Série Laurent - Laurent series

Laurentova řada je definována s ohledem na konkrétní bod c a cestu integrace γ. Cesta integrace musí ležet v mezikruží, které je zde označeno červenou barvou, uvnitř které je f ( z ) holomorfní ( analytické ).

V matematice je Laurentova řada komplexní funkce f ( z ) reprezentací této funkce jako mocenské řady, která zahrnuje termíny záporného stupně. Lze jej použít k vyjádření složitých funkcí v případech, kdy nelze použít rozšíření řady Taylor . Série Laurent byla pojmenována po a poprvé publikována Pierrem Alphonse Laurentem v roce 1843. Karl Weierstrass ji možná poprvé objevil v článku napsaném v roce 1841, ale vyšel až po jeho smrti.

Laurentova řada pro komplexní funkci f ( z ) o bodě c je dána vztahem

{\ Displaystyle f (z) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} a_ {n} (zc)^{n},}

kde a _n a c jsou konstanty, přičemž a _{n je} definováno liniovým integrálem, který generalizuje Cauchyův integrální vzorec :

{\ Displaystyle a_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ mast _ {\ gamma} {\ frac {f (z)} {(zc)^{n+1}}} \ , dz.}

Cesta integrace je proti směru hodinových ručiček kolem jordánské křivky uzavírající c a ležící v mezikruží A, ve kterém je holomorfní (analytické). Rozšíření pro pak bude platit kdekoli uvnitř mezikruží. Prstenec je na obrázku vpravo zobrazen červeně spolu s příkladem označené vhodné cesty integrace . Když to vezmeme jako kruh , kde , tak to prostě znamená výpočet komplexních Fourierových koeficientů omezení na . Skutečnost, že tyto integrály se nezmění deformací obrysu, je bezprostředním důsledkem Greenovy věty . ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle | zc | = \ varrho}$ ${\ Displaystyle r <\ varrho <R}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle \ gamma}$

Lze také získat Laurentovu řadu pro komplexní funkci f ( z ) at . Je to však stejné jako kdy (viz příklad níže). ${\ Displaystyle z = \ infty}$ ${\ displaystyle R \ rightarrow \ infty}$

V praxi výše uvedený integrální vzorec nemusí nabízet nejpraktičtější metodu pro výpočet koeficientů pro danou funkci ; místo toho se často spojuje řada Laurentů kombinací známých Taylorových expanzí. Protože Laurentova expanze funkce je jedinečná, kdykoli existuje, jakékoli vyjádření této formy, které se ve skutečnosti rovná dané funkci v nějakém prstenci, musí ve skutečnosti být Laurentovým rozšířením . ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle f (z)}$

Konvergentní Laurentova série

e ^{−1/ x ²} a Laurentovy aproximace: klíč najdete v textu. Jak stoupá záporný stupeň řady Laurent, přibližuje se správné funkci.

e ^{−1/ x ²} a jeho Laurentovy aproximace se stoupajícím záporným stupněm. Sousedství kolem nulové singularity nelze nikdy aproximovat.

Laurentovy řady se složitými koeficienty jsou důležitým nástrojem v komplexní analýze , zejména pro zkoumání chování funkcí v blízkosti singularit .

Zvažte například funkci s . Jako skutečná funkce je všude nekonečně odlišitelná; jako komplexní funkce však není diferencovatelná při x = 0 . Nahrazením x s -1 / x ² v elektrické sérii pro exponenciální funkce , získáme jeho série Laurent které konverguje a je rovna f ( x ), pro všechna komplexní čísla Ix výjimkou singularity x = 0 . Opačný graf ukazuje e ^−1/^x^² černě a jeho Laurentovy aproximace ${\ Displaystyle f (x) = e^{-1/x^{2}}}$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0}^{N} (-1)^{n} \, {x^{-2n} \ over n!}}

pro N = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 a 50 . Jako N → ∞ se aproximace stane přesnou pro všechna (komplexní) čísla x kromě singularity x = 0.

