Konečný rozdíl - Finite difference

Konečný rozdíl je matematické vyjádření ve tvaru $f (x + b) - f (x + )$ . Je -li konečný rozdíl vydělen $b - a$ , získá se rozdílový kvocient . Aproximace derivátů podle konečných rozdílů hraje ústřední roli v konečných rozdílných metod pro numerické řešení diferenciálních rovnic , zejména okrajových úloh .

Některé relace opakování lze zapsat jako diferenciální rovnice nahrazením iteračního zápisu konečnými rozdíly.

Dnes je termín „konečný rozdíl“ často brán jako synonymum pro aproximace konečných rozdílů derivátů , zejména v kontextu numerických metod . Aproximace konečných rozdílů jsou kvocienty konečných rozdílů ve výše použité terminologii.

Konečné rozdíly zavedl Brook Taylor v roce 1715 a byly také studovány jako abstraktní samostatně stojící matematické objekty v dílech George Boole (1860), LM Milne-Thomson (1933) a Károly Jordan (1939). Konečné rozdíly vysledují jejich původ zpět k jednomu z algoritmů Josta Bürgiho ( c. 1592 ) a k práci jiných, včetně Isaaca Newtona . Formální počet konečných rozdílů lze považovat za alternativu k počtu nekonečně malých .

Základní typy

Tři typy konečných rozdílů. Centrální rozdíl kolem x dává nejlepší aproximaci derivace funkce v x.

Obvykle se uvažují tři základní typy: dopředné , zpětné a centrální konečné rozdíly.

Dopředu rozdíl , označený na funkce $f$ je funkce definovaná jako ${\ Displaystyle \ Delta _ {h} [f],}$

{\ Displaystyle \ Delta _ {h} [f] (x) = f (x+h) -f (x).}

V závislosti na aplikaci může být rozteč $h$ proměnná nebo konstantní. Pokud je vynecháno, $h$ je považováno za 1; to znamená,

{\ Displaystyle \ Delta [f] (x) = \ Delta _ {1} [f] (x) = f (x+1) -f (x).}

Dozadu rozdíl používá hodnoty funkce v $x$ a $x - h$ , místo hodnot na $x + h$ a $x$ :

{\ Displaystyle \ nabla _ {h} [f] (x) = f (x) -f (xh) = \ Delta _ {h} [f] (xh).}

Nakonec je centrální rozdíl dán vztahem

{\ Displaystyle \ delta _ {h} [f] (x) = f \ left (x+{\ tfrac {h} {2}} \ right) -f \ left (x-{\ tfrac {h} {2} } \ right) = \ Delta _ {h} [f] (x-{\ tfrac {h} {2}}).}

Vztah s deriváty

Konečný rozdíl se často používá jako aproximace derivátu, obvykle v numerické diferenciaci .

Derivát z funkce $f$ v bodě $x$ je definován limitem .

{\ Displaystyle f '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}}.}

Pokud má $h$ místo blížící se nuly pevnou (nenulovou) hodnotu, pak by byla napsána pravá strana výše uvedené rovnice

{\ Displaystyle {\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}} = {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x)} {h}}.}

Dopředný rozdíl dělený $h se$ tedy blíží derivaci, když $h$ je malá. Chybu v této aproximaci lze odvodit z Taylorovy věty . Za předpokladu, že $f$ je dvakrát diferencovatelné, máme

{\ Displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x)} {h}}-f '(x) = O (h) \ to 0 \ quad {\ text {as}} h \ to 0.}

Stejný vzorec platí pro zpětný rozdíl:

{\ Displaystyle {\ frac {\ nabla _ {h} [f] (x)} {h}}-f '(x) = O (h) \ to 0 \ quad {\ text {as}} h \ to 0.}

Centrální (také nazývaný středový) rozdíl však poskytuje přesnější aproximaci. Pokud je $f$ třikrát diferencovatelné,

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta _ {h} [f] (x)} {h}}-f '(x) = O \ left (h^{2} \ right).}

Hlavním problémem metody centrální diference je však to, že oscilační funkce mohou poskytnout nulovou derivaci. Pokud $f (nh) = 1$ pro $n$ liché, a $f (nh) = 2$ pro $n$ sudé, pak $f' (nh) = 0,$ pokud se vypočítá pomocí centrálního rozdílového schématu . To je obzvláště problematické, pokud je doména $f$ diskrétní. Viz také symetrický derivát

Autoři, pro které konečné rozdíly znamenají aproximace konečných rozdílů, definují dopředné/zpětné/centrální rozdíly jako kvocienty uvedené v této části (namísto použití definic uvedených v předchozí části).

