Narozená tuhost - Born rigidity

Born rigidity je pojem ve speciální relativitě . Je to jedna odpověď na otázku, co ve speciální relativitě odpovídá tuhému tělu nerelativistické klasické mechaniky .

Koncept představil Max Born (1909), který podrobně popsal případ konstantní správné akcelerace, kterou nazval hyperbolický pohyb . Když se následující autoři, jako Paul Ehrenfest (1909) pokusili začlenit také rotační pohyby, vyšlo najevo, že Bornova rigidita je velmi omezující pocit rigidity, což vede k teorému Herglotz – Noether , podle které existují přísná omezení rotačního Born tuhé pohyby. Byl formulován Gustavem Herglotzem (1909, který klasifikoval všechny formy rotačních pohybů) a méně obecně Fritzem Noetherem (1909). Výsledkem je, že Born (1910) a další uvedli alternativní, méně omezující definice tuhosti.

Definice

Narozená tuhost je splněna, pokud je ortogonální časoprostorová vzdálenost mezi nekonečně oddělenými křivkami nebo světovými liniemi konstantní nebo ekvivalentně, pokud je délka tuhého tělesa v okamžitých souběžných setrvačných rámech měřených standardními měřicími tyčemi (tj. Správná délka ) konstantní a je proto vystaven Lorentzově kontrakci v relativně pohyblivých rámcích. Narozená tuhost je omezení pohybu prodlouženého těla, kterého je dosaženo pečlivým působením sil na různé části těla. Tělo tuhé samo o sobě by porušilo speciální relativitu, protože jeho rychlost zvuku by byla nekonečná.

Klasifikaci všech možných Bornových rigidních pohybů lze získat pomocí věty Herglotz – Noether. Tato věta říká, že všechny irrotační Born rigidní pohyby ( třída A ) se skládají z hyperplánů rigidně pohybujících se časoprostorem, zatímco jakýkoli rotační Born rigidní pohyb ( třída B ) musí být izometrické Killing pohyby. To znamená, že tuhé tělo Born má pouze tři stupně volnosti . Tělo tedy může být přivedeno Bornovým rigidním způsobem z klidu do jakéhokoli translačního pohybu, ale nemůže být přeneseno Bornovým rigidním způsobem z klidu do rotačního pohybu.

Stresy a Bornova tuhost

Herglotz (1911) ukázal, že relativistická teorie pružnosti může být založena na předpokladu, že při porušení podmínky Bornovy tuhosti vznikají napětí.

Příkladem prolomení Bornovy tuhosti je paradox Ehrenfestu : I když stav rovnoměrného kruhového pohybu těla patří mezi povolené Bornovy tuhé pohyby třídy B , tělo nelze přivést z jiného stavu pohybu do rovnoměrného kruhového pohybu, aniž by došlo k rozbití stav Bornovy tuhosti během fáze, ve které tělo prochází různými zrychleními. Pokud ale tato fáze skončí a dostředivé zrychlení se stane konstantní, tělo se může rovnoměrně otáčet v souladu s Bornovou tuhostí. Stejně tak, pokud je nyní v rovnoměrném kruhovém pohybu, nelze tento stav změnit, aniž by se znovu porušila Bornova tuhost těla.

Dalším příkladem je Bellův paradox kosmické lodi : Pokud jsou koncové body těla zrychleny s konstantními správnými zrychleními v přímém směru, pak musí mít přední koncový bod nižší vlastní zrychlení, aby byla zachována konstantní správná délka, aby byla Bornova tuhost uspokojena. Bude také vykazovat rostoucí Lorentzovu kontrakci ve vnějším setrvačném rámci, to znamená, že ve vnějším rámci koncové body těla nezrychlují současně. Pokud je však zvolen jiný profil zrychlení, kterým se koncové body těla současně zrychlují se stejným správným zrychlením, jaké je vidět ve vnějším setrvačném rámu, jeho tuhost Born bude porušena, protože konstantní délka ve vnějším rámci znamená zvýšení správné délky v skládací rámec kvůli relativitě simultánnosti. V tomto případě křehké vlákno rozložené mezi dvěma raketami zažije napětí (která se nazývají napětí Herglotz – Dewan – Beran) a následně se zlomí.

