Brownův web - Brownian web

V teorii pravděpodobnosti je Brownův web nespočetnou sbírkou jednorozměrných splynutí Brownových pohybů , počínaje každým bodem v prostoru a čase. Vzniká jako mezní hodnota difuzního časoprostorového měřítka kolekce splynutí náhodných procházení , přičemž jedna procházka začíná od každého bodu celočíselné mřížky Z pokaždé.

Historie a základní popis

Grafická konstrukce voličského modelu s konfigurací . Šipky určují, kdy volič změní svůj názor na názor souseda, na který šipka ukazuje. Rodokmeny se získávají sledováním šipek zpět v čase, které jsou distribuovány jako spojování náhodných procházek.${\ displaystyle \ eta _ {t}: = (\ eta _ {t} (x)) _ {x \ v \ mathbb {Z}} \ v \ {0,1 \} ^ {\ mathbb {Z}} }$

To, co je nyní známé jako Brownův web, vymyslel poprvé Arratia ve svém Ph.D. práce a následný neúplný a nepublikovaný rukopis. Arratia studovala voličský model , interagující částicový systém, který modeluje vývoj politických názorů populace. Jednotlivci populace jsou reprezentováni vrcholy grafu a každý jednotlivec má jeden ze dvou možných názorů, reprezentovaných buď jako 0 nebo 1. Nezávisle na rychlosti 1 mění každý jednotlivec svůj názor na náhodně zvoleného souseda. Je známo, že model voličů je duální ke sloučení náhodných procházek (tj. Náhodné procházky se pohybují samostatně, když jsou od sebe, a pohybují se jako jediná procházka, jakmile se setkají) v tom smyslu, že: názor každého jednotlivce lze kdykoli vysledovat zpět v čase na předka v čase 0 a společné rodokmeny názorů různých jednotlivců v různých dobách je sbírka splynutí náhodných procházek vyvíjejících se zpět v čase. V prostorové dimenzi 1 konvergující náhodné procházky počínaje konečným počtem časoprostorových bodů konvergují na konečný počet splynutí Brownových pohybů , pokud je časoprostor difuzně změněn (tj. Každý bod časoprostoru (x, t) bude mapován do (εx, ε ^ 2t), s ε ↓ 0). Je to důsledek Donskerova principu invariance . Méně zřejmá otázka zní:

Sloučení náhodných procházek po diskrétní časoprostorové mřížce Z každého bodu mřížky je nakreslena šipka buď vpravo, nebo vlevo s pravděpodobností 1/2. Náhodné procházky se pohybují v čase nahoru podle šipek a různé náhodné procházky se spojí, jakmile se setkají.${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {\ rm {even}} ^ {2}: = \ {(x, n) \ in \ mathbb {Z} ^ {2}: x + n {\ mbox {je sudé }} \}.}$

Jaký je limit difúzní škálování společné sbírky jednorozměrných splynutí náhodných procházek počínaje každým bodem v časoprostoru?

Arratia se rozhodla zkonstruovat tento limit, který nyní nazýváme Brownovým webem. Formálně vzato je to sbírka jednorozměrných splynutí Brownových pohybů počínaje každým bodem časoprostoru . Skutečnost, že Brownův web se skládá z nespočetného množství Brownových pohybů, je tím, co dělá konstrukci vysoce netriviální. Arratia dala konstrukci, ale nebyla schopna prokázat konvergenci splynutí náhodných procházek k omezujícímu objektu a charakterizovat takový omezující objekt. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Tóth a Werner ve své studii skutečného samoodpuzujícího pohybu získali mnoho podrobných vlastností tohoto omezujícího objektu a jeho dvojího účinku, ale neprokázali konvergenci splynutí procházek k tomuto omezujícímu objektu nebo jej charakterizovali. Hlavní obtíž při dokazování konvergence pramení z existence náhodných bodů, ze kterých může mít omezující objekt více cest. Arratia a Tóth a Werner si byli vědomi existence takových bodů a poskytli různé konvence, aby se takovéto multiplicitě vyhnuli. Fontes, Isopi, Newman a Ravishankar zavedli topologii pro omezující objekt, takže je realizován jako náhodná proměnná, která bere hodnoty v polském prostoru , v tomto případě prostoru kompaktních sad cest. Tato volba umožňuje, aby omezující objekt měl více cest z náhodného časoprostoru. Zavedení této topologie jim umožnilo dokázat konvergenci splynutí náhodných procházek k jedinečnému omezujícímu objektu a charakterizovat ho. Pojmenovali tento omezující objekt Brownův web.

Sun a Swart zavedli rozšíření Brownova webu, které se říká Brownova síť , a to tím, že umožnilo větvení spojujících se Brownových pohybů. Alternativní konstrukci Brownovy sítě dali Newman, Ravishankar a Schertzer.

Pro nedávný průzkum viz Schertzer, Sun a Swart.

Reference