Cevian - Cevian

V geometrii , je cevian je linie , která protíná obě A trojúhelník s vrcholem , a také ta strana, která je opačná k tomuto vrcholu. Mediány a úhlové úhly jsou zvláštními případy ceviánů. Jméno „cevian“ pochází od italského matematika Giovanniho Cevy , který prokázal známou větu o cevianech, která nese také jeho jméno.

Délka

Stewartova věta

Délka cevian může být určena Stewartovou větou : v diagramu je cevianská délka d dána vzorcem

${\ displaystyle \, b ^ {2} m + c ^ {2} n = a (d ^ {2} + mn).}$

Méně obyčejně to také představuje mnemotechnická pomůcka

${\ displaystyle \, muž + otec = bmb + cnc.}$

Medián

Pokud je cevian náhodou mediánem (tedy půlící stranou ), lze jeho délku určit ze vzorce

${\ displaystyle \, m (b ^ {2} + c ^ {2}) = a (d ^ {2} + m ^ {2})}$

nebo

${\ displaystyle \, 2 (b ^ {2} + c ^ {2}) = 4d ^ {2} + a ^ {2}}$

od té doby

${\ displaystyle \, a = 2 m.}$

Proto v tomto případě

${\ displaystyle d = {\ sqrt {\ frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}}.}$

Úhlová osa

Pokud je cevian shodný s úsečkou úhlu , jeho délka se řídí vzorci

${\ displaystyle \, (b + c) ^ {2} = a ^ {2} \ left ({\ frac {d ^ {2}} {mn}} + 1 \ right),}$

a

${\ displaystyle d ^ {2} + mn = bc}$

a

${\ displaystyle d = {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}}$

kde semiperimetr s = ( a + b + c ) / 2 .

Strana délky a je rozdělena v poměru b : c .

Nadmořská výška

Pokud je cevian náhodou nadmořská výška, a tedy kolmá na stranu, jeho délka se řídí vzorci

${\ displaystyle \, d ^ {2} = b ^ {2} -n ^ {2} = c ^ {2} -m ^ {2}}$

a

${\ displaystyle d = {\ frac {2 {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}} {a}},}$

kde semiperimetr s = ( a + b + c ) / 2.

Vlastnosti poměru

Existují různé vlastnosti poměrů délek tvořených třemi cevianami, které všechny procházejí stejným libovolným vnitřním bodem: S odkazem na diagram vpravo,

${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ cdot {\ frac {BD} {DC}} \ cdot {\ frac {CE} {EA}} = 1;}$( Cevova věta )

${\ displaystyle {\ frac {AO} {OD}} = {\ frac {AE} {EC}} + {\ frac {AF} {FB}};}$

${\ displaystyle {\ frac {OD} {AD}} + {\ frac {OE} {BE}} + {\ frac {OF} {CF}} = 1;}$

${\ displaystyle {\ frac {AO} {AD}} + {\ frac {BO} {BE}} + {\ frac {CO} {CF}} = 2.}$

Tyto poslední dvě vlastnosti jsou ekvivalentní, protože součet těchto dvou rovnic dává identitu 1 + 1 + 1 = 3.

Rozdělovač

Rozdělovač trojúhelníku je cevian která půlí na obvod . Tři rozbočovače se shodují v Nagelově bodě trojúhelníku.

Plošné půlení

Tři z plošných přímek trojúhelníku jsou jeho mediány, které spojují vrcholy s středními body na opačné straně. Trojúhelník jednotné hustoty by tedy v zásadě balancoval na břitvě podporující kterýkoli z mediánů.

Úhlové trisektory

Pokud z každého vrcholu trojúhelníku jsou nakresleny dva ceviany tak, aby trisektovaly úhel (rozdělily ho na tři stejné úhly), pak se šest cevianů protíná v párech a tvoří rovnostranný trojúhelník , nazývaný Morleyův trojúhelník .

Plocha vnitřního trojúhelníku tvořená cevians

Routhova věta určuje poměr plochy daného trojúhelníku k ploše trojúhelníku tvořeného párovými průsečíky tří cevianů, jednoho z každého vrcholu.

Viz také

• Geometrie hmotného bodu
• Menelausova věta

Poznámky

Reference

• Eves, Howard (1963), An Survey of Geometry (Vol. One) , Allyn a Bacon
• Ross Honsberger (1995). Epizody v euklidovské geometrii devatenáctého a dvacátého století , strany 13 a 137. Mathematical Association of America.
• Vladimir Karapetoff (1929). "Některé vlastnosti korelačních vrcholů v rovinném trojúhelníku." American Mathematical Monthly 36: 476–479.
• Indika Shameera Amarasinghe (2011). "Nová věta o jakémkoli úhlovém Cevianském trojúhelníku." Časopis Světové federace národních matematických soutěží , svazek 24 (02) , s. 29–37.