Clairautova věta (gravitace) - Clairaut's theorem (gravity)

Pro jiná použití, viz Clairautův vzorec (disambiguation) .
Obrázek 1: Elipsoid
Obrázek 2: Vykreslení drátového modelu elipsoidu (zploštělý sféroid)

Clairautova věta charakterizuje povrchovou gravitaci na viskózním rotujícím elipsoidu v hydrostatické rovnováze působením jeho gravitačního pole a odstředivé síly. Byl publikován v roce 1743 Alexisem Claude Clairautem v pojednání, které syntetizovalo fyzické a geodetické důkazy o tom, že Země je zploštělý rotační elipsoid . Původně byl používán k přiřazení gravitace v jakémkoli bodě zemského povrchu k poloze tohoto bodu, což umožnilo vypočítat elipticitu Země z měření gravitace v různých zeměpisných šířkách. Dnes je do značné míry nahrazena Somiglianovou rovnicí .

Dějiny

Ačkoli už od starověku bylo známo, že Země je sférická, v 17. století se hromadily důkazy, že to nebyla dokonalá sféra. V roce 1672 Jean Richer našel první důkaz, že gravitace není na Zemi konstantní (jak by tomu bylo, kdyby Země byla koule); vzal kyvadlové hodiny do Cayenne ve Francouzské Guyaně a zjistil, že ztratily 2+1 / 2 minut za den ve srovnání s jeho rychlosti v Paříži. To naznačovalo, že gravitační zrychlení bylo v Cayenne menší než v Paříži. Kyvadlové gravimetry se začaly používat při cestách do vzdálených částí světa a pomalu se zjišťovalo, že gravitace se s rostoucí šířkou plynule zvyšuje, gravitační zrychlení je na pólech asi o 0,5% větší než na rovníku.

Britský fyzik Isaac Newton to vysvětlil ve své Principia Mathematica (1687), ve které nastínil svou teorii a výpočty o tvaru Země. Newton správně teoretizoval, že Země není přesně koule, ale má zploštělý elipsoidní tvar, mírně zploštělý na pólech díky odstředivé síle jeho otáčení. Protože je povrch Země na pólech blíže jejímu středu než na rovníku, je tam gravitace silnější. Pomocí geometrických výpočtů podal konkrétní argument ohledně hypotetického elipsoidního tvaru Země.

Cílem Principie nebylo poskytnout přesnou odpověď na přírodní jevy, ale teoretizovat potenciální řešení těchto nevyřešených faktorů ve vědě. Newton tlačil na vědce, aby se dále zabývali nevysvětlitelnými proměnnými. Dva významní badatelé, které inspiroval, byli Alexis Clairaut a Pierre Louis Maupertuis . Oba se snažili dokázat platnost Newtonovy teorie o tvaru Země. Aby to mohli udělat, vydali se na expedici do Laponska ve snaze přesně změřit poledníkový oblouk . Z takových měření mohli vypočítat výstřednost Země, její stupeň odletu z dokonalé sféry. Clairaut potvrdil, že Newtonova teorie, že Země je elipsoidní, byla správná, ale jeho výpočty byly chybné a napsal dopis Královské společnosti v Londýně se svými nálezy. Následující rok v roce 1737 společnost publikovala článek ve Filosofických transakcích, který odhalil jeho objev. Clairaut ukázal, jak jsou Newtonovy rovnice nesprávné, a neprokázal Zemi tvar elipsoidu. Opravil však problémy s teorií, což ve skutečnosti ukázalo, že Newtonova teorie je správná. Clairaut věřil, že Newton má důvody pro výběr tvaru, který udělal, ale v Principii jej nepodporoval . Clairautův článek neposkytl platnou rovnici, která by podpořila jeho argument. To vyvolalo ve vědecké komunitě mnoho kontroverzí.

Správná odpověď byla poskytnuta až v roce 1743, kdy Clairaut napsala Théorie de la figure de la terre . V něm vyhlásil to, co je dnes formálně známější jako Clairautova věta.

Vzorec

Clairautův vzorec pro zrychlení způsobené gravitací g na povrchu sféroidu na zeměpisné šířce φ byl:

kde je hodnota zemského zrychlení na rovníku, m poměr odstředivé síly ke gravitaci na rovníku, a f je zploštění části poledníku části země, je definován jako:

(kde a = semimajor osa, b = semiminor osa).

Clairaut odvodil vzorec za předpokladu, že tělo bylo složeno ze soustředných koaxiálních sféroidních vrstev konstantní hustoty. Této práce se následně věnoval Laplace , který uvolnil původní předpoklad, že povrchy se stejnou hustotou jsou sféroidy. Stokes v roce 1849 ukázal, že věta platí pro jakýkoli zákon hustoty, pokud je vnější povrch sféroid rovnováhy. Historii předmětu a podrobnější rovnice pro g lze nalézt v Khan.

Výše uvedený výraz pro g byl nahrazen Somiglianovou rovnicí (po Carlovi Somiglianovi ).

