Korelační funkce - Correlation function

Vizuální srovnání konvoluce , vzájemné korelace a autokorelace .

Korelační funkce je funkce , která poskytuje statistické korelace mezi náhodné proměnné , podmíněných na prostorové nebo časové vzdálenosti mezi těmito proměnnými. Pokud vezmeme v úvahu korelační funkci mezi náhodnými proměnnými představujícími stejnou veličinu měřenou ve dvou různých bodech, pak se to často označuje jako autokorelační funkce , která je tvořena autokorelacemi . Korelační funkce různých náhodných proměnných se někdy nazývají funkce vzájemné korelace, aby se zdůraznilo, že se uvažuje o různých proměnných, a protože jsou tvořeny vzájemnými korelacemi .

Korelační funkce jsou užitečným indikátorem závislostí jako funkce vzdálenosti v čase nebo prostoru a lze je použít k vyhodnocení vzdálenosti požadované mezi body vzorkování, aby byly hodnoty účinně nekorelované. Kromě toho mohou tvořit základ pravidel pro interpolaci hodnot v bodech, pro které neexistují žádná pozorování.

Korelační funkce používané v astronomii , finanční analýze , ekonometrii a statistické mechanice se liší pouze v konkrétních stochastických procesech, na které jsou aplikovány. V kvantové teorii pole existují korelační funkce nad kvantovými distribucemi .

Definice

Pro možné odlišné náhodné proměnné X ( s ) a Y ( t ) v různých bodech s a t nějakého prostoru je korelační funkce

${\ displaystyle C (s, t) = \ operatorname {corr} (X (s), Y (t)),}$

kde je popsáno v článku o korelaci . V této definici se předpokládalo, že stochastické proměnné mají skalární hodnotu. Pokud tomu tak není, lze definovat složitější korelační funkce. Například pokud X ( s ) je náhodný vektor s n prvky a Y (t) je vektor s q prvky, pak je n × q matice korelačních funkcí definována s prvkem ${\ displaystyle \ operatorname {corr}}$${\ displaystyle i, j}$

${\ displaystyle C_ {ij} (s, t) = \ operatorname {corr} (X_ {i} (s), Y_ {j} (t)).}$

Když n = q , někdy se zaměřuje na stopu této matice. Pokud rozdělení pravděpodobnosti mají nějaké cílové prostorové symetrie, tj. Symetrie v hodnotovém prostoru stochastické proměnné (nazývané také vnitřní symetrie ), bude mít korelační matice indukované symetrie. Podobně, pokud existují symetrie prostorové (nebo časové) domény, ve které existují náhodné proměnné (nazývané také časoprostorové symetrie ), pak korelační funkce bude mít odpovídající prostorovou nebo časovou symetrii. Příklady důležitých symetrií časoprostoru jsou -

• translační symetrie poskytuje C ( s , s ') = C ( s  -  s '), kde s a s 'mají být interpretovány jako vektory udávající souřadnice bodů
• rotační symetrie kromě výše uvedeného dává C ( s , s ') = C (| s  -  s ' |) kde | x | označuje normu vektoru x (pro skutečné rotace je to euklidovská nebo 2-norma).

Korelační funkce vyšších řádů jsou často definovány. Typická korelační funkce řádu n je (úhlové závorky představují očekávanou hodnotu )

${\ displaystyle C_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {n}} (s_ {1}, s_ {2}, \ cdots, s_ {n}) = \ langle X_ {i_ {1}} ( s_ {1}) X_ {i_ {2}} (s_ {2}) \ cdots X_ {i_ {n}} (s_ {n}) \ rangle.}$

Pokud má náhodný vektor pouze jednu komponentní proměnnou, jsou indexy nadbytečné. Pokud existují symetrie, lze korelační funkci rozdělit na neredukovatelné reprezentace symetrií - vnitřní i časoprostorový. ${\ displaystyle i, j}$

Vlastnosti rozdělení pravděpodobnosti

S těmito definicemi je studium korelačních funkcí podobné studiu pravděpodobnostních distribucí . Mnoho stochastických procesů může být zcela charakterizováno jejich korelačními funkcemi; nejpozoruhodnějším příkladem je třída Gaussových procesů .

Distribuce pravděpodobnosti definované na konečný počet bodů lze vždy normalizovat, ale pokud jsou definovány v souvislých prostorech, je vyžadována zvláštní péče. Studium takových distribucí začalo studiem náhodných procházek a vedlo k představě kalkulu Itō .

Feynmanova cesta integrální v euklidovském prostoru to zobecňuje na další problémy, které jsou pro statistickou mechaniku zajímavé . Jakékoli rozdělení pravděpodobnosti, které se řídí podmínkou korelačních funkcí zvaných reflexní pozitivita, vede po Wickově rotaci k Minkowského časoprostoru k místní teorii kvantového pole (viz Osterwalder-Schraderovy axiomy ). Operace renormalizace je specifikovaná sada mapování z prostoru pravděpodobnostních distribucí na sebe. Kvantová teorie pole se nazývá renormalizable pokud toto mapování má pevný bod, který dává kvantová teorie pole.

Viz také

• Autokorelace
• Korelace neznamená příčinnou souvislost
• Correlogram
• Kovarianční funkce
• Pearsonův korelační koeficient produkt-moment
• Korelační funkce (astronomie)
• Korelační funkce (statistická mechanika)
• Korelační funkce (teorie kvantového pole)
• Vzájemné informace
• Teorie zkreslení rychlosti
• Funkce radiálního rozdělení