Faktorizace pořadí - Rank factorization

V matematiky , dána m × n matice A z hodnosti r , je pozice rozklad nebo číslo faktorizace z A je faktorizace A na formu A = CF , kde C jedná o m x r matice a F je r x n matice .

Existence

Každá konečně-dimenzionální matice má dekompozici hodnosti: Nechť je matice, jejíž sloupec je hodnost . Proto existují lineárně nezávislé sloupce ; ekvivalentně rozměr v prostoru sloupce části je . Dovolit být jakýkoli základ pro prostor sloupců a umístit je jako vektory sloupců pro vytvoření matice . Proto je každý sloupec vektor je lineární kombinace ze sloupců . Abychom byli přesní, pokud je matrice jako tého sloupce, ${\ textový styl A}$${\ textový styl \ krát n}$${\ textstyle r}$${\ textstyle r}$ ${\ textový styl A}$${\ textový styl A}$${\ textstyle r}$${\ textstyle \ mathbf {c} _ {1}, \ mathbf {c} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {c} _ {r}}$${\ textový styl A}$${\ textstyle m \ krát r}$${\ textstyle C = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {c} _ {1} & \ mathbf {c} _ {2} & \ cdots & \ mathbf {c} _ {r} \ end {bmatrix}}}$${\ textový styl A}$${\ textový styl C}$${\ textstyle A = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {a} _ {1} & \ mathbf {a} _ {2} & \ cdots & \ mathbf {a} _ {n} \ end {bmatrix}}}$${\ textový styl \ krát n}$${\ textstyle \ mathbf {a} _ {j}}$${\ textstyle j}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {j} = f_ {1j} \ mathbf {c} _ {1} + f_ {2j} \ mathbf {c} _ {2} + \ cdots + f_ {rj} \ mathbf {c} _ {r},}$

kde jsou skalární koeficienty z hlediska základu . To znamená, že kde je -tý prvek . ${\ textstyle f_ {ij}}$${\ textstyle \ mathbf {a} _ {j}}$${\ textstyle \ mathbf {c} _ {1}, \ mathbf {c} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {c} _ {r}}$${\ textstyle A = CF}$${\ textstyle f_ {ij}}$${\ textstyle (i, j)}$${\ textstyle F}$

Neunikátnost

Pokud je faktorová hodnost, vezmeme a dáme další hodnostní faktorizaci pro jakoukoli invertibilní matici kompatibilních rozměrů. ${\ textstyle A = C_ {1} F_ {1}}$${\ textstyle C_ {2} = C_ {1} R}$${\ textstyle F_ {2} = R ^ {- 1} F_ {1}}$${\ textstyle R}$

Naopak, pokud existují dvě hodnostní faktorizace , existuje taková invertibilní matice , která a . ${\ textstyle A = F_ {1} G_ {1} = F_ {2} G_ {2}}$${\ textový styl A}$${\ textstyle R}$${\ textstyle F_ {1} = F_ {2} R}$${\ textstyle G_ {1} = R ^ {- 1} G_ {2}}$

Konstrukce

Faktorizace pořadí ze zmenšených řadových řad

V praxi lze postavit jeden specifický rank rozklad takto: můžeme vypočítat , na redukovaný řádek sledu formu z . Poté se získá odstraněním ze všech sloupců, které nejsou pivotní (což lze určit vyhledáním sloupců, které neobsahují pivot), a získá se vyloučením všech nulových řádků . ${\ textový styl B}$${\ textový styl A}$${\ textový styl C}$${\ textový styl A}$${\ textový styl B}$${\ textstyle F}$${\ textový styl B}$

Poznámka: U čtvercové matice úplného řádu (tj. Kdy ) tento postup přinese triviální výsledek a ( matici identity ). ${\ textstyle n = m = r}$${\ textstyle C = A}$${\ textstyle F = B = I_ {n}}$${\ textový styl n \ krát n}$

Příklad

Zvažte matici

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \ end {bmatrix}} \ sim {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 a 0 bmatrix}} = B {\ text {.}}}$

${\ textový styl B}$ je ve formě sníženého sledu.

Pak se získá odstraněním třetího sloupce , jediného, ​​který není otočným sloupcem, a odstraněním posledního řádku nul z , takže ${\ textový styl C}$${\ textový styl A}$${\ textstyle F}$${\ textový styl B}$

${\ displaystyle C = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 7 & 9 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 8 \ end {bmatrix}} {\ text {,}} \ qquad F = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 a 0 a 0 a 1 \ end {bmatrix}} {\ text {.}}}$

Je to jednoduché zkontrolovat

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 7 & 9 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 8 \ end {bmatrix} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} = CF {\ text {.}}}$

Důkaz

Dovolit být permutační matice taková, že v blokové dělené formě, kde sloupce jsou otočnými sloupci . Každý sloupec je lineární kombinace sloupců , takže je matice tak, že tam, kde sloupce obsahují koeficienty každé z těchto lineárních kombinací. Takže , bytí matice identity. Teď to ukážeme . ${\ textový styl P}$${\ textový styl n \ krát n}$${\ textstyle AP = (C, D)}$${\ textový styl C}$${\ textstyle r}$${\ textový styl A}$${\ textstyle D}$${\ textový styl C}$${\ textstyle G}$${\ textstyle D = CG}$${\ textstyle G}$${\ textstyle AP = (C, CG) = C (I_ {r}, G)}$${\ textstyle I_ {r}}$${\ textový styl \ krát r}$${\ textstyle (I_ {r}, G) = FP}$

