Kompaktní konvergence - Compact convergence

V matematice je kompaktní konvergence (nebo uniformní konvergence na kompaktních množinách ) druh konvergence, který zobecňuje myšlenku uniformní konvergence . Je spojena s kompaktně otevřenou topologií .

Definice

Dovolit být topologický prostor a být metrický prostor . Posloupnost funkcí ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$${\ displaystyle (Y, d_ {Y})}$

${\ displaystyle f_ {n}: X \ až Y}$, ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N},}$

se říká, že se sbíhají kompaktně jako do určité funkce , když pro každou kompaktní sadě , ${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ displaystyle f: X \ až Y}$ ${\ displaystyle K \ subseteq X}$

${\ displaystyle f_ {n} | _ {K} \ až f | _ {K}}$

konverguje stejnoměrně na jako . To znamená, že pro všechny kompaktní , ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ displaystyle K \ subseteq X}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ sup _ {x \ v K} d_ {Y} \ left (f_ {n} (x), f (x) \ right) = 0.}$

Příklady

• Pokud a se svými obvyklými topologiemi, s , pak konverguje kompaktně na konstantní funkci s hodnotou 0, ale ne rovnoměrně.${\ displaystyle X = (0,1) \ podmnožina \ mathbb {R}}$${\ displaystyle Y = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f_ {n} (x): = x ^ {n}}$${\ displaystyle f_ {n}}$
• Pokud , a , pak konverguje bodově k funkci, která je nulová a jedna na , ale posloupnost se nespojuje kompaktně.${\ displaystyle X = (0,1]}$${\ displaystyle Y = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f_ {n} (x) = x ^ {n}}$${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle (0,1)}$${\ displaystyle 1}$
• Velmi účinným nástrojem pro zobrazení kompaktní konvergence je věta Arzelà – Ascoli . Existuje několik verzí této věty, zhruba řečeno uvádí, že každá posloupnost ekvicontinuních a rovnoměrně ohraničených map má subsekvenci, která kompaktně konverguje na nějakou spojitou mapu.

Vlastnosti

• Pokud jednotně, pak kompaktně.${\ displaystyle f_ {n} \ až f}$${\ displaystyle f_ {n} \ až f}$
• Pokud je kompaktní prostor a kompaktně, pak rovnoměrně.${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$${\ displaystyle f_ {n} \ až f}$${\ displaystyle f_ {n} \ až f}$
• Pokud je lokálně kompaktní , pak kompaktně tehdy a jen tehdy, když lokálně rovnoměrně.${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$${\ displaystyle f_ {n} \ až f}$${\ displaystyle f_ {n} \ až f}$
• Pokud je kompaktně generovaný prostor , kompaktně a každý je spojitý , pak je spojitý.${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$${\ displaystyle f_ {n} \ až f}$${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f}$

Viz také

• Režimy konvergence (anotovaný index)
• Montelova věta

Reference

• R. Remmert Theory of complex functions (1991 Springer) str. 95