Narozené tuhé pohyby

Klasifikaci povolených, zejména rotačních, Born rigidních pohybů v plochém Minkowského časoprostoru podal Herglotz, který studovali také Friedrich Kottler (1912, 1914), Georges Lemaître (1924), Adriaan Fokker (1940), George Salzmann & Abraham H. Taub (1954). Herglotz zdůraznit, že kontinuum se pohybuje jako tuhé těleso, kdy svět linie jeho body jsou stejně vzdálené křivky v . Výsledné světové linie lze rozdělit do dvou tříd: ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {4}}$

Třída A: Irrotační pohyby

Herglotz definoval tuto třídu ve smyslu ekvidistantních křivek, které jsou ortogonálními trajektoriemi rodiny hyperplánů , které lze také považovat za řešení Riccatiho rovnice (toto bylo nazýváno „rovinným pohybem“ společností Salzmann & Taub nebo „irrotační rigidním pohybem“) Boyer). Došel k závěru, že pohyb takového tělesa je zcela určen pohybem jednoho z jeho bodů.

Obecnou metriku pro tyto irrotační pohyby uvedl Herglotz, jehož práci shrnul zjednodušený zápis Lemaître (1924). Také „ Fermiho metrika ve formě, kterou dal Christian Møller (1952) pro tuhé rámce s libovolným pohybem původu, byla identifikována jako„ nejobecnější metrika pro irrotační tuhý pohyb ve speciální relativitě “. Obecně se ukázalo, že irrotační Bornův pohyb odpovídá těm Fermiho kongruencím, u nichž lze jako základní linii použít jakoukoli světovou linii (homogenní Fermiho kongruence).

Herglotz 1909	${\ displaystyle ds ^ {2} = da ^ {2} + \ varphi (db, dc) - \ Theta ^ {2} d \ vartheta ^ {2}}$
Lemaître 1924	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & ds ^ {2} = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} + \ phi ^ {2} dt ^ {2} \\ & \ quad \ left (\ phi = lx + my + nz + p \ right) \ end {zarovnáno}}}$
Møller 1952	${\ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2} \ left [1 + {\ frac {g _ {\ kappa } x ^ {\ kappa}} {c ^ {2}}} \ vpravo] ^ {2}}$

Již Born (1909) poukázal na to, že tuhé těleso v translačním pohybu má maximální prostorové prodloužení v závislosti na jeho zrychlení, daném vztahem , kde je správné zrychlení a je poloměr koule, ve které je těleso umístěno, tedy čím vyšší je správné zrychlení, tím menší je maximální prodloužení tuhé karoserie. Zvláštní případ translačního pohybu s konstantním správným zrychlením je známý jako hyperbolický pohyb , se světovou linií ${\ displaystyle b <c ^ {2} / R}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle R}$

Narozen 1909	${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} & x = -q \ xi, \ quad y = \ eta, \ quad z = \ zeta, \ quad t = {\ frac {p} {c ^ {2}}} \ xi \\ & \ quad \ left (p = {\ frac {dx} {d \ tau}}, \ quad q = - {\ frac {dt} {d \ tau}} = {\ sqrt {1 + p ^ { 2} / c ^ {2}}} \ vpravo) \ end {zarovnáno}}}$
Herglotz 1909	${\ displaystyle x = x ', \ quad y = y', \ quad tz = (t'-z ') e ^ {\ vartheta}, \ quad t + z = (t' + z ') e ^ {- \ vartheta}}$ ${\ displaystyle x = x_ {0}, \ quad y = y_ {0}, \ quad z = {\ sqrt {z_ {0} ^ {2} + t ^ {2}}}}$
Sommerfeld 1910	${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} & x = r \ cos \ varphi, \ quad y = y ', \ quad z = z', \ quad l = r \ sin \ varphi \\ & \ quad \ left (l = ict, \ quad \ varphi = i \ psi \ right) \ end {zarovnáno}}}$
Kottler 1912, 1914	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)}, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2)}, \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {(4)} = b \ sin iu \\ & ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = b ^ {2} (du) ^ {2} \ end {zarovnáno}}}$ ${\ displaystyle x = x_ {0}, \ quad y = y_ {0}, \ quad z = b \ cosh u, \ quad ct = b \ sinh u}$

