Triangulace (topologie) - Triangulation (topology)
V matematice , topologie zobecňuje pojem triangulace přirozeným způsobem takto:
- Triangulace z topologického prostoru X je simplicial komplex K , homeomorfní X , spolu s homeomorphism h : K → X .
Triangulace je užitečná při určování vlastností topologického prostoru. Například lze vypočítat skupiny homologie a kohomologie trojúhelníkového prostoru pomocí jednoduchých teorií homologie a kohomologie namísto složitějších teorií homologie a kohomologie.
Kusové lineární struktury
U topologických variet existuje trochu silnější pojem triangulace: po částech lineární triangulace (někdy jen nazývaná triangulace) je triangulace s extra vlastností - definovanou pro dimenze 0, 1, 2,. . . indukčně - že spojením jakéhokoli simplexu je po částech lineární koule. Odkaz na simplex ů v simpliciální komplexu K je subcomplex z K sestávající z simplexy t které jsou disjunktní z S , a tak, že oba s a t jsou tváře některých vyšší-dimenzionální simplex v K . Například v dvourozměrném kusovém lineárním potrubí tvořeném množinou vrcholů, hran a trojúhelníků se spojení vrcholů s skládá z cyklu vrcholů a hran obklopujících s : je-li t v tomto cyklu vrchol, t a y jsou oba koncové body hrany k , a pokud t je hrana v tomto cyklu, to a s jsou obě plochy trojúhelníku k . Tento cyklus je homeomorfní s kruhem, což je jednorozměrná koule. Ale v tomto článku se slovo „triangulace“ používá pouze k označení homeomorfního až zjednodušeného komplexu.
U potrubí o rozměrech nejvýše 4 je jakákoli triangulace potrubí kusová lineární triangulace: V jakémkoli zjednodušeném komplexu homeomorfní k potrubí může být spojení libovolného simplexu pouze homeomorfní ke kouli. Ale v rozměru n ≥ 5 ( n - 3) násobně suspenze v Poincaré koule je topologický potrubí (homeomorphic na n -sphere) s triangulace, který není po částech lineární: má simplex, jehož spojení je Poincarého koule , trojrozměrné potrubí, které není homeomorfní s koulí. Toto je věta o dvojitém zavěšení , způsobená Jamesem W. Cannonem a RD Edwardsem v 70. letech.
Otázka, která potrubí mají po částech lineární triangulace, vedla k velkému výzkumu topologie. Diferencovatelné potrubí (Stewart Cairns, JHC Whitehead , LEJ Brouwer , Hans Freudenthal , James Munkres ) a subanalytické sady ( Heisuke Hironaka a Robert Hardt) připouštějí po částech lineární triangulaci, technicky průchodem kategorií PDIFF . Topologické potrubí o dimenzích 2 a 3 lze vždy triangulovat v podstatě jedinečnou triangulací (až po dílčí lineární ekvivalenci); toto bylo prokázáno pro povrchy podle Tibor rado v roce 1920 a pro tři potrubí podle Edwin E. Moise a RH Bing v roce 1950, se později zjednodušení od Petera Shalen . Jak nezávisle ukazují James Munkres , Steve Smale a JHC Whitehead , každý z těchto potrubí připouští hladkou strukturu , jedinečnou až do difeomorfismu . V dimenzi 4 však potrubí E8 nepřipouští triangulaci a některá kompaktní potrubí 4 mají nekonečný počet triangulací, všechny po částech lineární nerovnocenné. V dimenzi větší než 4 konstruovali Rob Kirby a Larry Siebenmann rozdělovače, které nemají po částech lineární triangulace (viz Hauptvermutung ). Dále Ciprian Manolescu dokázal, že existují kompaktní rozdělovače o rozměru 5 (a tedy i každého rozměru větší než 5), které nejsou homeomorfní simpliciální komplexní, tedy že nepřipustí triangulace.
Explicitní metody triangulace
Důležitým zvláštním případem topologické triangulace je případ dvojrozměrných ploch nebo uzavřených 2-potrubí . Existuje standardní důkaz, že lze hladké kompaktní povrchy trojúhelníkovat. Pokud je povrchu dána Riemannova metrika , je každý bod x obsažen uvnitř malého konvexního geodetického trojúhelníku, který leží uvnitř normální koule se středem x . Interiéry konečně mnoha trojúhelníků pokryjí povrch; protože hrany různých trojúhelníků se shodují nebo se protínají příčně, lze tuto konečnou sadu trojúhelníků iterativně použít ke konstrukci triangulace.
Další jednoduchý postup pro triangulaci diferencovatelných variet dal Hassler Whitney v roce 1957 na základě své věty o vložení . Ve skutečnosti, pokud X je uzavřený n - submanifold z R m , rozdělit Krychlová Příhradová R m do simplexů dát triangulace R m . Vezmeme-li síť mřížky dostatečně malou a mírně se pohybující konečně mnoho vrcholů, bude triangulace v obecné poloze vzhledem k X : tedy žádné jednoduchosti dimenze < s = m - n neprotínají X a každé s -simplex protínající X
- dělá to přesně v jednom vnitřním bodě;
- svírá s tečnou rovinou přísně kladný úhel;
- leží zcela uvnitř nějakého trubkového okolí města X .
Tyto průsečíky a jejich barycentra (odpovídající vyšším dimenzionálním jednoduchostem protínajícím X ) vytvářejí v R m n -dimenzionální zjednodušený subkomplex , který leží zcela uvnitř tubulárního sousedství. Triangulace je dána výstupku tohoto simpliciální komplexu na X .
Grafy na plochách
Whitney triangulace nebo čistý triangulace z povrchu je vkládání z grafu na povrch takovým způsobem, že čelní plochy zalití jsou přesně kliky v grafu. Ekvivalentně je každá tvář trojúhelníkem, každý trojúhelník je tváří a samotný graf není klika. Klika komplex grafu je pak homeomorphic na povrch. 1 kostry Whitneyových triangulací jsou přesně lokálně cyklické grafy jiné než K 4 .
Reference
Další čtení
- Dieudonné, Jean (1989), Dějiny algebraické a diferenciální topologie, 1900–1960 , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3388-X