Post -newtonovská expanze - Post-Newtonian expansion

Schéma parametrického prostoru kompaktních binárních souborů s různými schématy aproximace a jejich oblastmi platnosti.

Ve fyzice , právě v teorii obecné relativity , se pro nalezení přibližného řešení Einsteinových polních rovnic pro metrický tenzor používají post-newtonovské expanze ( PN expanze ) . Aproximace jsou rozšířeny v malých parametrech, které vyjadřují pořadí odchylek od Newtonova zákona o univerzální gravitaci . To umožňuje provést aproximace Einsteinových rovnic v případě slabých polí. Pro zvýšení přesnosti lze přidat výrazy vyššího řádu, ale u silných polí je někdy lepší řešit úplné rovnice numericky. Tato metoda je běžnou známkou efektivních polních teorií . V mezích, kdy jsou malé parametry rovny 0, se post-newtonovská expanze zmenší na Newtonův gravitační zákon.

Rozšíření o 1/ c ²

V Post-newtonské aproximace jsou rozšíření v malém parametr, což je poměr rychlosti hmoty, která vytváří gravitační pole, na rychlosti světla , který je v tomto případě přesněji nazývá rychlost gravitace . V mezích, kdy se základní rychlost gravitace stává nekonečnou, se post-newtonovská expanze redukuje na Newtonův gravitační zákon. Systematickou studii post-newtonovských aproximací vytvořil Subrahmanyan Chandrasekhar a spolupracovníci v 60. letech minulého století.

Rozšíření v h

Dalším přístupem je rozšířit rovnice obecné relativity v silové řadě při odchylce metriky od její hodnoty v nepřítomnosti gravitace

{\ Displaystyle h _ {\ alpha \ beta} = g _ {\ alpha \ beta}-\ eta _ {\ alpha \ beta} \ ,.}

Za tímto účelem je třeba zvolit souřadný systém, ve kterém jsou vlastní čísla ze všeho mít absolutní hodnoty menší než 1. ${\ displaystyle h _ {\ alpha \ beta} \ eta ^{\ beta \ gamma} \,}$

Například pokud jde jeden krok za linearizovanou gravitaci, aby se expanze dostala do druhého řádu v h :

{\ Displaystyle g ^{\ mu \ nu} \ cca \ eta ^{\ mu \ nu}-\ eta ^{\ mu \ alpha} h _ {\ alpha \ beta} \ eta ^{\ beta \ nu}+\ eta ^{\ mu \ alpha} h _ {\ alpha \ beta} \ eta ^{\ beta \ gamma} h _ {\ gamma \ delta} \ eta ^{\ delta \ nu} \ ,.}

{\ Displaystyle {\ sqrt {-g}} \ cca 1+{\ tfrac {1} {2}} h _ {\ alpha \ beta} \ eta ^{\ beta \ alpha}+{\ tfrac {1} {8 }} h _ {\ alpha \ beta} \ eta ^{\ beta \ alpha} h _ {\ gamma \ delta} \ eta ^{\ delta \ gamma}-{\ tfrac {1} {4}} h _ {\ alpha \ beta} \ eta ^{\ beta \ gamma} h _ {\ gamma \ delta} \ eta ^{\ delta \ alpha} \ ,.}

Expanze založené pouze na metrice, nezávisle na rychlosti, se nazývají postminkowské expanze ( PM expanze ).

Využití

První použití expanze PN (prvního řádu) provedl Albert Einstein při výpočtu precese perihelia na oběžné dráze Merkuru . Dnes je Einsteinův výpočet považován za první jednoduchý případ nejběžnějšího použití expanze PN: Řešení obecného relativistického problému dvou těles , který zahrnuje emise gravitačních vln .

Newtonovský rozchod

Obecně lze narušenou metriku zapsat jako

{\ Displaystyle ds^{2} = a^{2} (\ tau) \ left [(1+2A) d \ tau^{2} -2B_ {i} dx^{i} d \ tau -\ left ( \ delta _ {ij}+h_ {ij} \ right) dx^{i} dx^{j} \ right]}

kde , a jsou funkce prostoru a času. lze rozložit jako ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B_ {i}}$ ${\ displaystyle h_ {ij}}$ ${\ displaystyle h_ {ij}}$

{\ Displaystyle h_ {ij} = 2C \ delta _ {ij}+\ částečné _ {i} \ částečné _ {j} E-{\ frac {1} {3}} \ delta _ {ij} \ Box ^{ 2} E+\ částečné _ {i} {\ hat {E}} _ {j}+\ částečné _ {j} {\ hat {E}} _ {i} +2 {\ tilde {E}} _ {ij }}

kde je d'Alembertův operátor , je skalární, je vektorový a je beze stopového tenzoru. Pak jsou potenciály Bardeen definovány jako ${\ displaystyle \ Box}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle {\ hat {E}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {ij}}$

{\ Displaystyle \ Psi \ equiv A+H (B-E '),+(B+E') ', \ quad \ Phi \ equiv -CH (B-E')+{\ frac {1} {3} } \ Box E}

kde je Hubblova konstanta a prvočíslo představuje diferenciaci s ohledem na konformní čas . ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle \ tau \,}$

Vezmeme -li (tj. Nastavení a ), newtonovský rozchod je ${\ displaystyle B = E = 0}$ ${\ displaystyle \ Phi \ equiv -C}$ ${\ displaystyle \ Psi \ equiv A}$