Obecněji lze Laurentovu řadu použít k vyjádření holomorfních funkcí definovaných na mezikruží , podobně jako se mocninové řady používají k vyjádření holomorfních funkcí definovaných na disku .

Předpokládat

{\ Displaystyle \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} a_ {n} (zc)^{n}}

je daná Laurentova řada se složitými koeficienty a _n a komplexním středem c . Pak existuje jedinečný vnitřní poloměr r a vnější poloměr R takový, že:

Série Laurent konverguje k otevřenému prstenci A ≡ { z : r <| z - c | < R } . Chcete -li říci, že Laurentova řada konverguje, myslíme tím, že se jak výkonové řady kladného stupně, tak výkonové řady záporného stupně sbíhají. Kromě toho bude tato konvergence u kompaktních sad jednotná . Nakonec konvergentní řada definuje holomorfní funkci f ( z ) na otevřeném mezikruží.
Mimo prstenec se Laurentova řada rozchází. To znamená, že v každém bodě na vnější části A , kladné stupeň výkonu řady nebo rozchází síla série negativní stupňů.
Na hranici mezikruží nelze učinit obecné prohlášení, kromě tvrzení, že na vnitřní hranici je alespoň jeden bod a na vnější hranici jeden bod tak, že do těchto bodů nelze holomorfně pokračovat f ( z ).

Je možné, že r může být nula nebo R může být nekonečné; Na druhém extrému, že to není nutně pravda, že r je menší než R . Tyto poloměry lze vypočítat následujícím způsobem:

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} r & = \ limsup _ {n \ to \ infty} | a _ {-n} |^{\ frac {1} {n}}, \\ {1 \ over R} & = \ limsup _ {n \ to \ infty} | a_ {n} |^{\ frac {1} {n}}. \ end {aligned}}}

Vezmeme R jako nekonečný, když je tento poslední lim sup nulový.

A naopak, pokud začneme prstencem tvaru A ≡ { z : r <| z - c | < R } a holomorfní funkce f ( z ) definovaná na A , pak vždy existuje jedinečná Laurentova řada se středem c, která konverguje (alespoň) na A a představuje funkci f ( z ).

Jako příklad zvažte následující racionální funkci spolu s částečným rozšířením zlomku :

{\ Displaystyle f (z) = {\ frac {1} {(z-1) (z-2i)}}} = {\ frac {1+2i} {5}} \ left ({\ frac {1} { z-1}}-{\ frac {1} {z-2i}} \ vpravo).}

Tato funkce má singularity na Z = 1 a Z = 2 i , kde jmenovatel výrazu je nula a výraz je tedy definována. Taylorovy řady o Z = 0 (který se získá energie řada) se pouze se sbíhají na disku o poloměru 1, protože to „hitů“ výstřednost na 1.

Existují však tři možná Laurentova rozšíření o 0, v závislosti na poloměru z :

