Burali -Forti paradox - Burali-Forti paradox

V teorii množin , oblasti matematiky , ukazuje Burali-Forti paradox, že konstrukce „množiny všech pořadových čísel “ vede k rozporu, a proto ukazuje antinomii v systému, který umožňuje její konstrukci. Je pojmenována po Cesare Burali-Forti , který v roce 1897 publikoval dokument prokazující větu, která pro něj neznámá odporovala dříve prokázanému výsledku Cantora. Bertrand Russell si následně rozporu všiml, a když ho publikoval ve své knize z roku 1903 Principy matematiky , uvedl, že mu to navrhl Burali-Fortiho papír, takže se stalo známým podle jména Burali-Fortiho.

Uvedeno v termínech von Neumannových řadových slov

Dokážeme to reductio ad absurdum.

1. Nechť je množina, která obsahuje všechna pořadová čísla.${\ displaystyle \ Omega}$
2. ${\ displaystyle \ Omega}$je přenositelný , protože pro každý prvek z (což je pořadové číslo a může být libovolná pořadové číslo) a každý prvek z (tedy pod definici Von Neumanna řadové , pro každou pořadového čísla ), jsme, že je prvkem , protože jakékoliv pořadový číslo podle definice této pořadové konstrukce obsahuje pouze pořadová čísla.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle y <x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ Omega}$
3. ${\ displaystyle \ Omega}$je dobře uspořádán podle vztahu členství, protože všechny jeho prvky jsou také dobře uspořádány tímto vztahem.
4. V krocích 2 a 3 tedy máme řadovou třídu a také, v kroku 1, řadové číslo, protože všechny řadové třídy, které jsou množinami, jsou také řadovými čísly.${\ displaystyle \ Omega}$
5. To znamená, že je to prvek .${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$
6. Podle definice von Neumannových řadových slov je to stejné jako prvek . Toto druhé tvrzení dokazuje krok 5.${\ Displaystyle \ Omega <\ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$
7. Ale žádná pořadová třída není menší než sama, a to i kvůli kroku 4 ( je řadová třída), tzn .${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega \ nless \ Omega}$

Odsoudili jsme dvě protichůdné tvrzení ( a ) z množiny, a proto jsme vyvrátili, že jde o množinu. ${\ Displaystyle \ Omega <\ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega \ nless \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Uvedeno obecněji

Verze výše uvedeného paradoxu je anachronická, protože předpokládá definici pořadových čísel díky Johnu von Neumannovi , podle nichž je každý pořadový soubor množinou všech předcházejících pořadových čísel, což v době, kdy byl paradox sestaven Burali-Fortim, nebylo známo . Zde je účet s menším počtem předpokladů: předpokládejme, že ke každému dobře uspořádanému objektu přiřadíme nespecifikovaným způsobem objekt nazvaný jeho typ objednávky (typy řádů jsou pořadová čísla). Samotné typy objednávek (pořadová čísla) jsou dobře uspořádány přirozeným způsobem a toto dobře uspořádané musí mít typ objednávky . V naivní teorii množin (a zůstává pravdivá v ZFC, ale ne v New Foundations ) je snadno ukázáno , že typ pořadí všech pořadových čísel menších než pevných je sám. Typ objednávky všech pořadových čísel menší než je samotný. To ale znamená , že jako řádový typ správného počátečního segmentu řadových řad je přísně menší než typ pořadí všech pořadových čísel, ale to druhé je samo o sobě z definice. To je rozpor. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Použijeme -li von Neumannovu definici, podle níž je každý pořadový list identifikován jako množina všech předcházejících pořadových čísel, paradoxu se nelze vyhnout: urážlivý návrh, že samotný typ pořadí všech pořadových čísel menší než pevný je pravdivý. Sbírka von Neumannových ordinals, stejně jako sbírka v Russellově paradoxu , nemůže být množinou v žádné teorii množin s klasickou logikou. Ale kolekce typů řádů v New Foundations (definovaných jako třídy ekvivalence tříd uspořádání podle podobnosti) je ve skutečnosti množina a paradoxu se vyhýbáme, protože typ pořadí řadových čísel menší než se ukazuje, že není . ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Řešení paradoxu

Moderní axiomy pro formální teorii množin, jako jsou ZF a ZFC, tuto antinomii obcházejí tím, že neumožňují konstrukci množin pomocí výrazů jako „všechny množiny s vlastností “${\ displaystyle P}$ , jak je to možné v naivní teorii množin a jak je to možné u axiomů Gottlob Frege - konkrétně základní zákon V - v „Grundgesetze der Arithmetik“. Systém Quine New Foundations (NF) používá jiné řešení . Rosser ( 1942 ) ukázal, že v původní verzi Quinova systému „Mathematical Logic“ (ML), rozšíření nových základů, je možné odvodit paradox Burali-Forti, což ukazuje, že tento systém byl rozporuplný. Quineho revize ML po Rosserově objevu touto vadou netrpí a skutečně byla následně Hao Wangem prokázána jako rovnocenná s NF .

Viz také

• Absolutní nekonečno

Reference

• Burali-Forti, Cesare (1897), „Una questione sui numeri transfiniti“ (PDF) , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 11 : 154–164, doi : 10,1007/BF03015911
• Irving Copi (1958) „The Burali-Forti Paradox“, Filozofie vědy 25 (4): 281–286, doi : 10,1086/287617
• Moore, Gregory H; Garciadiego, Alejandro (1981), „Burali-Fortiho paradox: Přehodnocení jeho původu“, Historia Mathematica , 8 (3): 319–350, doi : 10,1016/0315-0860 (81) 90070-7
• Rosser, Barkley (1942), „The Burali-Forti paradox“, Journal of Symbolic Logic , 7 (1): 1–17, doi : 10,2307/2267550 , JSTOR  2267550 , MR  0006327

externí odkazy

• Stanfordská encyklopedie filozofie : „ Paradoxy a současná logika “ - Andrea Cantini.