Rozdíly vyššího řádu

Analogickým způsobem lze získat aproximace konečných rozdílů k derivacím vyšších řádů a diferenciálním operátorům. Například pomocí výše uvedeného centrálního rozdílového vzorce pro $f '( x +.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} h/2)$ a $f'(x - h / 2)$ a použitím vzorce centrální diference pro derivaci $f'$ v $x$ získáme aproximaci centrálního rozdílu druhé derivace $f$ :

Centrála druhého řádu: ${\ Displaystyle f '' (x) \ cca {\ frac {\ delta _ {h}^{2} [f] (x)} {h^{2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}}-{\ frac {f (x) -f (xh)} {h}}} {h}} = {\ frac {f (x+h) -2f (x)+f (xh)} {h^{2}}}.}$

Podobně můžeme rekurzivně aplikovat další diferenční vzorce.

Druhá objednávka vpřed: ${\ Displaystyle f '' (x) \ cca {\ frac {\ Delta _ {h}^{2} [f] (x)} {h^{2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x+2h) -f (x+h)} {h}}-{\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}}} {h}} = {\ frac {f ( x+2h) -2f (x+h)+f (x)} {h^{2}}}.}$

Druhý řád zpět: ${\ Displaystyle f '' (x) \ cca {\ frac {\ nabla _ {h}^{2} [f] (x)} {h^{2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x) -f (xh)} {h}}-{\ frac {f (xh) -f (x-2h)} {h}}} {h}} = {\ frac {f (x) -2f (xh)+f (x-2h)} {h^{2}}}.}$

Obecněji platí, že $n$ -té pořadí vpřed, vzad a centrální rozdíly jsou dány, resp.

Vpřed: ${\ Displaystyle \ Delta _ {h}^{n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0}^{n} (-1)^{ni} {\ binom {n} {i}} f {\ bigl (} x+ih {\ bigr)},}$

nebo pro $h = 1$ ,

{\ Displaystyle \ Delta^{n} [f] (x) = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} (-1)^{nk} f (x+ k)}

Dozadu: ${\ Displaystyle \ nabla _ {h}^{n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0}^{n} (-1)^{i} {\ binom {n} {i}} f (x-ih),}$

Centrální: ${\ Displaystyle \ delta _ {h}^{n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0}^{n} (-1)^{i} {\ binom {n} {i}} f \ left (x+\ left ({\ frac {n} {2}}-i \ right) h \ right).}$

Tyto rovnice používají binomické koeficienty za součtovým znaménkem zobrazeným jako $(n i)$ . Každý řádekPascalova trojúhelníkuposkytuje koeficient pro každou hodnotu $i$ .

Všimněte si, že střední rozdíl bude, pro liché $n$ , mají $h$ vynásobený non-celá čísla. To je často problém, protože to znamená změnu intervalu diskretizace. Problém lze vyřešit průměrem $δ n [f] (x - h / 2)$ a $δ n [f] (x + h / 2)$ .

Dopředné rozdíly aplikované na sekvenci se někdy nazývají binomická transformace sekvence a mají řadu zajímavých kombinatorických vlastností. Předběžné rozdíly lze vyhodnotit pomocí integrálu Nörlund – Rice . Integrální reprezentace pro tyto typy sérií je zajímavá, protože integrál lze často vyhodnotit pomocí asymptotické expanze nebo technik sedlového bodu ; naproti tomu dopředné diferenční řady může být extrémně těžké numericky vyhodnotit, protože binomické koeficienty rychle rostou pro velká $n$ .