Jedna řada je definována na vnitřním disku, kde | z | <1; je to stejné jako Taylorova série, ${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {1+2i} {5}} \ sum _ {n = 0}^{\ infty} \ left ({\ frac {1} {(2i)^{n+ 1}}}-1 \ vpravo) z^{n}.}$ To vyplývá z částečného frakce formě funkce, spolu s vzorce pro součtu geometrické řadě , pro . ${\ textstyle {\ frac {1} {za}} =-{\ frac {1} {a}} \ sum _ {n = 0}^{\ infty} \ left ({\ tfrac {z} {a} } \ right)^{n}}$ ${\ Displaystyle | z | <| a |}$
Druhá řada je definována na prostředním prstenci, kde 1 <| z | je zachycen mezi dvěma singularitami: ${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {1+2i} {5}} \ left (\ sum _ {n = 1}^{\ infty} z^{-n}+\ sum _ {n = 0 }^{\ infty} {\ frac {1} {(2i)^{n+1}}} z^{n} \ right).}$ Zde používáme alternativní formu součtu geometrických řad, pro . ${\ textstyle {\ frac {1} {za}} = {\ frac {1} {z}} \ sum _ {n = 0}^{\ infty} \ left ({\ frac {a} {z}} \ right)^{n}}$ ${\ displaystyle | a | <| z |}$
Třetí řada je definována na nekonečném vnějším prstenci, kde 2 <| z | <∞ , (což je také Laurentovo rozšíření na ) ${\ Displaystyle z = \ infty}$ ${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {1+2i} {5}} \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ left (1- (2i)^{n-1} \ right) z^{-n}.}$ Tuto řadu lze odvodit pomocí geometrických řad jako dříve nebo provedením polynomiálního dlouhého dělení 1 na ( x - 1) ( x - 2i) , přičemž se nezastaví se zbytkem, ale pokračuje do výrazů x ^{- n} ; skutečně „vnější“ Laurentova řada racionální funkce je analogická desítkové formě zlomku. (Rozšíření „vnitřní“ Taylorovy řady lze získat podobně, jen obrácením pořadí termínů v algoritmu dělení.)

Případ r = 0; tj. holomorfní funkce f ( z ), která může být v jednom bodě c nedefinována , je obzvláště důležitá. Koeficient _-1 o Laurent rozšíření takové funkce se nazývá zbytek z f ( z ) na singularity c ; hraje významnou roli ve zbytkové větě . Jako příklad toho zvažte

{\ Displaystyle f (z) = {e^{z} \ over z}+e^{{1}/{z}}.}

Tato funkce je holomorfní všude kromě z = 0.

K určení Laurentovy expanze o c = 0 použijeme naše znalosti Taylorovy řady exponenciální funkce :

{\ Displaystyle f (z) = \ cdots +\ left ({1 \ over 3!} \ right) z^{-3} +\ left ({1 \ over 2!} \ right) z^{-2} +2z^{-1} +2+ \ left ({1 \ over 2!} \ Right) z+\ left ({1 \ over 3!} \ Right) z^{2}+\ left ({1 \ over 4!} \ Right) z^{3}+\ cdots.}

Zjistili jsme, že zbytek je 2.

Jeden příklad pro rozšíření o : ${\ Displaystyle z = \ infty}$

{\ Displaystyle f (z) = {\ sqrt {1+z^{2}}}-z = z \ left ({\ sqrt {1+{\ frac {1} {z^{2}}}}} -1 \ right) = z \ left ({\ frac {1} {2z^{2}}}-{\ frac {1} {8z^{4}}}+{\ frac {1} {16z^{ 6}}}-\ cdots \ right) = {\ frac {1} {2z}}-{\ frac {1} {8z^{3}}}+{\ frac {1} {16z^{5}} }-\ cdots.}

Jedinečnost

Předpokládejme funkci f ( z ) holomorfní na mezikruží r <| z - c | < R má dvě řady Laurent:

{\ Displaystyle f (z) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} a_ {n} (zc)^{n} = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} b_ {n} (zc)^{n}.}

Vynásobte obě strany vztahem , kde k je libovolné celé číslo, a integrujte jej na dráze γ uvnitř mezikruží, ${\ Displaystyle (zc)^{-k-1}}$

{\ Displaystyle \ mast _ {\ gamma} \, \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} a_ {n} (zc)^{nk-1} \, dz = \ mast _ {\ gamma } \, \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} b_ {n} (zc)^{nk-1} \, dz.}

Série konverguje rovnoměrně na , kde ε je kladné číslo dostatečně malé na to, aby γ bylo obsaženo ve zúženém uzavřeném prstenci, takže integraci a součet lze zaměňovat. Nahrazení identity ${\ Displaystyle r+\ varepsilon \ leq | zc | \ leq R- \ varepsilon}$

{\ Displaystyle \ mast _ {\ gamma} \, (zc)^{nk-1} \, dz = 2 \ pi i \ delta _ {nk}}

do výnosů součtu

{\ Displaystyle a_ {k} = b_ {k}.}

Série Laurent je proto jedinečná.

