Binomický (polynom) - Binomial (polynomial)

V algebře , je binomické je polynom , který je součtem dvou členů, z nichž každá je monomial . Po monomiích je to nejjednodušší druh řídkého polynomu .

Definice

Binomický je polynom, který je součtem dvou monomiálů . Binomie v jednom neurčitém (také známém jako univariační binomie) lze zapsat ve tvaru

${\ Displaystyle ax^{m} -bx^{n} \ ,,}$

kde a a b jsou čísla , a m a n jsou odlišná nezáporná celá čísla a x je symbol, který se nazývá neurčitý nebo z historických důvodů proměnná . V souvislosti s Laurent polynomů , je Laurent binomické , často jednoduše nazýván binomické , je podobně definován, ale exponenty m a n může být negativní.

Obecněji lze binomii zapsat jako:

${\ Displaystyle ax_ {1}^{n_ {1}} \ dotsb x_ {i}^{n_ {i}}-bx_ {1}^{m_ {1}} \ dotsb x_ {i}^{m_ {i }}}$

Příklady

${\ displaystyle 3x-2x^{2}}$

${\ displaystyle xy+yx^{2}}$

${\ Displaystyle 0,9x^{3}+\ pi y^{2}}$

${\ displaystyle 2x^{3} +7}$

Operace na jednoduchých binomiích

• Binomické x ² - y ² lze započítat jako součin dvou dalších binomických čísel:

${\ Displaystyle x^{2} -y^{2} = (xy) (x+y).}$

Toto je zvláštní případ obecnějšího vzorce:

${\ Displaystyle x^{n+1} -y^{n+1} = (xy) \ sum _ {k = 0}^{n} x^{k} \, y^{nk}.}$

Při práci na komplexních číslech to lze také rozšířit na:

${\ Displaystyle x^{2}+y^{2} = x^{2}-(iy)^{2} = (x-iy) (x+iy).}$

• Součin dvojice lineárních binomií ( ax + b ) a ( cx + d ) je trinomiální :

${\ Displaystyle (ax+b) (cx+d) = acx^{2}+(ad+bc) x+bd.}$

• Binomiál zvýšený na n ^-tou mocninu , znázorněný jako ( x + y ) ^n, lze rozšířit pomocí binomické věty nebo ekvivalentně pomocí Pascalova trojúhelníku . Například čtverec ( x + y ) ² dvojčlenu ( x + y ) se rovná součtu druhých mocnin obou výrazů a dvojnásobku součinu výrazů, to znamená:

${\ Displaystyle (x+y)^{2} = x^{2}+2xy+y^{2}.}$

Čísla (1, 2, 1), která se objevují jako multiplikátory pro termíny v této expanzi, jsou binomické koeficienty o dva řádky níže od vrcholu Pascalova trojúhelníku. Rozšiřování n ^-té mocniny využívá čísla n řádků dolů od horní části trojúhelníku.

• Aplikace výše uvedeného vzorce pro druhou mocninu binomického výrazu je " ( m, n ) -formula" pro generování Pythagorových trojic :

Pro m <n nechť a = n ² - m ² , b = 2 mn , a c = n ² + m ² ; pak a ² + b ² = c ² .

• Binomie, které jsou součty nebo rozdíly kostek, mohou být zahrnuty do polynomů nižšího řádu následovně:

${\ Displaystyle x^{3}+y^{3} = (x+y) (x^{2} -xy+y^{2})}$

${\ Displaystyle x^{3} -y^{3} = (xy) (x^{2}+xy+y^{2})}$

Viz také

• Dokončení náměstí
• Binomická distribuce
• Seznam faktoriálních a binomických témat (který obsahuje velké množství souvisejících odkazů)

Poznámky

Reference

• Bostock, L .; Chandler, S. (1978). Čistá matematika 1 . Oxford University Press . p. 36. ISBN 0-85950-092-6.