Vztah těchto rozdílů vyššího řádu s příslušnými deriváty je přímočarý,

{\ Displaystyle {\ frac {d^{n} f} {dx^{n}}} (x) = {\ frac {\ Delta _ {h}^{n} [f] (x)} {h^ {n}}}+O (h) = {\ frac {\ nabla _ {h}^{n} [f] (x)} {h^{n}}}+O (h) = {\ frac { \ delta _ {h}^{n} [f] (x)} {h^{n}}}+O \ vlevo (h^{2} \ vpravo).}

Rozdíly vyššího řádu lze také použít ke konstrukci lepších aproximací. Jak bylo uvedeno výše, rozdíl prvního řádu se blíží derivaci prvního řádu až do termínu řádu $h$ . Nicméně kombinace

{\ Displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x)-{\ frac {1} {2}} \ Delta _ {h}^{2} [f] (x)} {h} } =-{\ frac {f (x+2h) -4f (x+h)+3f (x)} {2h}}}

aproximuje $f'(x)$ až do termínu řádu $h 2$ . To lze dokázat rozšířením výše uvedeného výrazu v Taylorových řadách nebo pomocí počtu konečných rozdílů, vysvětleného níže.

V případě potřeby lze konečný rozdíl vycentrovat na jakýkoli bod smícháním dopředných, zpětných a centrálních rozdílů.

Jádra libovolné velikosti

Pomocí lineární algebry lze konstruovat aproximace konečných rozdílů, které využívají libovolný počet bodů vlevo a (případně jiný) počet bodů vpravo od vyhodnocovacího bodu pro libovolnou řádovou derivaci. To zahrnuje řešení lineárního systému tak, aby Taylorova expanze součtu těchto bodů kolem vyhodnocovacího bodu nejlépe odpovídala Taylorově expanzi požadované derivace. Takové vzorce lze znázornit graficky na šestiúhelníkové nebo kosočtverečné mřížce.

To je užitečné pro odlišení funkce na mřížce, kde když se člověk přiblíží k okraji mřížky, musí na jedné straně vzorkovat méně a méně bodů.

Podrobnosti jsou uvedeny v těchto poznámkách .

Konečných diferencí Koeficienty kalkulačka konstrukce konečných rozdílných přiblížení pro nestandardní (a dokonce i non-celočíselné) šablony daných libovolné šablony a požadovaný derivát pořadí.

Vlastnosti

Pro všechna kladná $k$ a $n$

{\ Displaystyle \ Delta _ {kh}^{n} (f, x) = \ sum \ limits _ {i_ {1} = 0}^{k-1} \ sum \ limits _ {i_ {2} = 0 }^{k-1} \ cdots \ sum \ limits _ {i_ {n} = 0}^{k-1} \ Delta _ {h}^{n} \ left (f, x+i_ {1} h +i_ {2} h +\ cdots +i_ {n} h \ right).}

Leibnizovo pravidlo :

{\ Displaystyle \ Delta _ {h}^{n} (fg, x) = \ sum \ limits _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} \ Delta _ {h}^ {k} (f, x) \ Delta _ {h}^{nk} (g, x+kh).}

V diferenciálních rovnicích

Důležitá aplikace konečných rozdílů je v numerické analýze , zejména v numerických diferenciálních rovnicích , jejichž cílem je numerické řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic . Cílem je nahradit deriváty objevující se v diferenciální rovnici konečnými rozdíly, které je aproximují. Výsledné metody se nazývají metody konečných rozdílů .

Běžné aplikace metody konečných rozdílů jsou ve výpočetních vědách a technických oborech, jako je tepelné inženýrství , mechanika tekutin atd.

Newtonova série

Série Newton se skládá z výrazů Newtonovy dopředné diferenční rovnice pojmenované po Isaacovi Newtonovi ; v podstatě je to Newtonův interpolační vzorec , poprvé publikovaný v jeho Principia Mathematica v roce 1687, konkrétně diskrétní analog kontinuální Taylorovy expanze,