Laurentovy polynomy

Laurent polynom je série Laurent, ve které tak konečně mnohé koeficienty jsou nenulové. Laurent polynomy se liší od obyčejných polynomů v tom, že mohou mít podmínky negativního stupně.

Hlavní část

Hlavní část série Laurent je řada podmínek s negativní míry, že je

{\ Displaystyle \ sum _ {k =-\ infty}^{-1} a_ {k} (zc)^{k}.}

Jestliže hlavní část f je konečný součet, pak f má pól v c řádu rovný (zápornému) stupni nejvyššího členu; na druhou stranu, pokud f má esenciální singularitu na c , hlavní část je nekonečný součet (což znamená, že má nekonečně mnoho nenulových výrazů).

Je -li vnitřní poloměr konvergence Laurentovy řady pro f 0, pak f má podstatnou singularitu na c právě tehdy, je -li hlavní část nekonečný součet, a jinak má pól.

Pokud je vnitřní poloměr konvergence kladný, f může mít nekonečně mnoho záporných výrazů, ale stále bude pravidelný v c , jako v příkladu výše, v takovém případě je reprezentován jinou Laurentovou řadou na disku o c .

Laurentovy řady pouze s konečným počtem negativních výrazů se chovají slušně-jsou to mocenské řady dělené a lze je analyzovat podobně-zatímco Laurentovy řady s nekonečně mnoha negativními termíny mají komplikované chování ve vnitřním kruhu konvergence. ${\ displaystyle z^{k}}$

Násobení a součet

Laurentovy řady nelze obecně znásobit. Algebraicky může výraz pro podmínky produktu zahrnovat nekonečné částky, které nemusí konvergovat (nelze vzít konvoluci celočíselných sekvencí). Geometricky mohou mít dvě Laurentovy řady nepřekrývající se ročenky konvergence.

Lze vynásobit dvě Laurentovy řady pouze s konečným počtem záporných výrazů: algebraicky jsou všechny částky konečné; geometricky mají tyto póly na c a vnitřní poloměr konvergence 0, takže se oba sbíhají na překrývajícím se mezikruží.

Při definování formální Laurentovy řady je tedy zapotřebí Laurentova řada s konečným počtem negativních výrazů.

Podobně součet dvou konvergentních Laurentových řad nemusí konvergovat, i když je vždy definován formálně, ale součet dvou ohraničených pod Laurentovou řadou (nebo libovolnou Laurentovou řadou na propíchnutém disku) má neprázdné mezikruží konvergence.

Také pro pole , součet a násobení definované výše, formální Laurent série se vytvoří pole , které je také pole frakcí prstence z formálního elektrické sérii . ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F ((x))}$ ${\ Displaystyle F [[x]]}$

Viz také

Série Puiseux
Mittag-Lefflerova věta
Formální Laurentova řada - Laurentova řada uvažovaná formálně , s koeficienty z libovolného komutativního kruhu , bez ohledu na konvergenci, a pouze s konečným počtem negativních výrazů, takže násobení je vždy definováno.
Z-transformace -speciální případ, kdy je Laurentova řada považována za nulovou, má velké využití při analýze časových řad.
Fourierova řada - substituce transformuje Laurentovu řadu na Fourierovu řadu, nebo naopak. To se používá v Q expanzi -series v j -invariant . ${\ Displaystyle z = e^{\ pi iw}}$
Padé zhruba - Další technika používaná v případě, že Taylorova řada není životaschopná.

Reference

externí odkazy

„Laurentova série“ , Encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Laurentova série“ , MacTutor Dějiny archivu matematiky , University of St Andrews
Weisstein, Eric W. „Série Laurent“ . MathWorld .
Sady Laurent a Mandelbrot od Roberta Munafo

Languages

In other projects