Simsonova přímka LN (červená) trojúhelníku ABC vzhledem k bodu P na kružnici

V geometrii , daný trojúhelník ABC a bod P na jeho circumcircle , tři nejbližšími body na P na tratích AB , AC , a BC jsou kolineární . Čára přes tyto body je Simson řada z P , pojmenovaný pro Robert Simson . Tento koncept byl poprvé publikován Williamem Wallaceem v roce 1799.

Opak je také pravdou; jsou -li tři nejbližší body k P na třech přímkách kolineární a žádné dvě čáry nejsou rovnoběžné, pak P leží na kružnici trojúhelníku tvořeného třemi přímkami. Nebo jinými slovy, Simson linie trojúhelníku ABC a bodem P, je jen pedál trojúhelník z ABC a P , které se zvrhlo v přímce, a tato podmínka omezuje lokus z P vysledovat circumcircle na trojúhelníku ABC .

Rovnice

Umístěním trojúhelníku do komplexní roviny nechejte trojúhelník ABC s jednotkovým kruhem mít vrcholy, jejichž umístění má komplexní souřadnice a , b , c , a nechť P se složitými souřadnicemi p je bod na kružnici. Simsonova čára je množina bodů z uspokojujících

${\ Displaystyle 2abc {\ bar {z}}-2 pz+p^{2}+(a+b+c) p- (bc+ca+ab)-{\ frac {abc} {p}} = 0, }$

kde přesah indikuje komplexní konjugaci .

Vlastnosti

Simsonovy čáry (červeně) jsou tečnami Steinerova deltoidu (modře).

• Simsonova linie vrcholu trojúhelníku je nadmořská výška trojúhelníku spadlého z tohoto vrcholu a Simsonova čára bodu diametrálně opačného k vrcholu je strana trojúhelníku opačná k tomuto vrcholu.
• Pokud P a Q jsou body na kružnici, pak je úhel mezi Simsonovými přímkami P a Q poloviční než úhel oblouku PQ . Zejména pokud jsou body diametrálně opačné, jsou jejich Simsonovy přímky kolmé a v tomto případě průsečík čar leží na devítibodové kružnici
• Nechť H označuje ortocentrum trojúhelníku ABC , Simsonova linie P půlí segment PH v bodě, který leží na devítibodové kružnici.
• Vzhledem k tomu, dva trojúhelníky se stejným circumcircle, úhel mezi Simson linie do bodu P na circumcircle obou trojúhelníků nezávisí na P .
• Množina všech Simsonových čar po nakreslení tvoří obálku ve tvaru deltoidu známého jako Steinerův deltoid referenčního trojúhelníku.
• Konstrukce Simsonovy přímky, která se shoduje se stranou referenčního trojúhelníku (viz první vlastnost výše), poskytuje netriviální bod na této postranní čáře. Tento bod je odrazem úpatí nadmořské výšky (spadl na postranní čáru) kolem středu budované postranní čáry. Tento bod je navíc tečným bodem mezi stranou referenčního trojúhelníku a jeho Steinerovým deltoidem.
• Čtyřúhelník, který není rovnoběžníkem, má jeden a pouze jeden bod pedálu, nazývaný Simsonův bod, vzhledem ke kterému jsou nohy na čtyřúhelníku kolineární. Simsonův bod lichoběžníku je průsečík dvou neparalelních stran.
• Žádný konvexní polygon s alespoň 5 stranami nemá Simsonovu čáru.

Doklad o existenci

Metoda důkazu je ukázat to . je cyklický čtyřúhelník, takže . je cyklický čtyřúhelník ( Thalesova věta ), takže . Proto . Nyní je to cyklické, takže . Proto . ${\ displaystyle \ angle NMP+\ angle PML = 180^{\ circle}}$${\ displaystyle PCAB}$${\ Displaystyle \ úhel PBA+\ úhel ACP = \ úhel PBN+\ úhel ACP = 180^{\ circle}}$${\ displaystyle PMNB}$${\ Displaystyle \ úhel PBN+\ úhel NMP = 180^{\ circ}}$${\ displaystyle \ angle NMP = \ angle ACP}$${\ displaystyle PLCM}$${\ Displaystyle \ angle PML = \ angle PCL = 180^{\ circ}-\ angle ACP}$${\ Displaystyle \ angle NMP+\ angle PML = \ angle ACP+(180^{\ circle}-\ angle ACP) = 180^{\ circle}}$

Alternativní důkaz

zelená čára je Simsonova čára, modré jsou spadlé kolmice.

Ať je bod Z na sousedním obrázku jakýkoli, a + c je 90. Také, ať je bod Z jakýkoli, c a b budou stejné. Proto máme následující:

a + c = 90

∴ a + b = 90… (c a b jsou stejné) (1)

Nyní zvažte míru úhlu: a + 90 + b.

Pokud ukážeme, že tento úhel je 180, pak je Simsonova věta dokázána.

Z (1) máme a + 90 + b = 180

QED

Zobecnění

Zobecnění 1

Projekce Ap, Bp, Cp na BC, CA, AB jsou tři kolineární body

• Nechť ABC je trojúhelník, nechejte přímku ℓ procházet obkružovačem O a bod P leží na kružnici. Nechť se AP, BP, CP setkají ℓ na A _p , B _p , C _p . Nechť A ₀ , B ₀ , C ₀ jsou projekce A _p , B _p , C _p na BC, CA, AB . Pak A ₀ , B ₀ , C ₀ jsou kolineární. Nová linie navíc prochází středem PH , kde H je ortocentrum Δ ABC . Pokud ℓ projde P , čára se shoduje s čárou Simson.

Projektivní verze řady Simson

Zobecnění 2

• Nechte vrcholy trojúhelníku ABC ležet na kuželu Γ a nechť Q, P jsou dva body v rovině. Nechte PA, PB, PC protínat kužel na A ₁ , B ₁ , C ₁ . QA ₁ protíná BC na A ₂ , QB ₁ protíná AC na B ₂ a QC ₁ protíná AB na C ₂ . Pak jsou čtyři body A ₂ , B ₂ , C ₂ a P kolineární, pouze pokud Q leží na kuželu Γ.

Zobecnění 3

• RF Cyster zobecnil větu na cyklické čtyřúhelníky v Simsonových řadách cyklického čtyřúhelníku

Viz také

• Pedálový trojúhelník
• Robert Simson

Reference

externí odkazy

• Simson Line na cut-the-uzel .org
• FM Jackson a Weisstein, Eric W. „Simsonova linie“ . MathWorld .
• Zobecnění Neubergovy věty a linie Simsona-Wallace v Dynamic Geometry Sketches , interaktivní dynamické geometrické skici.