${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^{\ infty} {\ frac {\ Delta ^{k} [f] (a)} {k!}} \, (xa) _ { k} = \ sum _ {k = 0} ^{\ infty} {\ binom {xa} {k}} \, \ Delta ^{k} [f] (a),}$

který platí pro jakoukoli polynomickou funkci $f$ a pro mnoho (ale ne všechny) analytické funkce (neplatí, když $f$ je exponenciální typ . To je snadno vidět, protože sinusová funkce mizí při celočíselných násobcích ; odpovídající Newtonova řada je identicky nulová , protože všechny konečné rozdíly jsou v tomto případě nulové. Přesto je jasné, že sinusová funkce není nulová.). Tady ten výraz ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle \ pi}$

{\ displaystyle {\ binom {x} {k}} = {\ frac {(x) _ {k}} {k!}}}

je binomický koeficient a

{\ Displaystyle (x) _ {k} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-k+1)}

je " klesající faktoriál " nebo "nižší faktoriál", zatímco prázdný součin $(x) 0$ je definován jako 1. V tomto konkrétním případě existuje předpoklad jednotkových kroků pro změny hodnot $x, h = 1$ generalizace níže.

Všimněte si formální shody tohoto výsledku s Taylorovou větou . Historicky to, stejně jako identita Chu -Vandermonde ,

{\ Displaystyle (x+y) _ {n} = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} (x) _ {nk} \, (y) _ {k },}

(z toho vyplývající a odpovídající binomické větě ) jsou zahrnuty v pozorováních, která dospěla do systému umbrálního počtu .

Abychom ilustrovali, jak lze ve skutečné praxi použít Newtonův vzorec, zvažte několik prvních podmínek zdvojnásobení Fibonacciho posloupnosti $f = 2, 2, 4, ...$ Polynom, který tyto hodnoty reprodukuje, lze najít tak , že nejprve vypočítáme rozdílovou tabulku, a poté nahrazení rozdílů, které odpovídají $x 0$ (podtrženo) do vzorce následujícím způsobem,

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {array} {| c || c | c | c |} | \ hline x & f = \ Delta ^{0} & \ Delta ^{1} & \ Delta ^{2 } \\\ hline 1 & {\ podtržení {2}} && \\ && {\ podtržení {0}} & \\ 2 & 2 && {\ podtržení {2}} \\ && 2 & \\ 3 & 4 && \\\ hline \ end {array} } & \ quad {\ begin {aligned} f (x) & = \ Delta ^{0} \ cdot 1+ \ Delta ^{1} \ cdot {\ dfrac {(x-x_ {0}) _ {1} } {1!}}+\ Delta ^{2} \ cdot {\ dfrac {(x-x_ {0}) _ {2}} {2!}} \ Quad (x_ {0} = 1) \\\ \ & = 2 \ cdot 1+0 \ cdot {\ dfrac {x-1} {1}}+2 \ cdot {\ dfrac {(x-1) (x-2)} {2}} \\\\ & = 2+(x-1) (x-2) \\\ end {zarovnaný}} \ end {matrix}}}

Pro případ nejednotných kroků v hodnotách $x$ vypočítá Newton dělené rozdíly ,

{\ Displaystyle \ Delta _ {j, 0} = y_ {j}, \ qquad \ Delta _ {j, k} = {\ frac {\ Delta _ {j+1, k-1}-\ Delta _ {j , k-1}} {x_ {j+k} -x_ {j}}} \ quad \ ni \ quad \ left \ {k> 0, \; j \ leq \ max \ left (j \ right) -k \ right \}, \ qquad \ Delta 0_ {k} = \ Delta _ {0, k}}

řada produktů,

{\ Displaystyle {P_ {0}} = 1, \ quad \ quad P_ {k+1} = P_ {k} \ cdot \ left (\ xi -x_ {k} \ right),}

a výsledný polynom je skalární součin ,

{\ Displaystyle f (\ xi) = \ Delta 0 \ cdot P \ left (\ xi \ right)}

.

Při analýze se $p$ -adic čísly , Mahlerův teorém říká, že předpoklad, že $f$ je polynom funkce může být oslabena až k předpokladu, že $f$ je pouze spojité.

Carlsonova věta poskytuje nezbytné a dostatečné podmínky pro to, aby byla Newtonova řada jedinečná, pokud existuje. Newtonova řada však obecně neexistuje.

