Tok stagnačního bodu - Stagnation point flow

V dynamiky tekutin , stagnace bod toku představuje tok tekutiny v bezprostřední blízkosti pevného povrchu. Jak se kapalina přibližuje k povrchu, rozdělí se na dva proudy. Ačkoli tekutina stagnuje všude na pevném povrchu kvůli neklouzavému stavu , název stagnační bod odkazuje na stagnační body inviscidních Eulerových řešení.

Hiemenzův tok

Hiemenz formuloval problém a řešení vypočítal numericky v roce 1911 a následně Leslie Howarth (1934). Tok v okolí bodu stagnace lze modelovat tokem směrem k nekonečné ploché desce, i když celé tělo je zakřivené (lokální zakřivení je zanedbatelné). Nechte desku být v rovině, která představuje bod stagnace. Funkce a rychlost neviditelného proudu z teorie potenciálního toku jsou ${\ displaystyle xz}$${\ displaystyle (x, y) = (0,0)}$ ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle (u, v)}$

${\ displaystyle \ psi = kxy, \ quad u = kx, \ quad v = -ky}$

kde je libovolná konstanta (představuje rychlost deformace v nastavení protiproudu). Pro skutečnou tekutinu (včetně viskózních efektů) existuje podobné řešení, pokud je definováno ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle \ eta = {\ sqrt {\ frac {k} {\ nu}}} y, \ quad \ psi = {\ sqrt {\ nu k}} xF (\ eta)}$

kde je kinematická viskozita a je tloušťka mezní vrstvy, ale je konstantní (vířivost generovaná na pevném povrchu je zabráněna difúzi daleko protilehlou konvekcí, podobné profily jsou mezní vrstva Blasius s odsáváním, von Kármánův vířící tok atd.), Potom se složky rychlosti a následně tlak a rovnice pro použití Navier-Stokesových rovnic jsou ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ delta = {\ sqrt {\ nu / k}}}$${\ displaystyle F (\ eta)}$

${\ displaystyle u = kxF ', \ quad v = - {\ sqrt {\ nu k}} F, \ quad {\ frac {p_ {o} -p} {\ rho}} = {\ frac {1} { 2}} k ^ {2} x ^ {2} + k \ nu F '+ {\ frac {1} {2}} k \ nu F ^ {2}}$

${\ displaystyle F '' '+ FF' '- F' ^ {2} + 1 = 0}$

a okrajová podmínka kvůli žádnému průniku a neklouzavosti a podmínka volného proudu pro (Poznámka: okrajové podmínky pro daleko od desky nejsou specifikovány, protože jsou součástí řešení - typický problém mezní vrstvy) jsou ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle F (0) = 0, \ F '(0) = 0, F' (\ infty) = 1.}$

Zde formulovaným problémem je speciální případ mezní vrstvy Falkner-Skan . Asymptotické formy pro velké jsou ${\ displaystyle \ eta \ rightarrow \ infty}$

${\ Displaystyle F \ sim \ eta -0.6479, \ quad u \ sim kx, \ quad v \ sim -k (y- \ delta ^ {*}), \ quad \ delta ^ {*} = 0,6479 \ delta}$

kde je tloušťka posunutí . ${\ displaystyle \ delta ^ {*}}$

Tok stagnačního bodu s překládací deskou

Tok modelu stagnačního bodu s pohyblivou deskou s konstantní rychlostí lze považovat za model pro rotaci pevných látek v blízkosti bodů stagnace. Funkce streamu je ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ psi = {\ sqrt {\ nu k}} xF (\ eta) + U \ delta \ int _ {0} ^ {\ eta} G (\ eta) d \ eta}$

kde splňuje rovnici ${\ displaystyle G (\ eta)}$

${\ displaystyle G '' + FG'-F'G = 0, \ quad G (0) = 1, \ quad G (\ infty) = 0}$

a Rott (1956) poskytli řešení jako ${\ displaystyle G (\ eta) = {\ frac {F '' (\ eta)} {F '' (0)}}.}$

Šikmý tok stagnačního bodu

Předchozí analýzy předpokládají, že tok naráží do normálního směru. Funkce inviscid stream pro tok šikmého bodu stagnace se získá přidáním konstantní vířivosti . ${\ displaystyle - \ zeta _ {o}}$

