Arzelà – Ascoliho věta - Arzelà–Ascoli theorem

Arzelà-Ascoli věta je základním výsledkem matematické analýzy dává nezbytné a dostatečné podmínky, aby rozhodl, zda každá posloupnost dané rodině reálných cenil spojité funkce definované v uzavřeném a ohraničeném intervalu má stejnoměrně konvergentní posloupnost . Hlavní podmínkou je ekvikontinuita rodiny funkcí. Věta je základem mnoha důkazů v matematice, včetně věty o existenci Peana v teorii obyčejných diferenciálních rovnic , věty Montel v komplexní analýze a věty Peter-Weyl v harmonické analýze a různých výsledků týkajících se kompaktnosti integrálních operátorů.

Pojem ekvikontinuita představili na konci 19. století italští matematici Cesare Arzelà a Giulio Ascoli . Slabou formu věty prokázali Ascoli (1883–1884) , který stanovil dostatečnou podmínku pro kompaktnost, a Arzelà (1895) , která stanovila nezbytnou podmínku a poskytla první jasnou prezentaci výsledku. Další zobecnění věty prokázal Fréchet (1906) , na množiny reálných spojitých funkcí s doménou kompaktního metrického prostoru ( Dunford & Schwartz 1958 , s. 382). Moderní formulace věty umožňují, aby doména byla kompaktní Hausdorff a aby rozsah byl libovolný metrický prostor. Obecnější formulace věty existují, které dávají nezbytné a dostatečné podmínky pro rodinu funkcí z kompaktně generovaného Hausdorffova prostoru do jednotného prostoru, aby byl kompaktní v topologii kompaktního otevření ; viz Kelley (1991 , strana 234).

Prohlášení a první důsledky

Podle definice je sekvence {  f _n  } _{n ∈ N} ze spojitých funkcí na intervalu I = [ , b ] se rovnoměrně omezená , pokud je počet M tak, že

${\ displaystyle \ left | f_ {n} (x) \ right | \ leq M}$

pro každou funkci f _n patřící do posloupnosti a každé x ∈ [ a , b ] . (Zde M musí být nezávislé na n a x ).   

O sekvenci se říká, že je rovnoměrně ekvivalentní, pokud pro každé ε > 0 existuje δ > 0 taková, že

${\ displaystyle \ left | f_ {n} (x) -f_ {n} (y) \ right | <\ varepsilon}$

kdykoli | x - y | < δ   pro všechny funkce f _n v pořadí. (Zde může δ záviset na ε , ale ne na x , y nebo n .)   

Jedna verze věty může být uvedena následovně:

Uvažujme posloupnost reálných hodnotou spojité funkce {  f _n  } _{n ∈ N} definovaných v uzavřeném a ohraničeném intervalu [ , b ] na reálné ose . Pokud je tato posloupnost rovnoměrně ohraničená a rovnoměrně ekvikontinuální , pak existuje subsekvence {  f _{n k}  } _{k ∈ N,} která konverguje rovnoměrně .

Konverzace je také pravdivá v tom smyslu, že pokud má každá subsekvence {  f _n  } sama rovnoměrně konvergentní subsekvenci, pak {  f _n  } je rovnoměrně ohraničená a rovnocenná.

Okamžité příklady

Diferencovatelné funkce

Tyto hypotézy věty je uspokojena rovnoměrně omezená posloupnost {  f _n  } z diferencovatelné funkcí s rovnoměrně ohraničených deriváty. Jednotná omezenost derivátů ve skutečnosti znamená podle věty o střední hodnotě, že pro všechna x a y ,

${\ displaystyle \ left | f_ {n} (x) -f_ {n} (y) \ right | \ leq K | xy |,}$

kde K je supremum derivátů funkcí v sekvenci a je nezávislé na n . Vzhledem k tomu, ε > 0 , nechť δ = ε / 2 K. k ověření definice ekvikontinuity posloupnosti. To dokazuje následující důsledek:

• Nechť { f _n } je rovnoměrně ohraničená posloupnost reálných hodnot diferencovatelných funkcí na [ a , b ] tak, aby derivace { f _n ′} byly rovnoměrně ohraničené. Pak existuje subsekvence { f _{n k} }, která konverguje rovnoměrně na [ a , b ] .

Pokud je navíc sekvence druhých derivátů také rovnoměrně ohraničena, pak se deriváty také rovnoměrně sbíhají (až do subsekvence) atd. Další zobecnění platí pro spojitě diferencovatelné funkce . Předpokládejme, že funkce f _n jsou spojitě diferencovatelné derivacemi f ′ _n . Předpokládejme, že f _n ′ jsou rovnoměrně rovnocenná a rovnoměrně ohraničená a že posloupnost {  f _n  } je bodově ohraničena (nebo jen ohraničena v jednom bodě). Pak existuje subsekvence {  f _n  } konvergující rovnoměrně na spojitě diferencovatelnou funkci.   