Série Newton, společně se sériemi Stirling a Selberg , je zvláštním případem řady obecných rozdílů , z nichž všechny jsou definovány z hlediska vhodně zmenšených dopředných rozdílů.

V komprimované a mírně obecnější formě a stejně vzdálených uzlech vzorec čte

{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} {\ binom {\ frac {xa} {h}} {k}} \ sum _ {j = 0}^{k} (-1)^ {kj} {\ binom {k} {j}} f (a+jh).}

Počet konečných rozdílů

Dopředný rozdíl lze považovat za operátor , nazývaný diferenční operátor , který mapuje funkci $f$ na $Δ h [f]$ . Tento operátor činí

{\ displaystyle \ Delta _ {h} = T_ {h} -I,}

kde $T h$ je operátor posunu s krokem h , definovaným $T h [f] (x) = f (x + h)$ , a $I$ je operátor identity .

Konečný rozdíl vyšších řádů lze definovat rekurzivně jako $Δ n h \equiv Δ h (Δ n - 1 hodina)$ . Další ekvivalentní definice je $Δ n h = [T h - I] n$ .

Rozdíl operátor $Δ h$ je lineární operátor , jako takový, že splňuje $delta h [αf + βg] (x) = alfa Δ h [f] (x) + beta Δ h [g] (x)$ .

Splňuje také speciální Leibnizovo pravidlo uvedené výše, $Δ h (f (x) g (x)) = (Δ h f (x)) g (x + h) + f (x) (Δ h g (x))$ . Podobná tvrzení platí pro zpětné a centrální rozdíly.

Formálně použitím Taylorovy řady s ohledem na $h$ se získá vzorec

{\ Displaystyle \ Delta _ {h} = hD+{\ frac {1} {2!}} h^{2} D^{2}+{\ frac {1} {3!}} h^{3} D ^{3}+\ cdots = \ mathrm {e} ^{hD} -I,}

kde $D$ označuje derivační operátor kontinua, mapování $f$ na jeho derivát $f'$ . Rozšíření je platné, když obě strany působí na analytické funkce , po dostatečně malou $h$ . Tak, $T h = e hD$ , a formálně invertující exponenciální výtěžky

{\ Displaystyle hD = \ log (1+ \ Delta _ {h}) = \ Delta _ {h}-{\ tfrac {1} {2}} \ Delta _ {h}^{2}+{\ tfrac { 1} {3}} \ Delta _ {h}^{3}-\ cdots.}

Tento vzorec platí v tom smyslu, že oba operátory dávají při použití na polynom stejný výsledek.

I u analytických funkcí není zaručeno, že se řady vpravo budou sbíhat; může to být asymptotická série . Lze jej však použít k získání přesnějších aproximací derivátu. Například zachováním prvních dvou členů řady vznikne aproximace druhého řádu na $f'(x)$ zmíněná na konci části Rozdíly vyššího řádu .

Analogické vzorce pro operátory zpětného a centrálního rozdílu jsou

{\ Displaystyle hD =-\ log (1- \ nabla _ {h}) \ quad {\ text {and}} \ quad hD = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ delta _ {h} \ vpravo).}

Počet konečných rozdílů souvisí s umbrálním počtem kombinatoriky. Tato pozoruhodně systematická korespondence je dána identitou komutátorů umbrálních veličin k jejich analogům kontinua ( $h \to 0$ limitů),

${\ Displaystyle \ left [{\ frac {\ Delta _ {h}} {h}}, x \, T_ {h}^{-1} \ right] = [D, x] = I.}$

Velký počet formálních diferenciálních vztahů standardního počtu zahrnujícího funkce $f (x)$ tak systematicky mapuje analogie umbrálních konečných rozdílů zahrnující $f (xT -1 h)$ .

Například umbrální analog monomiální $x n$ je zobecněním výše uvedeného klesajícího faktoriálu ( Pochhammerův symbol k ),

{\ Displaystyle ~ (x) _ {n} \ equiv \ left (xT_ {h}^{-1} \ right)^{n} = x (xh) (x-2h) \ cdots {\ bigl (} x -(n-1) h {\ bigr)},}

aby

{\ Displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h}} {h}} (x) _ {n} = n (x) _ {n-1},}

proto výše uvedený Newtonův interpolační vzorec (porovnáním koeficientů při expanzi libovolné funkce $f (x)$ v takových symbolech) atd.