Transformace do formy se sníženou řadou echelonů se rovná násobení doleva maticí, která je produktem elementárních matic , takže , kde . Pak můžeme psát , což nám umožňuje identifikovat , tj. Nenulové řádky redukované echelonové formy, se stejnou permutací na sloupcích jako pro . Máme tedy , a protože je to invertibilní, z toho vyplývá , a důkaz je kompletní. ${\ textový styl A}$${\ textový styl B}$${\ textový styl E}$${\ textstyle EAP = BP = EC (I_ {r}, G)}$${\ textstyle EC = {\ begin {pmatrix} I_ {r} \\ 0 \ end {pmatrix}}}$${\ textstyle BP = {\ begin {pmatrix} I_ {r} & G \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$${\ textstyle (I_ {r}, G) = FP}$${\ textstyle r}$${\ textový styl A}$${\ textstyle AP = CFP}$${\ textový styl P}$${\ textstyle A = CF}$

Rozklad singulární hodnoty

Lze také sestavit faktorizaci celé řady pomocí jejího rozkladu singulární hodnoty${\ textový styl A}$

${\ displaystyle A = U \ Sigma V ^ {*} = {\ begin {bmatrix} U_ {1} & U_ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ Sigma _ {r} & 0 \\ 0 a 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} V_ {1} ^ {*} \\ V_ {2} ^ {*} \ end {bmatrix}} = U_ {1} \ left (\ Sigma _ {r} V_ {1} ^ {*} \ vpravo).}$

Jelikož je celá matice pořadí sloupců a je matice pořadí celého řádku, můžeme vzít a . ${\ textstyle U_ {1}}$${\ textstyle \ Sigma _ {r} V_ {1} ^ {*}}$${\ textstyle C = U_ {1}}$${\ textstyle F = \ Sigma _ {r} V_ {1} ^ {*}}$

Důsledky

hodnost (A) = hodnost (A ^T )

Okamžitým důsledkem faktorové hodnosti je, že hodnost se rovná hodnosti její transpozice . Vzhledem k tomu, sloupy ze jsou řady je sloupek hodnost of rovná jeho řadové pozici . ${\ textový styl A}$${\ textstyle A ^ {\ textyf {T}}}$${\ textový styl A}$${\ textstyle A ^ {\ textyf {T}}}$${\ textový styl A}$

Důkaz: Abychom zjistili, proč je to pravda, nejprve definujeme pořadí na střední pořadí sloupců. Vzhledem k tomu , z toho vyplývá, že . Z definice násobení matic to znamená, že každý sloupec je lineární kombinací sloupců . Proto je prostor sloupců z obsažen v prostoru sloupců a tedy z . ${\ textstyle A = CF}$${\ textstyle A ^ {\ textyf {T}} = F ^ {\ textyf {T}} C ^ {\ textyf {T}}}$${\ textstyle A ^ {\ textyf {T}}}$${\ textstyle F ^ {\ textyf {T}}}$${\ textstyle A ^ {\ textyf {T}}}$${\ textstyle F ^ {\ textyf {T}}}$${\ textstyle \ operatorname {hodnost} \ doleva (A ^ {\ textyf {T}} \ doprava) \ leq \ operatorname {hodnost} \ doleva (F ^ {\ textyf {T}} \ doprava)}$

Nyní je , tak tam jsou sloupce , a proto . To dokazuje . ${\ textstyle F ^ {\ textyf {T}}}$${\ textový styl \ časy$${\ textstyle r}$${\ textstyle F ^ {\ textyf {T}}}$${\ textstyle \ operatorname {hodnost} \ doleva (A ^ {\ textyf {T}} \ doprava) \ leq r = \ operatorname {hodnost} \ doleva (A \ doprava)}$${\ textstyle \ operatorname {hodnost} \ doleva (A ^ {\ textyf {T}} \ doprava) \ leq \ operatorname {hodnost} \ doleva (A \ doprava)}$

Nyní použijte výsledek k získání obrácené nerovnosti: protože můžeme psát . To dokazuje . ${\ textstyle A ^ {\ textyf {T}}}$${\ textstyle \ left (A ^ {\ textyf {T}} \ doprava) ^ {\ textyf {T}} = A}$${\ textstyle \ operatorname {rank} \ left (A \ right) = \ operatorname {rank} \ left (\ left (A ^ {\ textyf {T}} \ doprava) ^ {\ textyf {T}} \ doprava) \ leq \ operatorname {rank} \ left (A ^ {\ textyf {T}} \ right)}$${\ textstyle \ operatorname {hodnost} \ doleva (A \ doprava) \ leq \ operatorname {hodnost} \ doleva (A ^ {\ textyf {T}} \ doprava)}$

Dokázali jsme tedy, a tak . (Viz také první důkaz v Rank (lineární algebra) § Důkazy, že sloupec rank = pořadí řádků ). ${\ textstyle \ operatorname {hodnost} \ doleva (A ^ {\ textyf {T}} \ doprava) \ leq \ operatorname {hodnost} \ doleva (A \ doprava)}$${\ textstyle \ operatorname {hodnost} \ doleva (A \ doprava) \ leq \ operatorname {hodnost} \ doleva (A ^ {\ textyf {T}} \ doprava)}$${\ textstyle \ operatorname {hodnost} \ doleva (A \ doprava) = \ operatorname {hodnost} \ doleva (A ^ {\ textyf {T}} \ doprava)}$

Poznámky

Reference