Geodézie

Viz také: Teoretická gravitace

Sférický tvar Země je výsledkem souhry gravitace a odstředivé síly způsobené rotací Země kolem její osy. Ve svých Principia , Newton navrhl rovnovážný tvar homogenní rotující Země byla rotační elipsoid se zploštění f dané 1/230. V důsledku toho se gravitace zvyšuje od rovníku k pólům. Pomocí Clairautovy věty Laplace zjistil z 15 hodnot gravitace, že f = 1/330. Moderní odhad je 1/298,25642. Další podrobnosti viz Obrázek Země .

Podrobný popis konstrukce referenčního geodetického modelu Země najdete v Chatfieldu.

Reference

  1. ^ Théorie de la figure de la terre, tirée des principes de l'hydrostatique ( Theory of the form of the earth, printed from the policies of hydrostatics ) Z katalogu vědeckých knih v knihovně Královské společnosti.
  2. ^ Wolfgang Torge (2001). Geodesy: An Introduction (3. vyd.). Walter de Gruyter . p. 10. ISBN 3-11-017072-8.
  3. ^ Edward John Routh (2001). Pojednání o analytické statistice s mnoha příklady . Sv. 2. Adamant Media Corporation. p. 154. ISBN 1-4021-7320-2. |volume=má další text ( nápověda ) Dotisk původní práce publikované v roce 1908 Cambridge University Press.
  4. ^ Poynting, John Henry; Joseph John Thompson (1907). Učebnice fyziky, 4. vydání . Londýn: Charles Griffin & Co. p. 20 .
  5. ^ Victor F., Lenzen; Robert P. Multauf (1964). „Papír 44: Vývoj gravitačních kyvadel v 19. století“ . Bulletin 240 Národního muzea Spojených států: Příspěvky z Muzea historie a technologie přetištěny v Bulletinu Smithsonian Institution . Washington: Smithsonian Institution Press . p. 307 . Citováno 2009-01-28 .
  6. ^ Newton, Isaac. Principia, Kniha III, Proposition XIX, Problém III .
  7. ^ Greenburg, John (1995). Problém tvaru Země od Newtona po Clairaut . New York: Cambridge University Press . s.  132 . ISBN 0-521-38541-5.
  8. ^ Clairaut, Alexis; Colson, John (1737). „Dotaz týkající se obrázku takových planet, jako jsou otáčení o ose, předpokládající, že se hustota bude neustále měnit, od středu k povrchu“. Filozofické transakce . JSTOR  103921 .
  9. ^ WW Rouse Ball Krátký popis dějin matematiky (4. vydání, 1908)
  10. ^ Walter William Rouse Ball (1901). Krátký popis dějin matematiky (3. vyd.). Macmillan. p. 384 . Krátký popis dějin matematiky (4. vydání, 1908) od WW Rouse Ball.
  11. ^ Poynting, John Henry; Joseph John Thompson (1907). Učebnice fyziky, 4. vydání . Londýn: Charles Griffin & Co. s.  22 –23.
  12. ^ Isaac Todhunter. Historie matematických teorií přitažlivosti a obrázku Země od doby Newtona po Laplaceovu . Sv. 2. Elibron Classics. ISBN 1-4021-1717-5. |volume=má další text ( nápověda ) Dotisk původního vydání z roku 1873 vydaného společností Macmillan and Co.
  13. ^ Stokes, GG (1849). „O atrakcích a o Clairautově větě“ . Cambridge a Dublin Mathematical Journal . 4 : 194–219.
  14. ^ Osmond Fisher (1889). Fyzika zemské kůry . Macmillan and Co. p. 27.
  15. ^ John Henry Poynting; Joseph John Thomson (1907). Učebnice fyziky . C. Griffin. p. 22 . Clairautova věta.
  16. ^ Případ NASA o rovnovážném obrázku Země od Mohammada A. Khana (1968)
  17. ^ John P. Vinti; Gim J. Der; Nino L. Bonavito (1998). Orbitální a nebeská mechanika . Progress in astronautics and aeronautics, v. 177. American Institute of Aeronautics and Astronautics . p. 171. ISBN 1-56347-256-2.
  18. ^ Arthur Gordon Webster (1904). Dynamika částic a tuhých, elastických a tekutých těles: přednášky z matematické fyziky . BG Teubner . p. 468 .
  19. ^ Isaac Newton: Principia Book III Proposition XIX Problém III, str. 407 v překladu Andrewa Motteho.
  20. ^ Podívejte se na Principia on -line na Andrew Motte Translation
  21. ^ Tabulka 1.1 Numerické standardy IERS (2003) )
  22. ^ Averil B. Chatfield (1997). Základy inerciální navigace s vysokou přesností . Volume 174 in Progress in Astronautics and Aeronautics . Americký institut pro letectví a kosmonautiku. Kapitola 1, část VIII str. 7. ISBN 1-56347-243-0.