Singulární hodnota - Singular value

V matematiky , zejména funkční analýze , jednotlivých singulárních hodnot , nebo s jsou -numbers příslušníky kompaktní operátor T  : X → Y působící mezi Hilbertových prostorů X a Y , jsou odmocniny nezáporných čísel na operátora s vlastním adjoint T ^* T (kde T ^* označuje adjoint z T ).

Singulární hodnoty jsou nezáporná reálná čísla , obvykle uvedená v sestupném pořadí ( s ₁ ( T ), s ₂ ( T ),…). Největší singulární hodnota je ₁ ( T ) je rovna normy operátora z T (viz Min-max teorém ).

Vizualizace singulární rozklad (SVD) ze 2-rozměrné, skutečné střižné matice M . Nejprve vidíme disk jednotky modře spolu se dvěma kanonickými jednotkovými vektory . Pak vidíme akci M , která deformuje disk na elipsu . SVD rozkládá M do tří jednoduchých transformací: a rotace V ^* , je měřítko Σ podél otočený souřadných os a druhé rotační U . Σ je diagonální matice , obsahující v diagonále singulární hodnoty M , které představují délku å ₁ a å ₂ ze semi-osy elipsy.

Pokud T působí na euklidovském prostoru R ⁿ , existuje jednoduchá geometrická interpretace pro singulárních hodnot: Uvažujme obraz o T v jednotkové koule ; to je elipsoid , a délky jeho polo-os jsou singulární hodnoty T (Obrázek poskytuje příklad v R ² ).

Singulární hodnoty jsou absolutní hodnoty čísel jednoho normální matice A , protože spektrální teorém může být použita k získání jednotné Diagonalizace A jako A = U lambda U ^* . Proto .${\ textstyle {\ sqrt {A ^ {*} A}} = {\ sqrt {U \ Lambda ^ {*} \ Lambda U ^ {*}}} = U \ vlevo | \ Lambda \ vpravo | U ^ {* }}$

Většina norem studovaných Hilbertových vesmírných operátorů je definována pomocí s- čísel. Například, Ky Fan - k -norm je součet první k- singulárních hodnot, stopa normou je součtem všech singulárních hodnot, a Schatten normou je p th kořen součtu p th pravomoci singulárních hodnoty. Všimněte si, že každá norma je definována pouze na speciální třídě operátorů, proto jsou s- čísla užitečná při klasifikaci různých operátorů.

V případě konečných rozměrů může být matice vždy rozložena ve tvaru U Σ V ^* , kde U a V ^* jsou jednotné matice a Σ je diagonální matice se singulárními hodnotami ležícími na diagonále. Toto je rozklad singulární hodnoty .

Základní vlastnosti

Pro , a . ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {m \ krát n}}$${\ displaystyle i = 1,2, \ ldots, \ min \ {m, n \}}$

Věta o min-max pro singulární hodnoty . Zde je podprostor dimenze . ${\ displaystyle U: \ dim (U) = i}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ sigma _ {i} (A) & = \ min _ {\ dim (U) = n-i + 1} \ max _ {\ podmnožina {\ | x \ | _ { 2} = 1} {x \ in U}} \ left \ | Axe \ right \ | _ {2}. \\\ sigma _ {i} (A) & = \ max _ {\ dim (U) = i } \ min _ {\ underset {\ | x \ | _ {2} = 1} {x \ in U}} \ left \ | Axe \ right \ | _ {2}. \ end {aligned}}}$

Transpozice a konjugace matice nemění singulární hodnoty.

${\ displaystyle \ sigma _ {i} (A) = \ sigma _ {i} \ vlevo (A ^ {\ textyf {T}} \ vpravo) = \ sigma _ {i} \ vlevo (A ^ {*} \ right) = \ sigma _ {i} \ left ({\ bar {A}} \ right).}$

Pro každého unitáře ${\ displaystyle U \ in \ mathbb {C} ^ {m \ krát m}, V \ in \ mathbb {C} ^ {n \ krát n}.}$

${\ displaystyle \ sigma _ {i} (A) = \ sigma _ {i} (UAV).}$

Vztah k vlastním číslům:

${\ displaystyle \ sigma _ {i} ^ {2} (A) = \ lambda _ {i} \ vlevo (AA ^ {*} \ vpravo) = \ lambda _ {i} \ vlevo (A ^ {*} A \že jo).}$

Nerovnosti o singulárních hodnotách

Viz také.