Například umbrální sinus je

{\ Displaystyle \ sin \ left (x \, T_ {h}^{-1} \ right) = x-{\ frac {(x) _ {3}} {3!}}+{\ frac {(x ) _ {5}} {5!}}-{\ frac {(x) _ {7}} {7!}}+\ Cdots}

Stejně jako v limitu kontinua, vlastní funkce $Δ h / h$ je také exponenciální,

{\ Displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h}} {h}} (1+ \ lambda h)^{\ frac {x} {h}} = {\ frac {\ Delta _ {h}} {h }} e^{\ ln (1+ \ lambda h) {\ frac {x} {h}}} = \ lambda e^{\ ln (1+ \ lambda h) {\ frac {x} {h}} },}

a proto jsou Fourierovy součty funkcí kontinua snadno mapovány na umbrální Fourierovy součty věrně , tj. zahrnující stejné Fourierovy koeficienty násobící tyto exponenciály umbrálního základu. Tato umbral exponenciální tak představuje exponenciální funkci generující z symbolů Pochhammer .

Funkce Dirac delta se tedy například mapuje na svého mozkového korespondenta, kardinální sinusovou funkci ,

{\ Displaystyle \ delta (x) \ mapsto {\ frac {\ sin \ left [{\ frac {\ pi} {2}} \ left (1+{\ frac {x} {h}} \ right) \ right ]} {\ pi (x+h)}},}

a tak dále. Diferenční rovnice lze často řešit technikami velmi podobnými technikám pro řešení diferenciálních rovnic .

Inverzní operátor dopředného rozdílového operátoru, tedy pak umbrální integrál, je neurčitý součet nebo antidiferenční operátor.

Pravidla pro počet operátorů konečných rozdílů

Analogicky s pravidly pro hledání derivátu máme:

Konstantní pravidlo : Pokud $c$ je konstanta , pak

{\ displaystyle \ Delta c = 0}

Linearita : pokud $a$ a $b$ jsou konstanty ,

{\ Displaystyle \ Delta (af+bg) = a \, \ Delta f+b \, \ Delta g}

Všechna výše uvedená pravidla platí stejně dobře pro všechny rozdílové operátory, včetně $\nabla$ jako $Δ$ .

Pravidlo produktu :

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta (fg) & = f \, \ Delta g+g \, \ Delta f+\ Delta f \, \ Delta g \\\ nabla (fg) & = f \, \ nabla g+g \, \ nabla f- \ nabla f \, \ nabla g \ end {zarovnáno}}}

Kvocientové pravidlo :

{\ Displaystyle \ nabla \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) = {\ frac {1} {g}} \ det {\ begin {bmatrix} \ nabla f & \ nabla g \\ f & g \ end {bmatrix}} \ left (\ det {\ begin {bmatrix} g & \ nabla g \\ 1 & 1 \ end {bmatrix}} \ right)^{-1}}

nebo

{\ Displaystyle \ nabla \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) = {\ frac {g \, \ nabla ff \, \ nabla g} {g \ cdot (g- \ nabla g)} }}

Pravidla součtu :

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {n = a}^{b} \ Delta f (n) & = f (b+1) -f (a) \\\ sum _ {n = a} ^{b} \ nabla f (n) & = f (b) -f (a-1) \ end {zarovnáno}}}

Viz reference.

