Diskretizace Navier – Stokesových rovnic - Discretization of Navier–Stokes equations

Diskretizace z Navier-Stokesových je reformulaci rovnic tak, že mohou být aplikovány na výpočetní dynamiky tekutin . Lze použít několik metod diskretizace:

• Metoda konečného objemu
• Metoda konečných prvků
• Metoda konečných rozdílů

Metoda konečného objemu

Nestlačitelný tok

Začneme nestlačitelnou formou rovnice hybnosti. Rovnice byla rozdělena hustotou ( P = p/ρ ) a hustota byla absorbována do výrazu tělesné síly.

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné t}}+{\ frac {\ částečné u_ {i} u_ {j}} {\ částečné x_ {j}}} =-{\ frac {\ částečný P} {\ částečný x_ {i}}}+\ nu {\ frac {\ částečný ^{2} u_ {i}} {\ částečný x_ {j} \ částečný x_ {j}}}+f_ { i}}$

Rovnice je integrována do řídicího objemu výpočetní buňky.

${\ Displaystyle \ iiint _ {V} \ left [{\ frac {\ částečný u_ {i}} {\ částečný t}}+{\ frac {\ částečný u_ {i} u_ {j}} {\ částečný x_ { j}}} \ right] dV = \ iiint _ {V} \ left [-{\ frac {\ částečný P} {\ částečný x_ {i}}}+\ nu {\ frac {\ částečný ^{2} u_ {i}} {\ částečné x_ {j} \ částečné x_ {j}}}+f_ {i} \ vpravo] dV}$

Časově závislý termín a termín tělesné síly se předpokládají konstantní v celém objemu buňky. Gaussova věta se aplikuje na proudění tepla, tlakového gradientu a difúzní podmínek.

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné t}} V+\ iint _ {A} u_ {i} u_ {j} n_ {j} dA =-\ iint _ {A} Pn_ { i} dA+\ iint _ {A} \ nu {\ frac {\ částečný u_ {i}} {\ částečný x_ {j}}} n_ {j} dA+f_ {i} V}$

kde n je normála povrchu řídicího objemu a V je objem. Pokud je řídicí objem mnohostěn a hodnoty se předpokládají konstantní na každé ploše, integrály oblastí lze zapsat jako součty na každou plochu.

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné t}} V+\ součet _ {nbr} \ vlevo (u_ {i} u_ {j} n_ {j} A \ vpravo) _ {nbr} =-\ součet _ {nbr} \ vlevo (Pn_ {i} A \ vpravo) _ {nbr}+\ součet _ {nbr} \ vlevo (\ nu {\ frac {\ částečný u_ {i}} {\ částečný x_ {j}}} n_ {j} A \ right) _ {nbr}+f_ {i} V}$

kde dolní index nbr označuje hodnotu v libovolném daném obličeji.

Dvourozměrná rovnoměrně rozmístěná karteziánská mřížka

U dvourozměrné karteziánské mřížky lze rovnici rozšířit na

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} & {\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné t}} \ Delta x \ Delta y- \ left (u_ {i} u \ Delta y \ right) _ { w}+\ left (u_ {i} u \ Delta y \ right) _ {e}-\ left (u_ {i} v \ Delta x \ right) _ {s}+\ left (u_ {i} v \ Delta x \ right) _ {n} = \\ &-\ left (Pn_ {i} \ Delta y \ right) _ {w}-\ left (Pn_ {i} \ Delta y \ right) _ {e}- \ left (Pn_ {i} \ Delta x \ right) _ {s}-\ left (Pn_ {i} \ Delta x \ right) _ {n} \\ &-\ left (\ nu {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ částečný x}} \ Delta y \ vpravo) _ {w}+\ vlevo (\ nu {\ frac {\ částečný u_ {i}} {\ částečný x}} \ Delta y \ vpravo) _ {e}-\ left (\ nu {\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné y}} \ Delta x \ right) _ {s}+\ left (\ nu {\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ partial y}} \ Delta x \ right) _ {n}+f_ {i} \ end {aligned}}}$

Na střídavé mřížce je rovnice x hybnosti

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} & {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} \ Delta x \ Delta y- \ left (uu \ Delta y \ right) _ {w}+\ left (uu \ Delta y \ right) _ {e}-\ left (uv \ Delta x \ right) _ {s}+\ left (uv \ Delta x \ right) _ {n} = \\ &+\ left (P \ Delta y \ right) _ {w}-\ left (P \ Delta y \ right) _ {e}-\ left (\ nu {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ Delta y \ right) _ {w}+\ vlevo (\ nu {\ frac {\ částečný u} {\ částečný x}} \ Delta y \ pravý) _ {e}-\ vlevo (\ nu {\ frac {\ částečný u} {\ částečné y}} \ Delta x \ vpravo) _ {s}+\ vlevo (\ nu {\ frac {\ částečné u} {\ částečné y}} \ Delta x \ vpravo) _ {n}+f_ {x} \ end {aligned}}}$

a rovnice hybnosti y je

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} & {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} \ Delta x \ Delta y- \ left (vu \ Delta y \ right) _ {w}+\ left (vu \ Delta y \ right) _ {e}-\ left (vv \ Delta x \ right) _ {s}+\ left (vv \ Delta x \ right) _ {n} = \\ &+\ left (P \ Delta x \ right) _ {s}-\ left (P \ Delta x \ right) _ {n}-\ left (\ nu {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} \ Delta y \ right) _ {w}+\ vlevo (\ nu {\ frac {\ částečný v} {\ částečný x}} \ Delta y \ pravý) _ {e}-\ vlevo (\ nu {\ frac {\ částečný v} {\ částečné y}} \ Delta x \ vpravo) _ {s}+\ vlevo (\ nu {\ frac {\ částečný v} {\ částečný y}} \ Delta x \ vpravo) _ {n}+f_ {y} \ end {aligned}}}$

Cílem v tomto bodě je určit výrazy pro nominální hodnoty u , v a P a aproximovat deriváty pomocí aproximací konečných rozdílů . V tomto případě použijeme zpětný rozdíl pro časovou derivaci a centrální rozdíl pro prostorové derivace. Pro obě rovnice hybnosti se časová derivace stává

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné t}} = {\ frac {u_ {i}^{n} -u_ {i}^{n-1}} {\ Delta t} }}$

kde n je aktuální časový index a Δt je časový krok. Jako příklad pro prostorové deriváty se derivace v termínu difúze West-face v rovnici x hybnosti stává

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ right) _ {w} = {\ frac {u_ {I, J} -u_ {I-1, J}} {\ Delta x}}}$

kde I a J jsou indexy zájmové buňky x-hybnosti.

Metoda konečných prvků

Viz metoda konečných prvků

Metoda konečných rozdílů

Viz metoda konečných rozdílů