Hyperplane - Hyperplane
V geometrii je nadrovina podprostor, jehož rozměr je o jednu menší než jeho okolního prostoru . Pokud je prostor trojrozměrný, pak jeho hyperplany jsou dvourozměrné roviny , zatímco pokud je prostor dvourozměrný, jeho hyperplany jsou jednorozměrné čáry . Tuto představu lze použít v jakémkoli obecném prostoru, ve kterém je definován koncept dimenze podprostoru .
V různých nastaveních mohou mít hyperplány různé vlastnosti. Například nadrovina n -dimenzionálního afinního prostoru je plochá podmnožina s dimenzí n - 1, která odděluje prostor na dvě poloviční mezery . Zatímco nadrovina n -dimenzionálního projektivního prostoru tuto vlastnost nemá.
Rozdíl v rozměru mezi podprostoru S a jeho okolního prostoru X, je známý jako codimension z S vzhledem k X . Proto je nezbytnou podmínkou pro S být nadrovina v X je pro S mít codimension jeden v X .
Technický popis
V geometrii , je nadrovina z n rozměrné prostor V je podprostor dimenze n - 1, nebo ekvivalentně, z codimension 1, V . Prostor V může být euklidovský prostor nebo obecněji afinní prostor , nebo vektorový prostor nebo projektivní prostor , a pojem hyperplán se mění odpovídajícím způsobem, protože definice podprostoru se v těchto nastaveních liší; ve všech případech však může být jakákoli nadrovina uvedena v souřadnicích jako řešení jediné (z důvodu omezení „codimension 1“) algebraické rovnice stupně 1.
Pokud je V vektorový prostor, rozlišuje se „vektorové hyperplány“ (což jsou lineární podprostory , a proto musí procházet počátkem) a „afinní hyperplány“ (které nemusí procházet počátkem; lze je získat překladem vektoru nadrovina). Hyperplán v euklidovském prostoru odděluje tento prostor do dvou poloprostorů a definuje odraz, který opravuje nadrovinu a zaměňuje tyto dvě poloprostory.
Speciální typy hyperplánů
Je definováno několik konkrétních typů hyperplánů s vlastnostmi, které jsou vhodné pro konkrétní účely. Zde jsou popsány některé z těchto specializací.
Afinní hyperplány
Afinní nadrovina je afinní podprostor z codimension 1 v afinního prostoru . V kartézských souřadnicích lze takovou nadrovinu popsat jedinou lineární rovnicí následujícího tvaru (kde alespoň jedna z rovnic je nenulová a je libovolná konstanta):
V případě skutečného afinního prostoru, jinými slovy, když se poloha jsou reálná čísla, to afinní prostor rozděluje prostor na dvě poloprostorů, což jsou připojená zařízení z komplementu v nadrovině, a jsou dány do nerovností
a
Jako příklad lze uvést, že bod je hyperplán v 1rozměrném prostoru, čára je hyperplán v 2rozměrném prostoru a rovina je hyperplán v 3rozměrném prostoru. Čára v trojrozměrném prostoru není nadrovinou a nerozděluje prostor na dvě části (doplněk takové čáry je spojen).
Libovolná nadrovina euklidovského prostoru má přesně dva jednotkové normální vektory.
Afinní hyperplány se používají k definování hranic rozhodování v mnoha algoritmech strojového učení , jako jsou rozhodovací stromy s lineární kombinací (šikmé) a perceptrony .
Vektorové hyperplány
Ve vektorovém prostoru je vektorová nadrovina podprostorem codimensionu 1, jenž je možná posunut od počátku vektorem, v takovém případě se označuje jako plochý . Taková nadrovina je řešením jediné lineární rovnice .
Projektivní hyperplány
Projektivní hyperplanes , se používají v projektivní geometrii . Projektivní podprostor je množina bodů s vlastností, že pro nějaké dva body sady, všechny body na lince určené dvěma body jsou obsaženy v sadě. Na projektivní geometrii lze pohlížet jako na afinní geometrii s přidanými úběžnými body (body v nekonečnu). Afinní nadrovina spolu s přidruženými body v nekonečnu tvoří projektivní nadrovinu. Jedním zvláštním případem projektivní nadroviny je nekonečná nebo ideální nadrovina , která je definována množinou všech bodů v nekonečnu.
V projektivním prostoru nadrovina nerozděluje prostor na dvě části; spíše to vyžaduje dvě hyperplány k oddělení bodů a rozdělení prostoru. Důvodem je to, že se prostor v podstatě „obtočí“, takže obě strany osamělé nadroviny jsou vzájemně spojeny.
Aplikace
V konvexní geometrii jsou dvě disjunktní konvexní množiny v n-dimenzionálním euklidovském prostoru odděleny nadrovinou, což je výsledek nazývaný teorém o nadrovině .
Ve strojovém učení jsou hyperplány klíčovým nástrojem k vytváření podpůrných vektorových strojů pro takové úkoly, jako je počítačové vidění a zpracování přirozeného jazyka .
Dihedrální úhly
Vzepětí úhel mezi dvěma nerovnoběžnými nadrovinami jednoho euklidovském prostoru je úhel mezi odpovídajícími normálními vektorů . Produktem transformací ve dvou hyperplanech je rotace, jejíž osa je podprostorem codimension 2 získaného protínáním hyperplanes a jehož úhel je dvojnásobkem úhlu mezi hyperplany.
Podporujte hyperplány
Nadrovina H se nazývá „podpůrná“ nadrovina mnohostěnu P, pokud P je obsažena v jednom ze dvou uzavřených poloprostorů ohraničených H a . Průsečík P a H je definován jako „tvář“ mnohostěnu. Teorie mnohostěnů a dimenze ploch jsou analyzovány pohledem na tyto křižovatky zahrnující hyperplány.
Viz také
- Hyperplocha
- Hranice rozhodnutí
- Věta o sendviči se šunkou
- Uspořádání hyperplánů
- Podpora věty o hyperplánu
Reference
- Binmore, Ken G. (1980). Základy topologické analýzy: Přímý úvod: Kniha 2 Topologické myšlenky . Cambridge University Press. p. 13. ISBN 0-521-29930-6 .
- Charles W. Curtis (1968) Linear Algebra , strana 62, Allyn & Bacon , Boston.
- Heinrich Guggenheimer (1977) Použitelná geometrie , strana 7, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
- Victor V. Prasolov & VM Tikhomirov (1997,2001) Geometry , strana 22, svazek 200 v Translations of Mathematical Monographs , American Mathematical Society , Providence ISBN 0-8218-2038-9 .