Bochnerův integrál - Bochner integral

V matematice se Bochner integrál , pojmenovaný pro Salomon Bochner , rozšiřuje definici Lebesgueův integrál k funkcím, které se hodnoty v Banachova prostoru , jako limit integrálů jednoduchými funkcemi .

Definice

Dovolit být prostor míry , a být Banachův prostor . Bochnerův integrál funkce je definován podobně jako Lebesgueův integrál. Nejprve definujte jednoduchou funkci jako jakýkoli konečný součet formuláře ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f: X \ až B}$

kde jsou disjunktní členy algebra jsou různé prvky a × _E je charakteristická funkce z If je konečný, když pak jednoduchá funkce je integrovatelná , a integrál je pak definována ${\ displaystyle E_ {i}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ Sigma,}$${\ displaystyle b_ {i}}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle E.}$${\ displaystyle \ mu \ left (E_ {i} \ right)}$${\ displaystyle b_ {i} \ neq 0,}$

$${\ displaystyle \ int _ {X} \ doleva [\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ chi _ {E_ {i}} (x) b_ {i} \ doprava] \, d \ mu = \ součet _ {i = 1} ^ {n} \ mu (E_ {i}) b_ {i}}$$

přesně tak, jak je to pro běžný Lebesgueův integrál.

Měřitelná funkce je

Bochnerova integrovatelná, pokud existuje posloupnost integrovatelných jednoduchých funkcí, jako je tato ${\ displaystyle f: X \ až B}$${\ displaystyle s_ {n}}$

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} \ | f-s_ {n} \ | _ {B} \, d \ mu = 0,}$$

kde integrál na levé straně je obyčejný Lebesgueův integrál.

V tomto případě je Bochnerův integrál definován

$${\ displaystyle \ int _ {X} f \, d \ mu = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} s_ {n} \, d \ mu.}$$

Lze ukázat, že sekvence je

Cauchyho sekvence v Banachově prostoru, proto existuje limit vpravo; dále je limit nezávislý na přibližném sledu jednoduchých funkcí. Tyto poznámky ukazují, že integrál je dobře definovaný (tj. nezávislý na jakékoli volbě). Je možné ukázat, že funkce je Bochnerova integrovatelná právě tehdy, pokud leží v Bochnerově prostoru${\ displaystyle \ left \ {\ int _ {X} s_ {n} \, d \ mu \ right \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle \ {s_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}.}$ ${\ displaystyle L ^ {1}.}$

Vlastnosti

Mnoho známých vlastností Lebesgueova integrálu nadále platí pro Bochnerův integrál. Obzvláště užitečné je Bochnerovo kritérium pro integrovatelnost, které uvádí, že pokud je prostor míry, pak je Bochner-měřitelná funkce Bochner integrovatelná právě tehdy, když ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ displaystyle f: X \ až B}$

Funkce   je volána Bochner-měřitelné, je-li roven -almost všude funkci bere hodnoty v oddělitelné podprostoru části a tak, že inverzní obraz každé otevřené množině   v   patří do ekvivalentně, je mez -almost všude z posloupnosti jednoduchými funkcemi . ${\ displaystyle f: X \ až B}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle B_ {0}}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle g ^ {- 1} (U)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ Sigma.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mu}$

Pokud je spojitý lineární operátor a je Bochner-integrovatelný, pak je Bochner-integrable a integrace a může být zaměňován: ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Tf}$${\ displaystyle T}$

To platí i pro uzavřené operátory, protože jsou samy o sobě integrovatelné (což prostřednictvím výše uvedeného kritéria triviálně platí pro ohraničené ). ${\ displaystyle Tf}$${\ displaystyle T}$

Verze převládající věty o konvergenci platí také pro Bochnerův integrál. Konkrétně, pokud je posloupnost měřitelných funkcí na úplném měřícím prostoru téměř všude směřující k limitní funkci a pokud ${\ displaystyle f_ {n}: X \ až B}$${\ displaystyle f,}$

pro téměř každý , a poté ${\ displaystyle x \ v X,}$${\ displaystyle g \ v L ^ {1} (\ mu),}$ jako a ${\ displaystyle n \ až \ infty}$ pro všechny ${\ displaystyle E \ in \ Sigma.}$

Pokud je Bochner integrovatelný, pak nerovnost ${\ displaystyle f}$

platí pro všechny Zejména nastavená funkce ${\ displaystyle E \ in \ Sigma.}$ definuje vektorovou míru spočítatelnou aditivem, na které je absolutně kontinuální s ohledem na${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu.}$

Vlastnost Radon – Nikodym

Důležitou skutečností o Bochnerův základní je, že Radon-Nikodymova věta nedokáže držet obecně. To má za následek důležitou vlastnost Banachových prostorů známou jako vlastnost Radon – Nikodym. Konkrétně, pokud je míra na pak má tu vlastnost, Radon-Nikodymova s ohledem na pokud pro každý countably-aditivní

vektoru opatření na s hodnotami , které má omezenou variací a je absolutně kontinuální s ohledem na tam je -integrable funkce taková, že ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (X, \ Sigma),}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mu,}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle g: X \ až B}$

$${\ displaystyle \ gamma (E) = \ int _ {E} g \, d \ mu}$$

pro každou měřitelnou sadu ${\ displaystyle E \ in \ Sigma.}$

Banachův prostor má vlastnost

Radon – Nikodym, pokud má vlastnost Radon – Nikodym s ohledem na každou konečnou míru. Je známo, že prostor má vlastnost Radon – Nikodym, ale a prostory pro otevřenou ohraničenou podmnožinu a pro nekonečný kompaktní prostor nikoli. Mezi prostory s vlastností Radon – Nikodym patří oddělitelné duální prostory (jedná se o Dunford – Pettisovu větu ) a reflexivní prostory , které zahrnují zejména Hilbertovy prostory . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ ell _ {1}}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle L ^ {\ infty} (\ Omega),}$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ Omega),}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ displaystyle C (K),}$${\ displaystyle K}$

Viz také

• Bochnerův prostor
• Bochnerova měřitelná funkce
• Pettisův integrál
• Vektorové opatření
• Slabě měřitelná funkce

Reference

• Bochner, Salomon (1933), „Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind“ (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 20 : 262–276
• Cohn, Donald (2013), Measure Theory , Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher, Springer, doi : 10,1007 / 978-1-4614-6956-8 , ISBN 978-1-4614-6955-1
• Yosida, Kôsaku (1980), Functional Analysis , Classics in Mathematics, 123 , Springer, doi : 10,1007 / 978-3-642-61859-8 , ISBN 978-3-540-58654-8
• Diestel, Joseph (1984), Sequences and Series in Banach Spaces , Graduate Texts in Mathematics, 92 , Springer, doi : 10,1007 / 978-1-4612-5200-9 , ISBN 978-0-387-90859-5
• Diestel; Uhl (1977), Vector measures , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1515-1
• Hille, Einar; Phillips, Ralph (1957), Functional Analysis and Semi-Groups , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1031-6
• Lang, Serge (1993), Real and Functional Analysis (3. vyd.), Springer, ISBN 978-0387940014
• Sobolev, VI (2001) [1994], „Bochnerův integrál“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• van Dulst, D. (2001) [1994], „Vector measures“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press