Třída B: Rotační izometrické pohyby

Herglotz definoval tuto třídu pomocí ekvidistantních křivek, které jsou trajektoriemi jednoparametrické pohybové skupiny (toto bylo nazýváno „skupinovým pohybem“ od Salzmanna a Tauba a bylo identifikováno izometrickým Killingovým pohybem od Felixe Piraniho a Garetha Williamse (1962)). Poukázal na to, že se skládají ze světových linií, jejichž tři zakřivení jsou konstantní (známé jako zakřivení , kroucení a hypertorze) a tvoří šroubovici . Světové linie konstantních zakřivení v plochém časoprostoru studovaly také Kottler (1912), Petrův (1964), John Lighton Synge (1967, který je nazýval časově podobné helice v plochém časoprostoru) nebo Letaw (1981, který je nazval stacionární světovými linkami) jako řešení vzorců Frenet – Serret .

Herglotz dále oddělil třídu B pomocí čtyř jednoparametrických skupin Lorentzových transformací (loxodromní, eliptické, hyperbolické, parabolické) analogicky k hyperbolickým pohybům (tj. Izometrické automorfismy hyperbolického prostoru) a poukázal na to, že Bornův hyperbolický pohyb (který vyplývá z hyperbolická skupina s v zápisu Herglotze a Kottlera, v zápisu Lemaître, v zápisu Synge; viz následující tabulka) je jediným rigidním pohybem Born, který patří do obou tříd A i B. ${\ displaystyle \ alpha = 0}$${\ displaystyle \ lambda = 0}$${\ displaystyle q = 0}$

