Pravděpodobnost křehkosti - Whittle likelihood

Ve statistikách je Whittleho pravděpodobnost aproximací funkce pravděpodobnosti stacionární gaussovské časové řady . Je pojmenována po matematikovi a statistikovi Peteru Whittleovi , který ji představil ve své disertační práci v roce 1951. Obvykle se používá při analýze časových řad a zpracování signálu pro odhad parametrů a detekci signálu.

Kontext

Ve stacionárním modelu Gaussovy časové řady je funkce pravděpodobnosti (jako obvykle v Gaussových modelech) funkcí souvisejících průměrných a kovariančních parametrů. Při velkém počtu ( ) pozorování může být kovarianční matice ( ) velmi velká, což v praxi dělá výpočty velmi nákladnými. Kvůli stacionaritě má však kovarianční matice poměrně jednoduchou strukturu a pomocí aproximace lze výpočty značně zjednodušit (od do ). Myšlenka se efektivně scvrkává na převzetí heteroscedastického gaussovského modelu s nulovou střední hodnotou ve Fourierově doméně ; modelová formulace je založena na diskrétní Fourierově transformaci časové řady a její výkonové spektrální hustotě .${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N \ krát N}$${\ displaystyle O (N ^ {2})}$${\ displaystyle O (N \ log (N))}$

Definice

Nechť je stacionární Gaussova časová řada s ( jednostrannou ) výkonovou spektrální hustotou , kde je sudá a vzorky jsou odebírány v konstantních intervalech vzorkování . Nechť je (komplexní hodnota) diskrétní Fourierova transformace (DFT) časové řady. Pak pro pravděpodobnost Whittleho efektivně předpokládáme nezávislé nulové Gaussovské distribuce pro všechny s odchylkami pro skutečné a imaginární části dané ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {N}}$${\ displaystyle S_ {1} (f)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ Delta _ {t}}$${\ displaystyle {\ tilde {X}} _ {1}, \ ldots, {\ tilde {X}} _ {N / 2 + 1}}$${\ displaystyle {\ tilde {X}} _ {j}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Var} \ left (\ operatorname {Re} ({\ tilde {X}} _ {j}) \ right) = \ operatorname {Var} \ left (\ operatorname {Im} ({\ tilde {X}} _ {j}) \ right) = S_ {1} (f_ {j})}$

kde je ta Fourierova frekvence. Tento přibližný model okamžitě vede k (logaritmické) funkci pravděpodobnosti ${\ displaystyle f_ {j} = {\ frac {j} {N \, \ Delta _ {t}}}}$${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle \ log \ left (P (x_ {1}, \ ldots, x_ {N}) \ right) \ propto - \ sum _ {j} \ left (\ log \ left (S_ {1} (f_ { j}) \ right) + {\ frac {| {\ tilde {x}} _ {j} | ^ {2}} {{\ frac {N} {2 \, \ Delta _ {t}}} S_ { 1} (f_ {j})}} \ vpravo)}$

kde označuje absolutní hodnotu pomocí .${\ displaystyle | \ cdot |}$${\ displaystyle | {\ tilde {x}} _ {j} | ^ {2} = \ left (\ operatorname {Re} ({\ tilde {x}} _ {j}) \ right) ^ {2} + \ left (\ operatorname {Im} ({\ tilde {x}} _ {j}) \ right) ^ {2}}$

Zvláštní případ známého šumového spektra

V případě, že se šumové spektrum předpokládá a priori známé a hlukové vlastnosti nelze odvodit z dat, lze funkci pravděpodobnosti dále zjednodušit ignorováním konstantních výrazů, což vede k výrazu součtu čtverců

${\ displaystyle \ log \ left (P (x_ {1}, \ ldots, x_ {N}) \ right) \; \ propto \; - \ sum _ {j} {\ frac {| {\ tilde {x} } _ {j} | ^ {2}} {{\ frac {N} {2 \, \ Delta _ {t}}} S_ {1} (f_ {j})}}}$

Tento výraz je také základem pro společný odpovídající filtr .

Přesnost aproximace

Whittleho pravděpodobnost je obecně pouze přibližná, je přesná, pouze pokud je spektrum konstantní, tj. V maličkém případě bílého šumu . Účinnost tohoto Whittle sbližování vždy záleží na konkrétních okolnostech.

Všimněte si, že kvůli linearitě Fourierovy transformace Gaussianita ve Fourierově doméně implikuje Gaussianitu v časové doméně a naopak. To, co činí Whittleho pravděpodobnost pouze přibližně přesnou, souvisí s teorémem vzorkování - účinek Fourierovy transformace pouze konečného počtu datových bodů, což se také projevuje jako únik spektra v souvisejících problémech (a které lze zmírnit pomocí stejných metod, jmenovitě okna ). V tomto případě implicitní předpoklad periodicity implikuje korelaci mezi prvním a posledním vzorkem ( a ), které jsou účinně považovány za „sousední“ vzorky (jako a ). ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {N}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

Aplikace

Odhad parametrů

Whittleho pravděpodobnost se běžně používá k odhadu parametrů signálu pro signály, které jsou pohřbeny v nebílém šumu. Hlukového spektra pak lze předpokládat, známé, nebo to může být odvozeno spolu s parametry signálu.

Detekce signálu

Detekce signálu se běžně provádí s využitím přizpůsobeného filtru , který je založen na Whittleově pravděpodobnosti v případě známé spektrální hustoty šumového výkonu. Odpovídající filtr účinně přizpůsobí signál maximální pravděpodobnosti hlučným datům a použije výsledný poměr pravděpodobnosti jako statistiku detekce.

Odpovídající filtr lze zobecnit na analogický postup založený na Studentově distribuci také zvážením nejistoty (např. Nejistoty odhadu ) v šumovém spektru. Po technické stránce to znamená opakované nebo iterativní přizpůsobené filtrování.

Odhad spektra

Whittleho pravděpodobnost je také použitelná pro odhad šumového spektra , a to buď samostatně, nebo ve spojení s parametry signálu.

Viz také

• Barevný šum
• Diskrétní Fourierova transformace
• Funkce pravděpodobnosti
• Odpovídající filtr
• Výkonová spektrální hustota
• Statistické zpracování signálu
• Vážené nejméně čtverce

Reference