${\ displaystyle \ psi = kxy + {\ frac {1} {2}} \ zeta _ {o} y ^ {2}}$

Odpovídající analýzu viskózní tekutiny studují Stuart (1959), Tamada (1979) a Dorrepaal (1986). Funkce podobného streamu je,

${\ displaystyle \ psi = {\ sqrt {\ nu k}} xF (\ eta) + \ zeta _ {o} \ delta ^ {2} \ int _ {0} ^ {\ eta} H (\ eta) d \ eta}$

kde splňuje rovnici ${\ displaystyle H (\ eta)}$

${\ displaystyle H '' + FH'-F'H = 0, \ quad H (0) = 0, \ quad H '(\ infty) = 1}$ .

Homannův tok

Odpovídající problém v osově souměrné souřadnici řeší Homann (1936) a slouží jako model pro proudění kolem bodu stagnace koule. Paul A. Libby (1974) (1976) uvažoval o Homannově proudění s neustále se pohybující deskou s rychlostí a také umožňoval sání / vstřikování s rychlostí na povrchu. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$

Self-podobné řešení se získá zavedením následující transformace pro rychlost ve válcových souřadnicích ${\ displaystyle (v_ {r}, v _ {\ theta}, v_ {z})}$

${\ displaystyle \ eta = {\ sqrt {\ frac {k} {\ nu}}} z, \ quad \ gamma = - {\ frac {V} {2 {\ sqrt {k \ nu}}}}, \ quad v_ {r} = krF '(\ eta) + U \ cos \ theta G (\ eta), \ quad v _ {\ theta} = - U \ sin \ theta G (\ eta), \ quad v_ {z} = -2 {\ sqrt {k \ nu}} F (\ eta)}$

a tlak je dán

${\ displaystyle {\ frac {p-p_ {o}} {\ rho}} = - {\ frac {1} {2}} k ^ {2} r ^ {2} -2k \ nu (F ^ {2 } + F ')}$

Proto se rovnice Navier-Stokes redukují na

${\ displaystyle {\ begin {aligned} F '' '+ 2FF' '- F' ^ {2} + 1 & = 0, \\ G '' + 2FG'-F'G & = 0 \ end {aligned}}}$

s okrajovými podmínkami,

${\ Displaystyle F (0) = \ gamma, \ quad F '(0) = 0, \ quad F' (\ infty) = 1, \ quad G (0) = 1, \ quad G (\ infty) = 0 .}$

Když je klasický Homannův problém vyřešen. ${\ displaystyle U = V = 0}$

Rovinné protiproudy

Trysky vycházející z automatů vytvářejí mezi teorií potenciálu stagnační bod. Tok poblíž bodu stagnace lze studovat pomocí podobného řešení. Toto nastavení je široce používáno v experimentech spalování . Počáteční studie dopadu stagnačních toků je způsobena CY Wangem. Nechte dvě tekutiny s konstantními vlastnostmi označenými příponou, která teče z opačného směru, a předpokládejme, že obě tekutiny jsou nemísitelné a rozhraní (umístěné v ) je rovinné. Rychlost je dána vztahem ${\ displaystyle 1 ({\ text {top}}), \ 2 ({\ text {bottom}})}$${\ displaystyle y = 0}$

${\ displaystyle u_ {1} = k_ {1} x, \ quad v_ {1} = - k_ {1} y, \ quad u_ {2} = k_ {2} x, \ quad v_ {2} = - k_ {2} y}$

kde jsou rychlosti deformace tekutin. Na rozhraní musí být rychlosti, tangenciální napětí a tlak spojité. Představujeme podobnou transformaci, ${\ displaystyle k_ {1}, \ k_ {2}}$

${\ displaystyle \ eta _ {1} = {\ sqrt {\ frac {\ nu _ {1}} {k_ {1}}}} y, \ quad u_ {1} = k_ {1} xF_ {1} ' , \ quad v_ {1} = - {\ sqrt {\ nu _ {1} k_ {1}}} F_ {1}}$