Argument diagonalizace lze také použít k ukázce, že rodina nekonečně diferencovatelných funkcí, jejichž deriváty každého řádu jsou rovnoměrně ohraničené, má jednotně konvergentní subsekvenci, přičemž všechny jejich deriváty jsou také rovnoměrně konvergentní. To je zvláště důležité v teorii distribucí.

Lipschitz a Hölder spojité funkce

Argument uvedený výše se ukazuje o něco konkrétněji

• Pokud {  f _n  } je rovnoměrně ohraničená posloupnost funkcí se skutečnou hodnotou na [ a , b ] tak, že každé f je Lipschitzova spojitost se stejnou Lipschitzovou konstantou K :

${\ displaystyle \ left | f_ {n} (x) -f_ {n} (y) \ right | \ leq K | xy |}$

pro všechna x , y ∈ [ a , b ] a všechna f _n existuje potom subsekvence, která konverguje jednotně na [ a , b ] .   

Limitní funkce je také Lipschitzova spojitá se stejnou hodnotou K pro Lipschitzovu konstantu. Mírné vylepšení je

• Sada F funkcí f na [ a , b ], která je rovnoměrně ohraničená a splňuje Hölderovu podmínku řádu α , 0 < α ≤ 1 , s pevnou konstantou M ,   

${\ displaystyle \ left | f (x) -f (y) \ right | \ leq M \, | xy | ^ {\ alpha}, \ qquad x, y \ in [a, b]}$

je relativně kompaktní v C ([ a , b ]) . Zejména jednotková koule Hölderova prostoru C ^{0, α} ([ a , b ]) je v C ([ a , b ]) kompaktní .

To platí obecně pro skalárních funkcí na kompaktním metrickém prostoru X splňující podmínku držák s ohledem na metriku na X .

Zobecnění

Euklidovské prostory

Věta Arzelà – Ascoli platí obecněji, pokud funkce f _n nabývají hodnot v d -rozměrném euklidovském prostoru R ^d a důkaz je velmi jednoduchý: stačí použít R- hodnotnou verzi věty Arzelà – Ascoli d krát k extrakci subsekvence, která konverguje rovnoměrně v první souřadnici, poté subsekvence, která konverguje rovnoměrně v prvních dvou souřadnicích atd. Výše uvedené příklady lze snadno zobecnit na případ funkcí s hodnotami v euklidovském prostoru.   

Kompaktní metrické prostory a kompaktní Hausdorffovy prostory

Definice omezenosti a ekvikontinuity lze zobecnit na nastavení libovolných kompaktních metrických prostorů a obecněji kompaktních Hausdorffových prostorů . Nechť X je kompaktní Hausdorff prostor a nechť C ( X ) musí být prostor skutečný-cenil spojité funkce na X . Podskupina F ⊂ C ( X ) se říká, že equicontinuous jestliže pro každé x  ∈ X a každé e > 0 , x má sousedství U _x tak, že

${\ displaystyle \ forall y \ in U_ {x}, \ forall f \ in \ mathbf {F}: \ qquad | f (y) -f (x) | <\ varepsilon.}$

Sada F ⊂ C ( X , R ), se říká, že bodová omezená , pokud pro každý x  ∈ X ,

${\ displaystyle \ sup \ {| f (x) |: f \ in \ mathbf {F} \} <\ infty.}$

Verze věty platí také v prostoru C ( X ) reálných spojitých funkcí na kompaktním Hausdorffově prostoru X ( Dunford & Schwartz 1958 , §IV.6.7):

Nechť X je kompaktní Hausdorffův prostor. Pak podmnožina F z C ( X ), je relativně kompaktní v topologii indukované jednotnou normou tehdy a jen tehdy, je-li equicontinuous a bodově omezená.

Věta Arzelà – Ascoli je tedy základním výsledkem studia algebry spojitých funkcí na kompaktním Hausdorffově prostoru .

Jsou možné různé zobecnění výše citovaného výsledku. Funkce mohou například převzít hodnoty v metrickém prostoru nebo (Hausdorffově) topologickém vektorovém prostoru pouze s minimálními změnami příkazu (viz například Kelley & Namioka (1982 , § 8), Kelley (1991 , kapitola 7)). :

Nechť X je kompaktní Hausdorffův prostor a Y metrický prostor. Pak F ⊂ C ( X , Y ) je v kompaktně otevřené topologii kompaktní tehdy a jen tehdy, když je ekvivalentní , bodově relativně kompaktní a uzavřený.

Zde bodově relativně kompaktní znamená, že pro každé x  ∈  X je množina F _x = {  f  ( x ):   f   ∈ F } v Y relativně kompaktní .