Loxodromická skupina (kombinace hyperbolického pohybu a rovnoměrné rotace)
Herglotz 1909	${\ Displaystyle x + iy = (x '+ iy') e ^ {i \ lambda \ vartheta}, \ quad x-iy = (x'-iy ') e ^ {- i \ lambda \ vartheta}, \ quad tz = (t'-z ') e ^ {\ vartheta}, \ quad t + z = (t' + z ') e ^ {- \ vartheta}}$
Kottler 1912, 1914	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & x ^ {(1)} = a \ cos \ lambda \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(2)} = a \ sin \ lambda \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {(4)} = b \ sin iu \\ & ds ^ {2} = -c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ vlevo (b ^ {2} -a ^ {2} \ lambda ^ {2} \ vpravo) (du) ^ {2} \ end {zarovnáno} }}$
Lemaître 1924	${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} & \ xi = x \ cos \ lambda ty \ sin \ lambda t, \ quad \ eta = x \ sin \ lambda t + y \ cos \ lambda t, \ quad \ zeta = z \ cosh t, \ quad \ tau = z \ sinh t \\ & ds ^ {2} = - dr ^ {2} -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -dz ^ {2} -2 \ lambda r ^ {2} d \ theta \ dt + \ left (z ^ {2} - \ lambda ^ {2} r ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {zarovnáno}}}$
Synge 1967	${\ displaystyle x = q \ omega ^ {- 1} \ sin \ omega s, \ quad y = -q \ omega ^ {- 1} \ cos \ omega s, \ quad z = r \ chi ^ {- 1} \ cosh \ chi s, \ quad t = r \ chi ^ {- 1} \ sinh \ chi s}$
Eliptická skupina (rovnoměrná rotace)
Herglotz 1909	${\ Displaystyle x + iy = (x '+ iy') e ^ {i \ vartheta}, \ quad x-iy = (x'-iy ') e ^ {- i \ vartheta}, \ quad z = z' , \ quad t = t '+ \ delta \ vartheta}$
Kottler 1912, 1914	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & x ^ {(1)} = a \ cos \ lambda \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(2)} = a \ sin \ lambda \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(3)} = x_ {0} ^ {(3)}, \ quad x ^ {(4)} = iu \\ & ds ^ { 2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ vlevo (1-a ^ {2} \ lambda ^ {2} \ vpravo) (du) ^ {2} \ end {zarovnáno}} }$
de Sitter 1916	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ theta '= \ theta - \ omega ct, \ \ left (d \ sigma ^ {\ prime 2} = dr ^ {\ prime 2} + r ^ {\ prime 2} d \ theta ^ {\ prime 2} + dz ^ {\ prime 2} \ right) \\ & ds ^ {2} = - d \ sigma ^ {\ prime 2} -2r ^ {\ prime 2} \ omega \ d \ theta 'cdt + \ left (1-r ^ {\ prime 2} \ omega ^ {2} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} \ end {zarovnáno}}}$
Lemaître 1924	${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} & \ xi = x \ cos \ lambda ty \ sin \ lambda t, \ quad \ eta = x \ sin \ lambda t + y \ cos \ lambda t, \ quad \ zeta = z , \ quad \ tau = t \\ & ds ^ {2} = - dr ^ {2} -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -dz ^ {2} -2 \ lambda r ^ {2} d \ theta \ dt + \ left (1- \ lambda ^ {2} r ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {zarovnáno}}}$
Synge 1967	${\ displaystyle x = q \ omega ^ {- 1} \ sin \ omega s, \ quad y = -q \ omega ^ {- 1} \ cos \ omega s, \ quad z = 0, \ quad t = sr}$
Hyperbolická skupina (hyperbolický pohyb plus vesmírný překlad)
Herglotz 1909	${\ displaystyle x = x '+ \ alpha \ vartheta, \ quad y = y', \ quad tz = (t'-z ') e ^ {\ vartheta}, \ quad t + z = (t' + z ' ) e ^ {- \ vartheta}}$
Kottler 1912, 1914	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)} + \ alpha u, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2 )}, \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {(4)} = b \ sin iu \\ & ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (b ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) (du) ^ {2} \ end {zarovnáno}}}$
Lemaître 1924	${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} & \ xi = x + \ lambda t, \ quad \ eta = y, \ quad \ zeta = z \ cosh t, \ quad \ tau = z \ sinh t \\ & ds ^ {2 } = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} -2 \ lambda dx \ dt + \ left (z ^ {2} - \ lambda ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {zarovnáno}}}$
Synge 1967	${\ displaystyle x = sq, \ quad y = 0, \ quad z = r \ chi ^ {- 1} \ cosh \ chi s, \ quad t = r \ chi ^ {- 1} \ sinh \ chi s}$
Parabolická skupina (popisující semikubickou parabolu )
Herglotz 1909	${\ displaystyle x = x_ {0} + {\ frac {1} {2}} \ delta \ vartheta ^ {2}, \ quad y = y_ {0} + \ beta \ vartheta, \ quad z = z_ {0 } + x_ {0} \ vartheta + {\ frac {1} {6}} \ delta \ vartheta ^ {3}, \ quad tz = \ delta \ vartheta}$
Kottler 1912, 1914	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)} + {\ frac {1} {2}} \ alpha u ^ {2}, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2)}, \ quad x ^ {(3)} = x_ {0} ^ {(3)} + x_ {0} ^ {(1)} u + { \ frac {1} {6}} \ alpha u ^ {3}, \ quad x ^ {(4)} = ix ^ {(3)} + i \ alpha u \\ & ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (\ alpha ^ {2} + 2x_ {0} ^ {(1)} \ right) (du) ^ {2} \ end {zarovnáno}}}$
Lemaître 1924	${\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ xi = x + {\ frac {1} {2}} \ lambda t ^ {2}, \ quad \ eta = y + \ mu t, \ quad \ zeta = z + xt + {\ frac {1} {6}} \ lambda t ^ {3}, \ quad \ tau = \ lambda t + z + xt + {\ frac {1} {6}} \ lambda t ^ {3} \\ & ds ^ {2} = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -2 \ mu \ dy \ dt + 2 \ lambda \ dz \ dt + \ left (2 \ lambda x + \ lambda ^ {2} - \ mu ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {aligned}}}$
Synge 1967	${\ displaystyle x = {\ frac {1} {6}} b ^ {2} s ^ {3}, \ quad y = 0, \ quad z = {\ frac {1} {2}} bs ^ {2 }, \ quad t = s + {\ frac {1} {6}} b ^ {2} s ^ {3}}$

