Totožnost (matematika) - Identity (mathematics)
V matematiky , An identita je rovnost týkající jeden matematický výraz A do jiného matematického výrazu B , tak, že a B (které může obsahovat některé proměnné ) produkovat stejnou hodnotu pro všechny hodnoty proměnných v určitém rozsahu platnosti. Jinými slovy, A = B je identita, pokud A a B definují stejné funkce , a identita je rovnost mezi funkcemi, které jsou odlišně definovány. Například a jsou identity. Identity jsou někdy označeny symbolem trojitého pruhu ≡ namísto = , znaménko rovná se .
Společné identity
Algebraické identity
Určité identity, jako například a , tvoří základ algebry, zatímco jiné identity, jako například a , mohou být užitečné při zjednodušení algebraických výrazů a jejich rozšíření.
Trigonometrické identity
Geometricky, trigonometrické identity jsou identity zahrnující určité funkce jednoho nebo více úhlů . Jsou odlišné od identit trojúhelníku , což jsou identity zahrnující jak úhly, tak boční délky trojúhelníku . V tomto článku jsou zahrnuty pouze ty první.
Tyto identity jsou užitečné, kdykoli je třeba zjednodušit výrazy zahrnující trigonometrické funkce. Další důležitou aplikací je integrace ne trigonometrických funkcí: běžná technika, která zahrnuje nejprve použití substitučního pravidla s trigonometrickou funkcí a následné zjednodušení výsledného integrálu s trigonometrickou identitou.
Jeden z nejvýznamnějších příkladů trigonometrických identit zahrnuje rovnici, která platí pro všechny komplexní hodnoty (protože komplexní čísla tvoří doménu sinu a kosinu). Na druhou stranu rovnice
platí pouze pro určité hodnoty , ne pro všechny (ani pro všechny hodnoty v sousedství ). Například tato rovnice je pravdivá, když, ale nepravdivá, když .
Další skupina trigonometrických identit se týká takzvaných vzorců sčítání / odčítání (např. Identita s dvojitým úhlem , sčítací vzorec pro ), které lze použít k rozdělení výrazů větších úhlů na výrazy s menšími složkami.
Exponenciální identity
Následující identity platí pro všechny celočíselné exponenty za předpokladu, že základna je nenulová:
Na rozdíl od sčítání a násobení, umocňování není komutativní . Například 2 + 3 = 3 + 2 = 5 a 2 · 3 = 3,2 = 6 , ale 2 3 = 8 , zatímco 3 2 = 9 .
A na rozdíl od sčítání a násobení, ani umocňování není asociativní . Například (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 a (2,3) · 4 = 2,4 (3,4) = 24 , ale 2 3 na 4 je 8 4 (nebo 4 096), zatímco 2 až 3 4 je 2 81 (nebo 2 417 851 639 229 258 349 412 352). Bez závorek upravujících pořadí výpočtu je podle pořadí pořadí shora dolů, nikoli zdola nahoru:
Logaritmické identity
Několik důležitých vzorců, někdy nazývaných logaritmické identity nebo logické zákony , souvisí s logaritmy navzájem.
Produkt, podíl, moc a kořen
Logaritmus produktu je součtem logaritmů vynásobených čísel; logaritmus poměru dvou čísel je rozdíl logaritmů. Logaritmus p - té síly čísla je p násobkem logaritmu samotného čísla; logaritmus p -tého kořene je logaritmus čísla děleno p . Následující tabulka uvádí tyto identity s příklady. Každou z identit lze odvodit po nahrazení definic logaritmu x = b log b (x) a / nebo y = b log b (y) na levé straně.
Vzorec | Příklad | |
---|---|---|
produkt | ||
kvocient | ||
Napájení | ||
vykořenit |
Změna základny
Logaritmus log b ( x ) mohou být vypočteny z logaritmů x a B ve vztahu k libovolnému báze k použití následujícího vzorce:
Typické vědecké kalkulačky počítají logaritmy k základům 10 a e . Logaritmy s ohledem na jakoukoli základnu b lze určit pomocí některého z těchto dvou logaritmů podle předchozího vzorce:
Vzhledem k číslu x a jeho logaritmu log b ( x ) k neznámé základně b je základ dán vztahem:
Hyperbolické identitní funkce
Hyperbolické funkce uspokojují mnoho identit, všechny mají podobnou podobu s trigonometrickými identitami . Ve skutečnosti Osbornovo pravidlo říká, že je možné převést jakoukoli trigonometrickou identitu na hyperbolickou identitu tím, že ji zcela rozšíří, pokud jde o integrální síly sinusů a kosinů, změnou sinus na sinh a kosinus na cosh a přepnutím znaménka každého termínu, který obsahuje produkt 2, 6, 10, 14, ... sinhs.
Gudermannian funkce poskytuje přímý vztah mezi kruhovými funkcí a ty hyperbolických která nezahrnuje komplexní čísla.
Logika a univerzální algebra
V matematické logice a v univerzální algebře je identita definována jako vzorec ve tvaru „ ∀ x 1 , ..., x n . S = t “, kde s a t jsou termíny bez jiných volných proměnných než x 1 , ..., x n . Předpona kvantifikátoru („∀ x 1 , ..., x n .“) Je často ponechána implicitní, zejména v univerzální algebře. Například axiomy příslušníky monoidu se často uvádí jako identity set
- { ∀ x , y , z . x * ( y * z ) = ( x * y ) * z , ∀ x . x * 1 = x , ∀ x . 1 * x = x },
nebo, ve zkratce, jako
- { x * ( y * z ) = ( x * y ) * z , x * 1 = x , 1 * x = x }.
Někteří autoři používají název „rovnice“ místo „identita“.
Viz také
Reference
Poznámky
Citace
Zdroje
- Downing, Douglas (2003). Algebra snadná cesta . Barrons vzdělávací série. ISBN 978-0-7641-1972-9.
- Kate, SK; Bhapkar, HR (2009). Základy matematiky . Technické publikace. ISBN 978-81-8431-755-8.
- Shirali, S. (2002). Dobrodružství při řešení problémů . Univerzity Press. ISBN 978-81-7371-413-9.
externí odkazy
- Encyklopedie rovnic Online encyklopedie matematických identit (archivováno)
- Sbírka algebraických identit