Rozdělit normální rozdělení - Split normal distribution

V teorii a statistice pravděpodobnosti je rozdělení normálního rozdělení, známé také jako dvoudílné normální rozdělení, spojením odpovídajících polovin dvou normálních rozdělení se stejným režimem, ale s různými odchylkami . Tvrdí to Johnson a kol. že tuto distribuci zavedli Gibbons a Mylroie a John. Ale to jsou dva z několika nezávislých znovuobjevení Zweiseitige Gauss'sche Gesetz představených v posmrtně publikovaném Kollektivmasslehre (1897) Gustava Theodora Fechnera (1801-1887), viz Wallis (2014). Překvapivě se nedávno objevil nový finanční objev ve finančním deníku.

Split-normální

Zápis	${\ displaystyle {\ mathcal {SN}} (\ mu, \, \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2})}$
Parametry	${\ displaystyle \ mu \ in \ Re}$- režim ( umístění , reálný ) - směrodatná odchylka na levé straně ( měřítko , reálné ) - směrodatná odchylka na pravé straně ( měřítko , skutečné ) ${\ displaystyle \ sigma _ {1}> 0}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {2}> 0}$
Podpěra, podpora	${\ displaystyle x \ in \ Re}$
PDF	${\ displaystyle A \ exp \ left (- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma _ {1} ^ {2}}} \ right) \ quad {\ text {if} } x <\ mu}$ ${\ displaystyle A \ exp \ left (- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma _ {2} ^ {2}}} \ right) \ quad {\ text {jinak, }}}$ ${\ displaystyle {\ text {where}} \ quad A = {\ sqrt {2 / \ pi}} (\ sigma _ {1} + \ sigma _ {2}) ^ {- 1}}$
Znamenat	${\ displaystyle \ mu + {\ sqrt {2 / \ pi}} (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {1})}$
Režim	${\ displaystyle \ mu}$
Rozptyl	${\ displaystyle (1-2 / \ pi) (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {1}) ^ {2} + \ sigma _ {1} \ sigma _ {2}}$
Šikmost	${\ displaystyle \ gamma _ {3} = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {1}) \ left [\ left ({\ frac { 4} {\ pi}} - 1 \ right) (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {1}) ^ {2} + \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} \ right]}$

Definice

Rozdělené normální rozdělení vychází ze sloučení dvou protilehlých polovin dvou funkcí hustoty pravděpodobnosti (PDF) normálních rozdělení v jejich běžném režimu .

PDF rozdělení normálního rozdělení je dáno vztahem

${\ displaystyle f (x; \ mu, \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}) = A \ exp \ left (- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma _ {1} ^ {2}}} \ vpravo) \ quad {\ text {if}} x <\ mu}$

${\ displaystyle f (x; \ mu, \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}) = A \ exp \ left (- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma _ {2} ^ {2}}} \ vpravo) \ quad {\ text {jinak}}}$

kde

${\ displaystyle \ quad A = {\ sqrt {2 / \ pi}} (\ sigma _ {1} + \ sigma _ {2}) ^ {- 1}.}$

Diskuse

Rozdělení normálního rozdělení je výsledkem sloučení dvou polovin normálního rozdělení. V obecném případě může mít „rodičovské“ normální rozdělení různé odchylky, což znamená, že spojené PDF by nebylo spojité . Aby se zajistilo, že výsledné PDF integruje na 1, normalizování konstanta se používá.

Ve zvláštním případě, kdy rozdělené normální rozdělení klesá na normální rozdělení s odchylkou . ${\ displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2} ^ {2} = \ sigma _ {*} ^ {2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {*} ^ {2}}$

Když σ ₂ ≠ σ ₁ je konstanta A odlišná od konstanty normálního rozdělení. Když jsou však konstanty stejné. ${\ displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2} ^ {2} = \ sigma _ {*} ^ {2}}$

Znaménko jeho třetího centrálního momentu je určeno rozdílem (σ ₂ -σ ₁ ). Pokud je tento rozdíl kladný, rozdělení je zkosené doprava a pokud je záporné, pak je zkoseno doleva.

Další vlastnosti rozdělené normální hustoty byly diskutovány Johnsonem a kol. a Julio.