Obecná relativita

Pokusy rozšířit koncept Bornovy tuhosti na obecnou relativitu provedli Salzmann & Taub (1954), C. Beresford Rayner (1959), Pirani & Williams (1962), Robert H. Boyer (1964). Ukázalo se, že věta Herglotz – Noether není zcela uspokojena, protože jsou možné pevné rotující rámy nebo kongruence, které nepředstavují izometrické zabíjení.

Alternativy

Několik slabších náhrad bylo také navrženo jako podmínky rigidity, například sám Noether (1909) nebo Born (1910).

Moderní alternativu poskytli Epp, Mann & McGrath. Na rozdíl od obyčejné Born rigidní kongruence skládající se z „historie množiny bodů vyplňujících prostorový objem“ obnovují šest stupňů volnosti klasické mechaniky pomocí kvazikulárního rigidního rámce definováním kongruence ve smyslu „historie množiny bodů na povrchu ohraničujících prostorový objem ".

Reference

Bibliografie

• Born, Max (1909a), „Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips“ [Překlad Wikisource: Theory of the Rigid Electron in the Kinematics of the Principle of Relativity ], Annalen der Physik , 335 (11): 1– 56, Bibcode : 1909AnP ... 335 ... 1B , doi : 10,1002 / andp.19093351102
• Born, Max (1909b), „Über die Dynamik des Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips“ [Překlad zdroje Wikisource: Ohledně dynamiky elektronů v kinematice principu relativity ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 814–817
• Born, Max (1910), „Zur Kinematik des starren Körpers im System des Relativitätsprinzips“ [Wikisource translation: On the Kinematics of the Rigid Body in the System of the Princip of Relativity ], Göttinger Nachrichten , 2 : 161–179
• Ehrenfest, Paul (1909), „Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie“  [překlad Wikisource: Uniform Rotation of Rigid Bodies and the Theory of Relativity ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 918, Bibcode : 1909PhyZ ... 10..918E
• Herglotz, Gustav (1910) [1909], „Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips jako starr zu bezeichnenden Körper“ [Překlad Wikisource: Na orgánech, které mají být označeny jako „rigidní“ z hlediska principu relativity ], Annalen der Physik , 336 (2): 393–415, Bibcode : 1910AnP ... 336..393H , doi : 10,1002 / andp.19103360208
• Herglotz, Gustav (1911), „Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie“ , Annalen der Physik , 341 (13): 493–533, Bibcode : 1911AnP ... 341..493H , doi : 10,1002 / andp. 19113411303 ; Anglický překlad David Delphenich: O mechanice deformovatelných těles z hlediska teorie relativity .
• Noether, Fritz (1910) [1909]. „Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie“ . Annalen der Physik . 336 (5): 919–944. Bibcode : 1910AnP ... 336..919N . doi : 10,1002 / andp.19103360504 .
• Sommerfeld, Arnold (1910). „Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis“ [Překlad Wikisource: O teorii relativity II: Čtyřrozměrná vektorová analýza ]. Annalen der Physik . 338 (14): 649–689. Bibcode : 1910AnP ... 338..649S . doi : 10,1002 / a 19103381402 .
• Kottler, Friedrich (1912). „Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt“ [překlad Wikisource: Na časoprostorových řádcích světa Minkowski ]. Wiener Sitzungsberichte 2a . 121 : 1659–1759. hdl : 2027 / mdp.39015051107277 .
• Kottler, Friedrich (1914a). „Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung“ . Annalen der Physik . 349 (13): 701–748. Bibcode : 1914AnP ... 349..701K . doi : 10,1002 / andp.19143491303 .
• Kottler, Friedrich (1914b). „Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips“ . Annalen der Physik . 350 (20): 481–516. Bibcode : 1914AnP ... 350..481K . doi : 10,1002 / a 19193502003 .
• De Sitter, W. (1916). „O Einsteinově gravitační teorii a jejích astronomických důsledcích. Druhý dokument“ . Měsíční oznámení Královské astronomické společnosti . 77 (2): 155–184. Bibcode : 1916MNRAS..77..155D . doi : 10,1093 / mnras / 77.2.155 .
• Pauli, Wolfgang (1921), „Die Relativitätstheorie“ , Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776