Singulární hodnoty dílčích matic

Pro ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {m \ krát n}.}$

1. Nechť značí s jedním ze svých řad a sloupců odstraněny. Pak ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$

   ${\ displaystyle \ sigma _ {i + 1} (A) \ leq \ sigma _ {i} (B) \ leq \ sigma _ {i} (A)}$

2. Nechť značí s jedním ze svých řad a sloupců vypouští. Pak ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$

   ${\ displaystyle \ sigma _ {i + 2} (A) \ leq \ sigma _ {i} (B) \ leq \ sigma _ {i} (A)}$

3. Nechť označují submatici o . Pak ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle (mk) \ krát (nl)}$${\ displaystyle A}$

   ${\ displaystyle \ sigma _ {i + k + l} (A) \ leq \ sigma _ {i} (B) \ leq \ sigma _ {i} (A)}$

Singulární hodnoty A + B

Pro ${\ displaystyle A, B \ in \ mathbb {C} ^ {m \ krát n}}$

1. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ sigma _ {i} (A + B) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ sigma _ {i} (A) + \ sigma _ {i} (B), \ quad k = \ min \ {m, n \}}$
2. ${\ displaystyle \ sigma _ {i + j-1} (A + B) \ leq \ sigma _ {i} (A) + \ sigma _ {j} (B). \ quad i, j \ in \ mathbb { N}, \ i + j-1 \ leq \ min \ {m, n \}}$

Singulární hodnoty AB

Pro ${\ displaystyle A, B \ in \ mathbb {C} ^ {n \ krát n}}$

1. ${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ prod _ {i = n} ^ {i = n-k + 1} \ sigma _ {i} (A) \ sigma _ {i} (B) & \ leq \ prod _ {i = n} ^ {i = n-k + 1} \ sigma _ {i} (AB) \\\ prod _ {i = 1} ^ {k} \ sigma _ {i} (AB) & \ leq \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ sigma _ {i} (A) \ sigma _ {i} (B), \\\ součet _ {i = 1} ^ {k} \ sigma _ { i} ^ {p} (AB) & \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ sigma _ {i} ^ {p} (A) \ sigma _ {i} ^ {p} (B) , \ end {zarovnáno}}}$
2. ${\ displaystyle \ sigma _ {n} (A) \ sigma _ {i} (B) \ leq \ sigma _ {i} (AB) \ leq \ sigma _ {1} (A) \ sigma _ {i} ( B) \ quad i = 1,2, \ ldots, n.}$

Pro ${\ displaystyle A, B \ in \ mathbb {C} ^ {m \ krát n}}$

${\ displaystyle 2 \ sigma _ {i} (AB ^ {*}) \ leq \ sigma _ {i} \ vlevo (A ^ {*} A + B ^ {*} B \ vpravo), \ quad i = 1 , 2, \ ldots, n.}$

Singulární hodnoty a vlastní hodnoty

Pro . ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ krát n}}$

1. Vidět

   ${\ Displaystyle \ lambda _ {i} \ vlevo (A + A ^ {*} \ vpravo) \ leq 2 \ sigma _ {i} (A), \ quad i = 1,2, \ ldots, n.}$

2. Předpokládejme . Pak pro : ${\ displaystyle \ left | \ lambda _ {1} (A) \ right | \ geq \ cdots \ geq \ left | \ lambda _ {n} (A) \ right |}$${\ displaystyle k = 1,2, \ ldots, n}$
   1. Weylova věta

      ${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ vlevo | \ lambda _ {i} (A) \ vpravo | \ leq \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ sigma _ {i} (A).}$

   2. Pro . ${\ displaystyle p> 0}$

      ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ vlevo | \ lambda _ {i} ^ {p} (A) \ vpravo | \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ sigma _ {i} ^ {p} (A).}$

Dějiny

Tento koncept představil Erhard Schmidt v roce 1907. Schmidt v té době nazýval singulární hodnoty „vlastní čísla“. Název „singulární hodnota“ poprvé citovali Smithies v roce 1937. V roce 1957 Allahverdiev prokázal následující charakterizaci čísla n th s :

${\ displaystyle s_ {n} (T) = \ inf {\ big \ {} \, \ | TL \ |: L {\ text {je operátor konečné pozice}} <n \, {\ big \}} .}$

Tato formulace umožnila rozšířit pojem s- čísel na operátory v Banachově prostoru .

Viz také

• Číslo podmínky
• Cauchyova prokládací věta nebo Poincarého separační věta
• Schur – Hornova věta
• Rozklad singulární hodnoty

Reference