Alternativní formulace

Formulace diskutovaná výše pochází od Johna. Literatura nabízí dvě matematicky ekvivalentní alternativní parametrizace. Britton, Fisher a Whitley nabízejí parametrizaci, pokud jsou označeny výrazy režim, rozptyl a normovaná šikmost . Parametr μ je režim a má ekvivalent k režimu v Johnově formulaci. Parametr σ ² > 0 informuje o disperzi (stupnici) a neměl by být zaměňován s rozptylem. Třetím parametrem, γ ∈ (-1,1), je normalizovaný zkosení. ${\ displaystyle {\ mathcal {SN}} (\ mu, \, \ sigma ^ {2}, \ gamma)}$

Druhá alternativní parametrizace se používá v komunikaci Bank of England a je napsána z hlediska režimu, rozptylu a neobvyklé šikmosti a je označena . V této formulaci je parametr μ režim a je identický jako ve formulaci Johna a Brittona, Fishera a Whitleye. Parametr σ ² informuje o disperzi (měřítku) a je stejný jako ve formulaci Brittona, Fishera a Whitleye. Parametr ξ se rovná rozdílu mezi průměrem a režimem distribuce a lze jej považovat za nenormální míru šikmosti. ${\ displaystyle {\ mathcal {SN}} (\ mu, \, \ sigma ^ {2}, \ xi)}$

Tři parametrizace jsou matematicky ekvivalentní, což znamená, že mezi parametry existuje přísný vztah a že je možné přejít z jedné parametrizace do druhé. Následující vztahy platí:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sigma ^ {2} & = \ sigma _ {1} ^ {2} (1+ \ gamma) = \ sigma _ {2} ^ {2} (1- \ gamma) \\\ gamma & = {\ frac {\ sigma _ {2} - \ sigma _ {1}} {\ sigma _ {2} + \ sigma _ {1}}} \\\ xi & = {\ sqrt { 2 / \ pi}} (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {1}) \\\ gamma & = \ operatorname {sgn} (\ xi) {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {{ \ sqrt {1 + 2 \ beta}} - 1} {\ beta}} \ vpravo) ^ {2}}}, \ quad {\ text {kde}} \ quad \ beta = {\ frac {\ pi \ xi ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}. \ End {zarovnáno}}}$

Multivariační rozšíření

Mnohorozměrné zobecnění rozdělení normálního rozdělení navrhli Villani a Larsson. Předpokládají, že každá z hlavních složek má jednorozměrné rozdělení normálního rozdělení s jinou sadou parametrů μ, σ ₂ a σ ₁ .

Odhad parametrů

John navrhuje odhadnout parametry pomocí metody maximální věrohodnosti . Ukazuje, že funkci pravděpodobnosti lze vyjádřit v intenzivní formě, ve které jsou parametry měřítka σ ₁ a σ ₂ funkcí lokalizačního parametru μ. Pravděpodobnost v intenzivní formě je:

${\ displaystyle L (\ mu) = - \ vlevo [\ součet _ {x_ {i}: x_ {i} <\ mu} (x_ {i} - \ mu) ^ {2} \ vpravo] ^ {1 / 3} - \ left [\ sum _ {x_ {i}: x_ {i}> \ mu} (x_ {i} - \ mu) ^ {2} \ right] ^ {1/3}}$

a musí být maximalizován numericky pouze s ohledem na jediný parametr μ.

Vzhledem k odhadu maximální pravděpodobnosti mají ostatní parametry hodnoty: ${\ displaystyle {\ hat {\ mu}}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} _ {1} ^ {2} = {\ frac {-L (\ mu)} {N}} \ vlevo [\ sum _ {x_ {i}: x_ {i } <\ mu} (x_ {i} - \ mu) ^ {2} \ vpravo] ^ {2/3},}$

${\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} _ {2} ^ {2} = {\ frac {-L (\ mu)} {N}} \ vlevo [\ sum _ {x_ {i}: x_ {i }> \ mu} (x_ {i} - \ mu) ^ {2} \ vpravo] ^ {2/3},}$

kde N je počet pozorování.

Villani a Larsson navrhují použít metodu maximální věrohodnosti nebo bayesiánský odhad a poskytnout některé analytické výsledky pro jednorozměrný i vícerozměrný případ.

Aplikace

Rozdělené normální rozdělení se používá hlavně v ekonometrii a časových řadách. Pozoruhodnou oblastí použití je konstrukce vějířového grafu , což je zastoupení distribuce prognózy inflace hlášené inflací cílenou na centrální banky po celém světě.

Reference