Zobecnění

Zobecnit konečný rozdíl je obvykle definována jako ${\ Displaystyle \ Delta _ {h}^{\ mu} [f] (x) = \ sum _ {k = 0}^{N} \ mu _ {k} f (x+kh),}$ kde $μ = (μ 0,\dots, μ N)$ je jeho vektor koeficientu. Nekonečný rozdíl je další zobecnění, kde konečný součet výše je nahrazena nekonečné řady . Dalším způsobem zobecnění je, aby koeficienty $μ k byly$ závislé na bodě $x$ : $μ k = μ k (x)$ , přičemž se vezme v úvahu vážený konečný rozdíl . Krok $h může také$ záviset na bodě $x$ : $h = h (x)$ . Takové zobecnění jsou užitečné pro konstrukci různých modulů spojitosti .
Zobecněný rozdíl lze vidět jako polynomické prstence $R [T h]$ . Vede k rozdílovým algebrám.
Operátor rozdílu generalizuje inverzi Möbius přes částečně uspořádanou sadu .
Jako konvoluční operátor: Prostřednictvím formalismu incidenčních algeber mohou být diferenční operátory a další Möbiova inverze reprezentovány konvolucí s funkcí na posetu, nazývanou Möbiova funkce $μ$ ; pro diferenční operátor $μ$ je posloupnost (1, −1, 0, 0, 0, ...) .

Vícenásobné konečné rozdíly

Konečné rozdíly lze uvažovat ve více než jedné proměnné. Jsou analogické parciálním derivacím v několika proměnných.

Některé částečné derivační aproximace jsou:

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} f_ {x} (x, y) & \ zhruba {\ frac {f (x+h, y) -f (xh, y)} {2h}} \\ f_ {y } (x, y) & \ zhruba {\ frac {f (x, y+k) -f (x, yk)} {2k}} \\ f_ {xx} (x, y) & \ zhruba {\ frac {f (x+h, y) -2f (x, y)+f (xh, y)} {h^{2}}} \\ f_ {yy} (x, y) & \ zhruba {\ frac { f (x, y+k) -2f (x, y)+f (x, yk)} {k^{2}}} \\ f_ {xy} (x, y) & \ zhruba {\ frac {f (x+h, y+k) -f (x+h, yk) -f (xh, y+k)+f (xh, yk)} {4hk}}. \ end {zarovnáno}}}

Alternativně pro aplikace, ve kterých je výpočet $f$ nejnákladnějším krokem a musí být vypočítán první i druhý derivát, je účinnějším vzorcem pro poslední případ

{\ Displaystyle f_ {xy} (x, y) \ zhruba {\ frac {f (x+h, y+k) -f (x+h, y) -f (x, y+k)+2f (x , y) -f (xh, y) -f (x, yk)+f (xh, yk)} {2hk}},}

protože jediné hodnoty pro výpočet, které již nejsou potřebné pro předchozí čtyři rovnice, jsou $f (x + h, y + k)$ a $f (x - h, y - k)$ .

Viz také

Reference

^ ^a ^b ^c Paul Wilmott; Sam Howison; Jeff Dewynne (1995). Matematika finančních derivátů: studentský úvod . Cambridge University Press. p. 137 . ISBN 978-0-521-49789-3.
^ ^a ^b ^c Peter Olver (2013). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic . Springer Science & Business Media. p. 182. ISBN 978-3-319-02099-0.
^ ^a ^b ^c M Hanif Chaudhry (2007). Tok otevřeného kanálu . Springer. p. 369. ISBN 978-0-387-68648-6.
^ Jordán, op. cit., s. 1 a Milne-Thomson, s. xxi. Milne-Thomson, Louis Melville (2000): The Calculus of Finite Differences (Chelsea Pub Co, 2000) ISBN 978-0821821077
^ Fraser, Duncan C. (1. ledna 1909). „K grafickému vymezení interpolačního formuláře“ . Časopis Institutu pojistných matematiků . 43 (2): 235–241. doi : 10,1017/S002026810002494X . Citováno 17. dubna 2017 .
^ Newton, Isaac, (1687). Principia , kniha III, Lemma V, případ 1
^ Richtmeyer, D. a Morton, KW, (1967). Diferenční metody pro problémy počáteční hodnoty , 2. vydání, Wiley, New York.
^ Boole, George , (1872). Pojednání o počtu konečných rozdílů , 2. vydání, Macmillan a společnost. Online . Také [Dover edition 1960]
^ Jordan, Charles, (1939/1965). „Kalkul konečných rozdílů“, Chelsea Publishing. On-line: [1]
^ Zachos, C. (2008). „Umbrální deformace na diskrétním časoprostoru“. International Journal of Modern Physics A . 23 (13): 2005–2014. arXiv : 0710.2306 . Bibcode : 2008IJMPA..23.2005Z . doi : 10,1142/S0217751X08040548 . S2CID 16797959 .
^ Curtright, TL; Zachos, CK (2013). „Umbral Vade Mecum“ . Hranice ve fyzice . 1 : 15. arXiv : 1304.0429 . Bibcode : 2013FrP ..... 1 ... 15C . doi : 10,3389/fphy.2013.00015 . S2CID 14106142 .
^ Levy, H .; Lessman, F. (1992). Rovnice konečných rozdílů . Dover. ISBN 0-486-67260-3.
^ Ames, WF, (1977). Numerické metody pro parciální diferenciální rovnice , oddíl 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1 .
^ Hildebrand, FB , (1968). Rovnice a simulace konečných rozdílů , oddíl 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
^ Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (1995). „Mellinovy transformace a asymptotika: konečné rozdíly a Riceovy integrály“ (PDF) . Teoretická počítačová věda . 144 (1–2): 101–124. doi : 10,1016/0304-3975 (94) 00281-M ..