Daný důkaz lze zobecnit způsobem, který se nespoléhá na oddělitelnost domény. Například na kompaktním Hausdorffově prostoru X se ekvikontinuita používá k extrakci konečného otevřeného pokrytí X pro každé ε = 1 / n , takže oscilace jakékoli funkce v rodině je menší než ε na každé otevřené množině v obal. Roli racionálů pak může hrát množina bodů vylosovaných z každé otevřené množiny v každém z početně mnoha obalů získaných tímto způsobem a hlavní část důkazu probíhá přesně tak, jak je uvedeno výše.

Nespojité funkce

Řešení numerických schémat pro parabolické rovnice jsou obvykle po částech konstantní, a proto nejsou spojitá v čase. Vzhledem k tomu, že jejich skoky mají tendenci se s postupujícím časovým krokem zmenšovat , je možné stanovit vlastnosti konvergence uniform-in-time pomocí zobecnění na nespojité funkce klasické věty Arzelà – Ascoli (viz např. Droniou & Eymard (2016) , Slepé střevo)). ${\ displaystyle 0}$

Označme prostorem funkcí od do vybavených jednotnou metrikou ${\ displaystyle S (X, Y)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle d_ {S} (v, w) = \ sup _ {t \ v X} d_ {Y} (v (t), w (t)).}$

Pak máme následující:

Pojďme být kompaktní metrický prostor a úplný metrický prostor. Dovolit být posloupnost tak, že existuje funkce a posloupnost splňující ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ {v_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle S (X, Y)}$${\ displaystyle \ omega: X \ krát X \ až [0, \ infty]}$${\ displaystyle \ {\ delta _ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ podmnožina [0, \ infty)}$

${\ displaystyle \ lim _ {d_ {X} (t, t ') \ až 0} \ omega (t, t') = 0, \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} \ delta _ {n} = 0,}$

${\ displaystyle \ forall (t, t ') \ v K \ krát K, \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ quad d_ {Y} (v_ {n} (t), v_ {n} (t ')) \ leq \ omega (t, t') + \ delta _ {n}.}$

Předpokládám také, že pro všechny , je poměrně kompaktní . Pak je relativně kompaktní a jakýkoli limit v tomto prostoru je . ${\ displaystyle t \ v K}$${\ displaystyle \ {v_ {n} (t): n \ v \ mathbb {N} \}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ {v_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle S (X, Y)}$${\ displaystyle \ {v_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle C (X, Y)}$

Nutnost

Zatímco většina formulací věty Arzelà – Ascoli tvrdí dostatečné podmínky pro to, aby rodina funkcí byla (relativně) kompaktní v nějaké topologii, tyto podmínky jsou obvykle také nezbytné. Například pokud je množina F kompaktní v C ( X ), Banachův prostor reálných spojitých funkcí v kompaktním Hausdorffově prostoru s ohledem na jeho jednotnou normu, pak je omezen v jednotné normě na C ( X ) a zejména je bodově ohraničen. Nechť N ( ε , U ) je množina všech funkcí v F, jejichž oscilace nad otevřenou podmnožinou U ⊂ X je menší než ε :

${\ displaystyle N (\ varepsilon, U) = \ {f \ mid \ operatorname {osc} _ {U} f <\ varepsilon \}.}$

Pro pevné x ∈ X a ε tvoří množiny N ( ε , U ) otevřenou pokrývku F, protože U se mění ve všech otevřených sousedstvích x . Volba konečného dílčího útvaru pak poskytuje rovnocennost.

Další příklady

• Ke každé funkci g, která je p -integrovatelná na [0, 1] , s 1 < p ≤ ∞ , přiřaďte funkci G definovanou na [0, 1] pomocí

${\ displaystyle G (x) = \ int _ {0} ^ {x} g (t) \, \ mathrm {d} t.}$

Nechť F je množina funkcí G odpovídající funkcím g v jednotkové kouli prostoru L ^p ([0, 1]) . Pokud q je Hölderův konjugát p , definovaný 1 / str + 1 / q = 1 , potom Hölderova nerovnost znamená, že všechny funkce ve F splňují Hölderovu podmínku s α = 1 / q a konstanta M = 1 .

Z toho vyplývá, že F je kompaktní v C ([0, 1]) . To znamená, že korespondence g → G definuje kompaktní lineární operátor T mezi Banachovými prostory L ^p ([0, 1]) a C ([0, 1]) . Při složení injekce C ([0, 1]) do L ^p ([0, 1]) je vidět, že T působí kompaktně od L ^p ([0, 1]) k sobě samému. Případ p = 2 lze chápat jako jednoduchý příklad skutečnosti, že injekce ze Sobolevova prostoru do L ² (Ω) , pro Ω omezenou otevřenou množinu v R ^d , je kompaktní. ${\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$

• Když T je kompaktní lineární operátor z Banachova prostoru X do Banachova prostoru Y , jeho transpozice T ^∗ je kompaktní od (spojitého) duálního Y ^∗ do X ^∗ . To lze ověřit pomocí věty Arzelà – Ascoli.

