stejný poloměr.

Tato derivace zahrnuje použití Schwarzschildovy metriky dané:

${\ Displaystyle ds^{2} = \ left (1-{\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right) c^{2} dt^{2}-\ left (1- {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right)^{-1} dr^{2} -r^{2} ({\ textrm {sin}}^{2} \ theta d \ phi ^{2}+d \ theta ^{2})}$

Pro fotonového pohybující se poloměru konstantní r (tj ve směru cp souřadnic) . Protože se jedná o foton („světelný interval“). Souřadnicový systém můžeme vždy otáčet tak, aby byl konstantní (tj. ). ${\ displaystyle dr = 0}$${\ displaystyle ds = 0}$${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle d \ theta = 0}$${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$

Nastavením ds, dr a dθ na nulu máme:

${\ Displaystyle \ left (1-{\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} \ right) c^{2} dt^{2} = r^{2} {\ textrm {sin} } ^{2} \ theta d \ phi ^{2}}$

Přeuspořádání dává:

${\ Displaystyle {\ frac {d \ phi} {dt}} = {\ frac {c} {r {\ textrm {sin}} \ theta}} {\ sqrt {1-{\ frac {r _ {\ rm { s}}} {r}}}}}$

Abychom mohli pokračovat, potřebujeme vztah . Abychom to našli, použijeme radiální geodetickou rovnici${\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {dt}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {d^{2} r} {d \ tau^{2}}}+\ Gamma _ {\ mu \ nu}^{r} u^{\ mu} u^{\ nu} = 0.}$

Non mizející -připojením koeficienty , kde . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {tt}^{r} = {\ frac {c^{2} BB^{\ prime}} {2}}, \; \ Gamma _ {rr}^{r} =-{ \ frac {B^{-1} B^{\ prime}} {2}}, \; \ Gamma _ {\ theta \ theta}^{r} =-rB, \; \ Gamma _ {\ phi \ phi } ^{r} =-Br \ sin ^{2} \ theta}$${\ Displaystyle B^{\ prime} = {\ frac {dB} {dr}}, B = 1-{\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}}}$

S fotonovou radiální geodetikou zacházíme konstantně r a proto ${\ displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle {\ frac {dr} {d \ tau}}, \; {\ frac {d ^{2} r} {d \ tau ^{2}}}, \; {\ frac {d \ theta} {d \ tau}} = 0}$.

Dosazením všeho do radiální geodetické rovnice (geodetická rovnice s radiální souřadnicí jako závislou proměnnou) získáme

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {d \ phi} {dt}} \ right)^{2} = {\ frac {c^{2} r _ {\ rm {s}}} {2r^{3} \ sin ^{2} \ theta}}}$

Porovnáním s tím, co bylo získáno dříve, máme:

${\ Displaystyle c {\ sqrt {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {2r}}} = c {\ sqrt {1-{\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} }}}$

kde jsme vložili radiány (představte si, že centrální hmota, kolem které foton obíhá, se nachází ve středu souřadnicových os. Poté, když foton cestuje po souřadnicové přímce, aby se hmota nacházela přímo v střed oběžné dráhy fotonu, musíme mít radiány). ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$

Přeuspořádáním tohoto konečného výrazu tedy získáte:

${\ displaystyle r = {\ frac {3} {2}} r _ {\ rm {s}}}$

což je výsledek, který jsme se rozhodli dokázat.

Foton obíhá kolem černé díry Kerra

Pohledy z boku (l) a shora ze sloupu (r). Rotující černá díra má 9 poloměrů, mezi nimiž může světlo obíhat na konstantní souřadnici r. V této animaci jsou ukázány všechny oběžné dráhy fotonů pro a = M.

Na rozdíl od Schwarzschildovy černé díry nemá Kerrova (rotující) černá díra sférickou symetrii, ale pouze osu symetrie, což má na oběžné dráhy fotonů hluboké důsledky, podrobnosti a simulace fotonových drah a fotonových kruhů viz např. Cramer. . Kruhová oběžná dráha může existovat pouze v rovníkové rovině a existují dvě z nich (progresivní a retrográdní) s různými Boyer -Lindquistovými -radii,

${\ textstyle r _ {\ pm}^{\ circ} = r _ {\ rm {s}} \ \ left [1+ \ cos \ left ({\ frac {2} {3}} \ arccos \ left ({\ frac {\ pm | a |} {M}} \ right) \ right) \ right],}$

kde je moment hybnosti na jednotku hmotnosti černé díry. Existují i ​​jiné oběžné dráhy s konstantním poloměrem souřadnic, ale mají složitější dráhy, které oscilují v zeměpisné šířce kolem rovníku. ${\ displaystyle a = J/M}$

Reference

externí odkazy

• Krok za krokem do černé díry
• Virtuální výlety do černých děr a neutronových hvězd
• Průvodce po černých dírách
• Sférické fotonové oběžné dráhy kolem Kerrové černé díry