Axe – Kochenova věta - Ax–Kochen theorem

Ax-Kochen Věta , pojmenovaný pro Jamese Axe a Simon B. Kochen uvádí, že pro každé kladné celé číslo d je konečná množina Y _d prvočísel znamená, že pokud p je jakékoliv prime není Y _d pak každý homogenní polynom stupeň d nad p-adickými čísly v alespoň d ² +1 proměnných má netriviální nulu.

Důkaz věty

Důkaz věty rozsáhle využívá metod z matematické logiky , jako je teorie modelů .

Jeden nejprve dokazuje teorém Serge Langa , který uvádí, že analogická věta platí pro pole F _p (( t )) formální Laurentovy řady přes konečné pole F _p s . Jinými slovy, každý homogenní polynom stupně d s více než d ² proměnných má netriviální nula (tak F _p (( t )) je C ₂ pole ). ${\ displaystyle Y_ {d} = \ varnothing}$

Pak jeden ukazuje, že pokud dvě Henselianova oceňovaná pole mají ekvivalentní hodnotové skupiny a reziduální pole a reziduální pole mají charakteristiku 0, pak jsou elementárně ekvivalentní (což znamená, že věta prvního řádu platí pro jedno právě tehdy, pokud platí pro jiný).

Další to aplikuje na dvě pole, jedno dané ultraproduktem nad všemi prvočísly polí F _p (( t )) a druhé dané ultraproduktem nad všemi prvočísly p -adických polí Q _p . Obě pole reziduí jsou dána ultraproduktem nad poli F _p , takže jsou izomorfní a mají charakteristiku 0 a obě hodnotové skupiny jsou stejné, takže ultraprodukty jsou elementárně ekvivalentní. (Užívání ultraproduktů se používá k vynucení zbytkového pole, které má charakteristiku 0; zbytková pole F _p (( t )) a Q _p mají nenulovou charakteristiku p .)

Elementární ekvivalence těchto ultraproduktů znamená, že pro jakoukoli větu v jazyce hodnotných polí existuje konečná množina Y výjimečných prvočísel, takže pro jakékoli p, které není v této sadě, platí věta pro F _p (( t )), pokud a to pouze v případě, že platí pro pole p -adických čísel. Aplikujeme to na větu o tom, že každý nekonstantní homogenní polynom stupně d v minimálně d ² +1 proměnných představuje 0 a pomocí Langovy věty získá věta Ax – Kochen.

Alternativní důkaz

Jan Denef našel čistě geometrický důkaz pro domněnku Jean-Louis Colliot-Thélène, která zobecňuje teorém Ax – Kochen.

Výjimečné prvočísla

Emil Artin předpokládal tuto větu s tím, že konečná výjimečná množina Y _d je prázdná (to znamená, že všechna p -adická pole jsou C ₂ ), ale Guy Terjanian našel následující 2-adický protiklad pro d = 4. Definovat

G ( x ) = G ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = Σ x _i ⁴ - Σ _{i < j} x _i ² x _j ² - x ₁ x ₂ x ₃ ( x ₁ + x ₂ + x ₃ ).

Pak G má vlastnost, že je to 1 mod 4, pokud je nějaké x liché, a 0 mod 16 jinak. Z toho snadno vyplývá, že jde o homogenní formu

G ( x ) + G ( y ) + G ( z ) + 4 G ( u ) + 4 G ( v ) + 4 G ( w )

stupně d = 4 v 18> d ² proměnných nemá netriviální nuly nad 2-adickými celými čísly.

Později Terjanian ukázal, že pro každé prvočíslo p a vícenásobné d > 2 p ( p −1) existuje forma nad p -adickými čísly stupně d s více než d ² proměnnými, ale bez netriviálních nul. Jinými slovy, pro všechna d > 2 obsahuje Y _d všechna prvočísla p tak, že p ( p −1) rozděluje d .

Brown (1978) dal výslovný, ale velmi velký směr k výjimečné sadě prvočísel str . Pokud je stupeň d 1, 2 nebo 3, výjimečná množina je prázdná. Heath-Brown (2010) ukázal, že pokud d = 5 je výjimečná množina omezena 13, a Wooley (2008) ukázal, že pro d = 7 je výjimečná množina omezena 883 a pro d = 11 je omezena 8053.

Viz také

• Brauerova věta o formách
• kvazi-algebraické uzavření

Poznámky

Reference

• Brown, Scott Shorey (1978), „Hranice principů přenosu pro algebraicky uzavřená a úplná diskrétně oceňovaná pole“ , Memoirs of the American Mathematical Society , 15 (204), doi : 10,1090 / memo / 0204 , ISBN  978-0-8218- 2204-3 , ISSN  0065-9266 , MR  0494980
• Chang, CC; Keisler, H. Jerome (1989). Teorie modelu (třetí vydání). Elsevier . ISBN  978-0-7204-0692-4 . (Dodatek 5.4.19)
• Heath-Brown, DR (2010), „Nuly p-adických forem“, Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 100 (2): 560–584, arXiv : 0805,0534 , doi : 10,1112 / plms / pdp043 , ISSN  0024-6115 , MR  2595750
• Wooley, Trevor D. (2008), „Artinova domněnka pro septické a unidekické formy“, Acta Arithmetica , 133 (1): 25–35, Bibcode : 2008AcAri.133 ... 25W , doi : 10,4064 / aa133-1-2 , ISSN  0065-1036 , MR  2413363