Ve skutečnosti, je obraz T ( B ) z uzavřené jednotky kulového B z X je obsažen v kompaktním podmnožině K z Y . Jednotková koule B ^∗ z Y ^∗ definuje omezením z Y na K množinu F (lineárních) spojitých funkcí na K, která je ohraničená a rovnocenná. Autor: Arzelà – Ascoli, pro každou sekvenci { y ^∗
_n }, v B ^∗ existuje subsekvence, která konverguje rovnoměrně na K , což znamená, že obraz této subsekvence je Cauchy v X ^∗ . ${\ displaystyle T ^ {*} (y_ {n_ {k}} ^ {*})}$

• Když je f v otevřeném disku f holomorfní D ₁ = B ( z ₀ , r ) , s modulem ohraničeným M , pak (například podle Cauchyova vzorce ) má jeho derivace f  ′ modul ohraničený     2 mil / r na menším disku D ₂ = B ( z ₀ , r / 2 ). Pokud je rodina holomorfních funkcí na D ₁ ohraničena M na D ₁ , vyplývá z toho, že rodina F omezení na D ₂ je na D ₂ ekvivalentní . Proto sekvence konvergující stejnoměrně na D, _2, mohou být získány. Toto je první krok ve směru Montelovy věty .
• Nechť je obdařen jednotnou metrikou Předpokládejme, že jde o posloupnost řešení určité parciální diferenciální rovnice (PDE), kde PDE zajišťuje následující apriorní odhady: je rovnocenný pro všechny , je rovný pro všechny a pro všechny a všechny , je dostatečně malý, když je dostatečně malý. Potom podle Fréchet – Kolmogorovovy věty můžeme usoudit, že je relativně kompaktní . Proto můžeme (zobecněním) věty Arzelà – Ascoli dojít k závěru, že je relativně kompaktní ${\ displaystyle C ([0, T], L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {N}))}$${\ displaystyle \ textstyle \ sup _ {t \ v [0, T]} \ | v (\ cdot, t) -w (\ cdot, t) \ | _ {L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {N})}.}$${\ displaystyle u_ {n} = u_ {n} (x, t) \ podmnožina C ([0, T]; L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {N}))}$${\ displaystyle x \ mapsto u_ {n} (x, t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x \ mapsto u_ {n} (x, t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle (t, t ') \ v [0, T] \ krát [0, T]}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ | u_ {n} (\ cdot, t) -u_ {n} (\ cdot, t ') \ | _ {L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {N})}}$${\ displaystyle | t-t '|}$${\ displaystyle \ {x \ mapsto u_ {n} (x, t): n \ in \ mathbb {N} \}}$${\ displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {N})}$${\ displaystyle \ {u_ {n}: n \ v \ mathbb {N} \}}$${\ displaystyle C ([0, T], L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {N}))}}$

Viz také

• Věta o Hellyině výběru
• Fréchet – Kolmogorovova věta

Reference

• Arzelà, Cesare (1895), „Sulle funzioni di linee“, Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Rohož. , 5 (5): 55–74 .
• Arzelà, Cesare (1882–1883), „Un'osservazione intorno alle serie di funzioni“, Rend. Dell 'Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna : 142–159 .
• Ascoli, G. (1883–1884), „Le curve limite di una varietà data di curve“, Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Rohož. Nat. , 18 (3): 521–586 .
• Bourbaki, Nicolas (1998), Obecná topologie. Kapitoly 5–10 , Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-64563-4 , MR   1726872 .
• Dieudonné, Jean (1988), Základy moderní analýzy , Academic Press, ISBN   978-0-12-215507-9
• Droniou, Jérôme; Eymard, Robert (2016), „Uniform-in-time konvergence numerických metod pro nelineární degenerované parabolické rovnice“, Numer. Matematika. , 132 (4): 721–766 .
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Lineární operátory, svazek 1 , Wiley-Interscience .
• Fréchet, Maurice (1906), „Sur quelques points du calcul fonctionnel“ (PDF) , Rend. Circ. Rohož. Palermo , 22 : 1–74, doi : 10,1007 / BF03018603 , hdl : 10338.dmlcz / 100655 .
• Věta Arzelà-Ascoli na Encyclopaedia of Mathematics
• Kelley, JL (1991), Obecná topologie , Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90125-1
• Kelley, JL; Namioka, I. (1982), Linear Topological Spaces , Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90169-5
• Rudin, Walter (1976), Principles of matematic analysis , McGraw-Hill, ISBN   978-0-07-054235-8

Tento článek obsahuje materiál z věty Ascoli – Arzelà na PlanetMath , který je licencován na základě licence Creative Commons Attribution / Share-Alike License .