${\ displaystyle \ eta _ {2} = {\ sqrt {\ frac {\ nu _ {2}} {k_ {2}}}} y, \ quad u_ {2} = k_ {2} xF_ {2} ' , \ quad v_ {2} = - {\ sqrt {\ nu _ {2} k_ {2}}} F_ {2}}$

výsledkové rovnice,

${\ displaystyle F_ {1} '' + F_ {1} F_ {1} '' - F_ {1} '^ {2} + 1 = 0, \ quad {\ frac {p_ {o1} -p_ {1 }} {\ rho _ {1}}} = {\ frac {1} {2}} k_ {1} ^ {2} x ^ {2} + k_ {1} \ nu _ {1} F_ {1} '+ {\ frac {1} {2}} k_ {1} \ nu _ {1} F_ {1} ^ {2}}$

${\ displaystyle F_ {2} '' + F_ {2} F_ {2} '' - F_ {2} '^ {2} + 1 = 0, \ quad {\ frac {p_ {o2} -p_ {2 }} {\ rho _ {2}}} = {\ frac {1} {2}} k_ {2} ^ {2} x ^ {2} + k_ {2} \ nu _ {2} F_ {2} '+ {\ frac {1} {2}} k_ {2} \ nu _ {2} F_ {2} ^ {2}.}$

Stane se stav bez penetrace na rozhraní a stav volného toku daleko od stagnační roviny

${\ displaystyle F_ {1} (0) = 0, \ quad F_ {1} '(\ infty) = 1, \ quad F_ {2} (0) = 0, \ quad F_ {2}' (- \ infty ) = 1.}$

Rovnice však vyžadují další dvě okrajové podmínky. Na , tangenciální rychlosti , tangenciální napětí a tlak jsou spojité. Proto, ${\ displaystyle \ eta = 0}$${\ displaystyle u_ {1} = u_ {2}}$${\ displaystyle \ rho _ {1} \ nu _ {1} \ částečné u_ {1} / \ částečné y = \ rho _ {2} \ nu _ {2} \ částečné u_ {2} / \ částečné y}$${\ displaystyle p_ {1} = p_ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} k_ {1} F_ {1} '(0) & = k_ {2} F_ {2}' (0), \\\ rho _ {1} {\ sqrt {\ nu _ {1} k_ {1} ^ {3}}} F_ {1} '' (0) & = \ rho _ {2} {\ sqrt {\ nu _ {2} k_ {2} ^ {3}} } F_ {2} '(0), \\ p_ {o1} - \ rho _ {1} \ nu _ {1} k_ {1} F_ {1}' (0) & = p_ {o2} - \ rho _ {2} \ nu _ {2} k_ {2} F_ {2} '(0). \ end {zarovnáno}}}$

kde (z vnějšího problému inviscid) se používá. Oba nejsou apriori známé , ale jsou odvozeny z odpovídajících podmínek. Třetí rovnice je určení změny vnějšího tlaku v důsledku vlivu viskozity. Existují tedy pouze dva parametry, kterými se řídí tok ${\ displaystyle \ rho _ {1} k_ {1} ^ {2} = \ rho _ {2} k_ {2} ^ {2}}$${\ displaystyle F_ {i} '(0), F_ {i}' (0)}$${\ displaystyle p_ {o1} -p_ {o2}}$

${\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {k_ {1}} {k_ {2}}} = \ vlevo ({\ frac {\ rho _ {2}} {\ rho _ {1}}} \ vpravo) ^ {1/2}, \ quad \ Gamma = {\ frac {\ nu _ {2}} {\ nu _ {1}}}}$

pak se stanou okrajové podmínky

${\ displaystyle F_ {1} '(0) = \ Lambda F_ {2}' (0), \ quad F_ {1} '' (0) = {\ sqrt {\ frac {\ Gamma} {\ Lambda}} } F_ {2} '' (0)}$ .

Konstantní hustota a konstantní viskozita

Když jsou hustoty a viskozity dvou nárazových trysek stejné a konstantní, pak je také deformační rychlost konstantní a řešení potenciálního toku se stane řešením Navier-Stokesových rovnic, tj. ${\ displaystyle k_ {1} = k_ {2} = k}$

${\ displaystyle u = kx, \ quad v = -ky}$

všude v doméně toku. Kerr a Dold našli v roce 1994 další nové řešení zvané jako Kerr – Doldův vír Navierových-Stokesových rovnic v podobě periodického pole ustálených vírů superponovaných na protiproudé proudy s konstantní hustotou a konstantní viskozitou.

Reference