Richardson, CH (1954): Úvod do kalkulu konečných rozdílů (Van Nostrand (1954) online kopie
Mickens, RE (1991): Diferenční rovnice: Teorie a aplikace (Chapman a Hall/CRC) ISBN 978-0442001360

externí odkazy

[WilmottHowison1995-1] Paul Wilmott; Sam Howison; Jeff Dewynne (1995). Matematika finančních derivátů: studentský úvod . Cambridge University Press. p. 137 . ISBN 978-0-521-49789-3.

[Olver2013-2] Peter Olver (2013). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic . Springer Science & Business Media. p. 182. ISBN 978-3-319-02099-0.

[Chaudhry2007-3] M Hanif Chaudhry (2007). Tok otevřeného kanálu . Springer. p. 369. ISBN 978-0-387-68648-6.

[4] Jordán, op. cit., s. 1 a Milne-Thomson, s. xxi. Milne-Thomson, Louis Melville (2000): The Calculus of Finite Differences (Chelsea Pub Co, 2000) ISBN 978-0821821077

[5] Fraser, Duncan C. (1. ledna 1909). „K grafickému vymezení interpolačního formuláře“ . Časopis Institutu pojistných matematiků . 43 (2): 235–241. doi : 10,1017/S002026810002494X . Citováno 17. dubna 2017 .

[6] Newton, Isaac, (1687). Principia , kniha III, Lemma V, případ 1

[7] Richtmeyer, D. a Morton, KW, (1967). Diferenční metody pro problémy počáteční hodnoty , 2. vydání, Wiley, New York.

[8] Boole, George , (1872). Pojednání o počtu konečných rozdílů , 2. vydání, Macmillan a společnost. Online . Také [Dover edition 1960]

[9] Jordan, Charles, (1939/1965). „Kalkul konečných rozdílů“, Chelsea Publishing. On-line: [1]

[10] Zachos, C. (2008). „Umbrální deformace na diskrétním časoprostoru“. International Journal of Modern Physics A . 23 (13): 2005–2014. arXiv : 0710.2306 . Bibcode : 2008IJMPA..23.2005Z . doi : 10,1142/S0217751X08040548 . S2CID 16797959 .

[11] Curtright, TL; Zachos, CK (2013). „Umbral Vade Mecum“ . Hranice ve fyzice . 1 : 15. arXiv : 1304.0429 . Bibcode : 2013FrP ..... 1 ... 15C . doi : 10,3389/fphy.2013.00015 . S2CID 14106142 .

[12] Levy, H .; Lessman, F. (1992). Rovnice konečných rozdílů . Dover. ISBN 0-486-67260-3.

[13] Ames, WF, (1977). Numerické metody pro parciální diferenciální rovnice , oddíl 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1 .

[14] Hildebrand, FB , (1968). Rovnice a simulace konečných rozdílů , oddíl 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

[15] Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (1995). „Mellinovy transformace a asymptotika: konečné rozdíly a Riceovy integrály“ (PDF) . Teoretická počítačová věda . 144 (1–2): 101–124. doi : 10,1016/0304-3975 (94) 00281-M ..

Languages

In other projects