V angličtině: Pauli, W. (1981) [1921]. Teorie relativity . Základní teorie fyziky . 165 . Dover Publications. ISBN   0-486-64152-X .

• Lemaître, G. (1924), „Pohyb pevné tělesa podle principu relativity“, Philosophical Magazine , Series 6, 48 (283): 164–176, doi : 10,1080 / 14786442408634478
• Fokker, AD (1949), „O časoprostorové geometrii pohybujícího se tuhého tělesa“, Recenze moderní fyziky , 21 (3): 406–408, Bibcode : 1949RvMP ... 21..406F , doi : 10.1103 / RevModPhys.21.406
• Møller, C. (1955) [1952]. Teorie relativity . Oxford Clarendon Press.
• Salzman, G., & Taub, AH (1954), „Born-type rigid motion in relativity“, Physical Review , 95 (6): 1659–1669, Bibcode : 1954PhRv ... 95.1659S , doi : 10.1103 / PhysRev. 95,1659 CS1 maint: více jmen: seznam autorů ( odkaz )
• Rayner, CB (1959), „Le corps rigide en relativité générale“ , Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste , 2 : 1–15
• Pirani, FAE, & Williams, G. (1962), „Rigid motion in a gravitational field“ , Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste , 5 : 1–16 CS1 maint: více jmen: seznam autorů ( odkaz )
• Petrův, V. (1964). „Die Lösung der Formeln von Frenet im Falle konstanter Krümmungen“ . Aplikace Matematiky . 9 (4): 239–240.
• Boyer, RH (1965), „Rigid frames in general relativity“, Proceedings of the Royal Society of London A , 28 (1394): 343–355, Bibcode : 1965RSPSA.283..343B , doi : 10.1098 / rspa.1965.0025 , S2CID   120278621
• Synge, JL (1967) [1966]. "Timelike helices v plochém časoprostoru". Proceedings of the Royal Irish Academy, oddíl A . 65 : 27–42. JSTOR   20488646 .
• Grøn, Ø. (1981), „Covariant formulace Hookeova zákona“, American Journal of Physics , 49 (1): 28–30, Bibcode : 1981AmJPh..49 ... 28G , doi : 10,1119 / 1,12623
• Letaw, JR (1981). "Stacionární světové linky a vakuové buzení neinertiálních detektorů". Physical Review D . 23 (8): 1709–1714. Bibcode : 1981PhRvD..23.1709L . doi : 10,1103 / PhysRevD.23.1709 .
• Bel, L. (1995) [1993], „Born's group and Generalized isometries“, Relativity in General: Proceedings of the Relativity Meeting'93 , Atlantica Séguier Frontières: 47, arXiv : 1103.2509 , Bibcode : 2011arXiv1103.2509B
• Giulini, Domenico (2008). "Bohatá struktura Minkowského prostoru". Minkowski Spacetime: O sto let později . Základní teorie fyziky . 165 . Springer. p. 83. arXiv : 0802,4345 . Bibcode : 2008arXiv0802.4345G . ISBN   978-90-481-3474-8 .
• Epp, RJ, Mann, RB, & McGrath, PL (2009), „Rigid motion revisited: rigid quasilocal frames“, Classical and Quantum Gravity , 26 (3): 035015, arXiv : 0810.0072 , Bibcode : 2009CQGra..26c5015E , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 26/3/035015 , S2CID   118856653 CS1 maint: více jmen: seznam autorů ( odkaz )

externí odkazy

• Born Rigidity, Acceleration, and Inertia at mathpages.com
• Rigid Rotating Disk in Relativity in the USENET Physics FAQ