Totožnost Ward – Takahashi - Ward–Takahashi identity

V kvantové polní teorii , je Ward-Takahashi identity je totožnost mezi korelačních funkcí , které vyplývá z globálních či rozchodem symetrií teorie, a který zůstává v platnosti po renormalization .

Ward-Takahashi totožnost kvantové elektrodynamiky (QED) byl původně používán John Clive Ward a Yasushi Takahashi vztáhnout funkce wave renormalizace z elektronu na jeho vrchol renormalization faktoru zaručující zrušení ultrafialové divergence všem řádů poruchové teorie . Pozdější použití zahrnují rozšíření důkazu Goldstoneovy věty na všechny řády teorie poruch.

Obecněji řečeno, identita Ward-Takahashi je kvantová verze zachování klasického proudu spojená s kontinuální symetrií Noetherovou větou . Takové symetrie v teorii kvantového pole (téměř) vždy vedou k těmto zobecněným identitám Ward-Takahashi, které ukládají symetrii na úrovni kvantově mechanických amplitud. Tento zobecněný smysl je třeba odlišit při čtení literatury, jako je učebnice Michaela Peskina a Daniela Schroedera , od původní identity Ward-Takahashi.

Níže uvedená podrobná diskuse se týká QED, abeliánské teorie, na kterou se vztahuje identita Ward-Takahashi. Ekvivalentní identity pro neabelovské teorie, jako je kvantová chromodynamika (QCD), jsou identity Slavnov – Taylor .

Totožnost Ward – Takahashi

Identita Ward-Takahashi platí pro korelační funkce v prostoru hybnosti , které nemusí nutně mít všechny své vnější hybnosti na skořápce . Nechat

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (k; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n}) = \ epsilon _ {\ mu} (k) {\ mathcal { M}} ^ {\ mu} (k; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n})}$

být QED korelační funkcí zahrnující externí foton s hybností k (kde je předpokládán polarizační vektor fotonu a součet přes ), n elektronů počátečního stavu s hybností a n elektronů konečného stavu s hybností . Rovněž definujte jako jednodušší amplitudu, která se získá odstraněním fotonu s hybností k z naší původní amplitudy. Pak se přečte identita Ward – Takahashi ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ mu} (k)}$${\ displaystyle \ mu = 0, \ ldots, 3}$${\ displaystyle p_ {1} \ cdots p_ {n}}$${\ displaystyle q_ {1} \ cdots q_ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {0}}$

${\ displaystyle k _ {\ mu} {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (k; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n}) = e \ sum _ {i} \ left [{\ mathcal {M}} _ {0} (p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots (q_ {i} -k) \ cdots q_ {n}) \že jo.}$

${\ displaystyle \ left .- {\ mathcal {M}} _ {0} (p_ {1} \ cdots (p_ {i} + k) \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n} )\že jo]}$

kde e je náboj elektronu a má záporné znaménko. Všimněte si, že pokud má své vnější elektrony na skořápce, pak amplitudy na pravé straně této identity mají každá jednu vnější částici mimo skořápku, a proto nepřispívají k prvkům S-matice . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

Totožnost sboru

Identita Ward je specializací identity Ward-Takahashi na prvky S-matice , které popisují fyzicky možné procesy rozptylu a mají tak všechny své vnější částice na plášti . Opět nechť je amplituda pro nějaký QED proces zahrnující externí foton s hybností , kde je polarizační vektor fotonu. Pak identita Ward zní: ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (k) = \ epsilon _ {\ mu} (k) {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (k)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ epsilon _ {\ mu} (k)}$

${\ displaystyle k _ {\ mu} {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (k) = 0}$

Fyzicky tato identita znamená, že podélná polarizace fotonu, která vzniká v měřidle unp, je nefyzická a mizí z S-matice.

Mezi příklady jeho použití patří omezení tenzorové struktury vakuové polarizace a funkce elektronového vrcholu v QED.

Odvození v cestě integrální formulace

Ve formulaci integrace cesty jsou identity Ward-Takahashi odrazem invariance funkční míry pod transformací měřidla . Přesněji řečeno, pokud představuje transformaci měřidla o (a to platí i v případě, že fyzická symetrie systému je globální nebo dokonce neexistuje; máme obavy pouze z invariance funkční míry zde), pak ${\ displaystyle \ delta _ {\ varepsilon}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle \ int \ delta _ {\ varepsilon} \ left ({\ mathcal {F}} e ^ {iS} \ right) {\ mathcal {D}} \ phi = 0}$

vyjadřuje invariance funkční opatření, kde S je akce a je funkční z polí . Pokud transformace měřidla odpovídá globální symetrii teorie, pak, ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ delta _ {\ varepsilon} S = \ int \ levý (\ částečný _ {\ mu} \ varepsilon \ pravý) J ^ {\ mu} \ mathrm {d} ^ {d} x = - \ int \ varepsilon \ částečné _ {\ mu} J ^ {\ mu} \ mathrm {d} ^ {d} x}$

pro některé „ aktuální “ J (jako funkce polí ) po integraci po částech a za předpokladu, že lze zanedbávat povrchové členy . ${\ displaystyle \ phi}$

Poté se stanou identity Ward-Takahashi

${\ displaystyle \ langle \ delta _ {\ varepsilon} {\ mathcal {F}} \ rangle -i \ int \ varepsilon \ langle {\ mathcal {F}} \ částečné _ {\ mu} J ^ {\ mu} \ rangle \ mathrm {d} ^ {d} x = 0}$

Toto je analog QFT rovnice kontinuity Noether . ${\ displaystyle \ částečné _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0}$

Pokud transformace měřidla odpovídá skutečné symetrii měřidla, pak

${\ displaystyle \ int \ delta _ {\ varepsilon} \ left ({\ mathcal {F}} e ^ {i \ left (S + S_ {gf} \ right)} \ right) {\ mathcal {D}} \ phi = 0}$

kde S je invariantní akce měřidla a S _gf je fixační člen měřidla neměnného invariantu .

Ale všimněte si, že i když neexistuje globální symetrie (tj. Symetrie je narušena), stále máme identitu Ward-Takahashi popisující míru zachování energie.

Pokud funkční míra není invariantní, ale stane se uspokojivou

${\ displaystyle \ int \ delta _ {\ varepsilon} \ left ({\ mathcal {F}} e ^ {iS} \ right) {\ mathcal {D}} \ phi = \ int \ varepsilon \ lambda {\ mathcal { F}} e ^ {iS} \ mathrm {d} ^ {d} x}$

kde je nějaká funkce polí , máme anomální identitu Ward-Takahashi , například když pole mají chirální anomálii . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ phi}$

Reference