Biortogonální systém - Biorthogonal system

V matematice je biortogonální systém dvojicí indexovaných rodin vektorů

${\ displaystyle {\ tilde {v}} _ {i}}$v E a v F${\ displaystyle {\ tilde {u}} _ {i}}$

takhle

${\ displaystyle \ left \ langle {\ tilde {v}} _ {i}, {\ tilde {u}} _ {j} \ right \ rangle = \ delta _ {i, j},}$

kde E a F tvoří dvojici topologických vektorových prostorů, které jsou v dualitě , ⟨·, ·⟩ je bilineární mapování a je Kroneckerova delta . ${\ displaystyle \ delta _ {i, j}}$

Příkladem je dvojice sad příslušného levého a pravého vlastního vektoru matice, indexovaných vlastním číslem , pokud jsou vlastní čísla odlišná.

Biortogonální systém, ve kterém E = F a je ortonormální systém . ${\ displaystyle {\ tilde {v}} _ {i} = {\ tilde {u}} _ {i}}$

Projekce

S biortogonálním systémem souvisí projekce

${\ displaystyle P: = \ sum _ {i \ in I} {\ tilda {u}} _ {i} \ otimes {\ tilde {v}} _ {i}}$,

kde ; jeho obraz je lineární obal of a jádro je . ${\ displaystyle \ left (u \ otimes v \ right) (x): = u \ langle v, x \ rangle}$${\ displaystyle \ left \ {{\ tilde {u}} _ {i}: i \ in I \ right \}}$${\ displaystyle \ left \ {\ left \ langle {\ tilde {v}} _ {i}, \ cdot \ right \ rangle = 0: i \ in I \ right \}}$

Konstrukce

Vzhledem k možné neortogonální sadě vektorů a související projekce je ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {i})}$${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ doleva (v_ {i} \ doprava)}$

${\ displaystyle P = \ součet _ {i, j} u_ {i} \ vlevo (\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle ^ {- 1} \ vpravo) _ {j, i} \ další v_ {j}}$,

kde je matice s položkami . ${\ displaystyle \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle}$${\ displaystyle \ left (\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle \ right) _ {i, j} = \ left \ langle v_ {i}, u_ {j} \ right \ rangle}$

• ${\ displaystyle {\ tilde {u}} _ {i}: = (IP) u_ {i}}$, a pak je to biortogonální systém.${\ displaystyle {\ tilde {v}} _ {i}: = \ left (IP \ right) ^ {*} v_ {i}}$

Viz také

• Duální základ
• Duální prostor
• Dvojitý pár
• Ortogonalita
• Ortogonalizace

Reference

• Jean Dieudonné, O biortogonálních systémech Michigan Math. J. 2 (1953), č. 2 1, 7–20 [1]