Konzervativní rozšíření - Conservative extension
V matematické logice , je konzervativní rozšíření je supertheory o teorii , která je často vhodné pro dokazování vět , ale dokazuje, žádné nové věty o jazyce původní teorie. Podobně nekonzervativní rozšíření je superteorie, která není konzervativní a může dokázat více vět než originál.
Formálněji řečeno, teorie je ( důkaz teoretická ) konzervativní rozšíření teorie, pokud každá věta o je věta o , a každá věta v jazyce je již věta o .
Obecněji řečeno, pokud je množina formulí ve společném jazyce a poté je -conservative než kdyby každá formule z prokazatelného inu je také provable v .
Konzervativní rozšíření konzistentní teorie je konzistentní. Pokud by tomu tak nebylo, pak na principu exploze by každá formule v jazyce byla teorémem , takže každá formule v jazyce by byla teorémem , takže by nebyla konzistentní. Konzervativní rozšíření proto nenesou riziko zavedení nových nesrovnalostí. To může také být viděn jako metodiky pro psaní a strukturování velkých teorií: start s teorií, , která je známá (nebo předpokládané) být konzistentní, a postupně budovat konzervativní rozšíření , ... to.
V poslední době se pro definování pojmu modul pro ontologie používají konzervativní rozšíření : je -li ontologie formalizována jako logická teorie, je subteorie modulem, pokud je celá ontologie konzervativním rozšířením subteorie.
Rozšíření, které není konzervativní, lze nazvat řádným rozšířením .
Příklady
- ACA 0 (subsystém aritmetiky druhého řádu ) je konzervativní rozšíření aritmetiky Peano prvního řádu .
- Teorie množin Von Neumann – Bernays – Gödel je konzervativní rozšíření teorie množin Zermelo – Fraenkel s axiomem volby (ZFC).
- Interní teorie množin je konzervativní rozšíření teorie množin Zermelo – Fraenkel s axiomem volby (ZFC).
- Rozšíření podle definic jsou konzervativní.
- Rozšíření o neomezené predikáty nebo funkční symboly jsou konzervativní.
- IΣ 1 (podsystém Peanoovy aritmetiky s indukcí pouze pro Σ 0 1 -vzorce ) je Π 0 2 -konzervativní rozšíření primitivní rekurzivní aritmetiky (PRA).
- ZFC je Σ 1 3 -konzervativní rozšíření ZF podle Shoenfieldovy věty o absolutnosti .
- ZFC s hypotézou kontinua je Π 2 1 -konzervativní rozšíření ZFC.
Modelově teoretické konzervativní rozšíření
S model-teoretickými prostředky, silnější představa je získána: rozšíření teorie je model-teoreticky konzervativní jestliže a každý model může být rozšířen na model . Každé modelově teoretické konzervativní rozšíření je také (důkazně teoretickým) konzervativním rozšířením ve výše uvedeném smyslu. Modelový teoretický pojem má oproti důkaznímu teoretickému výhodu v tom, že tolik nezávisí na aktuálním jazyce; na druhou stranu je obvykle těžší stanovit modelovou teoretickou konzervativitu.