Vzdálenost od bodu k přímce - Distance from a point to a line

V euklidovské geometrii je vzdálenost od bodu k přímce nejkratší vzdáleností od daného bodu k jakémukoli bodu na nekonečné přímce . Je to kolmá vzdálenost bodu k přímce, délka úsečky, která spojuje bod s nejbližším bodem na přímce. Vzorec pro jeho výpočet lze odvodit a vyjádřit několika způsoby.

Znát vzdálenost od bodu k čáře může být užitečné v různých situacích - například při hledání nejkratší vzdálenosti k dosažení silnice, kvantifikaci rozptylu na grafu atd. V Demingově regresi je typ přizpůsobení lineární křivky, pokud závislé a nezávislé proměnné mají stejný rozptyl, což má za následek ortogonální regresi, ve které se stupeň nedokonalosti lícování měří pro každý datový bod jako kolmá vzdálenost bodu od regresní přímky.

Kartézské souřadnice

Přímka definovaná rovnicí

V případě přímky v rovině dané rovnicí osy + o + c = 0 , kde a , b a c jsou skutečné konstanty s a a b ne obě nulové, vzdálenost od přímky k bodu ( x ₀ , y ₀ ) je

${\ displaystyle \ operatorname {distance} (ax+by+c = 0, (x_ {0}, y_ {0})) = {\ frac {| ax_ {0}+by_ {0}+c |} {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Bod na této přímce, který je nejblíže ( x ₀ , y ₀ ), má souřadnice:

${\ Displaystyle x = {\ frac {b (bx_ {0} -ay_ {0})-ac} {a^{2}+b^{2}}} {\ text {and}} y = {\ frac {a (-bx_ {0}+ay_ {0})-bc} {a^{2}+b^{2}}}.}$

Vodorovné a svislé čáry

V obecné rovnice čáry, ax + o + c = 0 , a b mohou být oba nula, pokud C je také nulový, přičemž v tomto případě se rovnice nedefinuje čáru. Pokud a = 0 a b ≠ 0 , je čára vodorovná a má rovnici y = - C/b. Vzdálenost od ( x ₀ , y ₀ ) k této přímce se měří podél svislé úsečky délky | y ₀ - ( -C/b) | =| od ₀ + c |/| b |podle vzorce. Podobně u svislých čar ( b = 0) je vzdálenost mezi stejným bodem a přímkou| sekera ₀ + c |/| a |, měřeno podél vodorovného segmentu.

Přímka definovaná dvěma body

Pokud přímka prochází dvěma body P ₁ = ( x ₁ , y ₁ ) a P ₂ = ( x ₂ , y ₂ ), pak vzdálenost ( x ₀ , y ₀ ) od přímky je:

${\ displaystyle \ operatorname {distance} (P_ {1}, P_ {2}, (x_ {0}, y_ {0})) = {\ frac {| (x_ {2} -x_ {1}) (y_ {1} -y_ {0})-(x_ {1} -x_ {0}) (y_ {2} -y_ {1}) |} {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1})^ {2}+(y_ {2} -y_ {1})^{2}}}}.}$

Jmenovatelem tohoto výrazu je vzdálenost mezi P ₁ a P ₂ . Čitatel je dvojnásobkem plochy trojúhelníku s jeho vrcholy ve třech bodech ( x ₀ , y ₀ ) , P ₁ a P ₂ . Viz: Plocha trojúhelníku § Použití souřadnic . Výraz je ekvivalentní h =2 A./b, které lze získat přeskupením standardního vzorce pro oblast trojúhelníku: A =1/2 bh , kde b je délka strany a h je kolmá výška od opačného vrcholu.

Přímka definovaná bodem a úhlem

Pokud přímka prochází bodem P = ( P _x , P _y ) s úhlem θ , pak vzdálenost nějakého bodu ( x ₀ , y ₀ ) k přímce je

${\ displaystyle \ operatorname {distance} (P, \ theta, (x_ {0}, y_ {0})) = | \ cos (\ theta) (P_ {y} -y_ {0})-\ sin (\ theta) (P_ {x} -x_ {0}) |}$

Důkazy

Algebraický důkaz

Tento důkaz je platný pouze v případě, že přímka není ani svislá, ani vodorovná, tj. Předpokládáme, že ani a ani b v rovnici přímky není nula.

Přímka s rovnicí osa + o + c = 0 má sklon - a / b , takže každá přímka kolmá k ní bude mít sklon b / a (záporná reciproční hodnota). Nechť ( m , n ) je průsečík přímky osy + o + c = 0 a přímky na ni kolmé, která prochází bodem ( x ₀ , y ₀ ). Čára procházející těmito dvěma body je kolmá na původní čáru, takže

${\ displaystyle {\ frac {y_ {0} -n} {x_ {0} -m}} = {\ frac {b} {a}}.}$

Takže vydělením této rovnice získáme: ${\ Displaystyle a (y_ {0} -n) -b (x_ {0} -m) = 0,}$

${\ Displaystyle a^{2} (y_ {0} -n)^{2}+b^{2} (x_ {0} -m)^{2} = 2ab (y_ {0} -n) (x_ {0} -m).}$

Nyní zvažte,

${\ displaystyle {\ begin {aligned} (a (x_ {0} -m)+b (y_ {0} -n))^{2} & = a^{2} (x_ {0} -m)^ {2}+2ab (y_ {0} -n) (x_ {0} -m)+b^{2} (y_ {0} -n)^{2} \\ & = \ left (a^{2 }+b^{2} \ right) \ left ((x_ {0} -m)^{2}+(y_ {0} -n)^{2} \ right) \ end {aligned}}}$

pomocí výše uvedené čtvercové rovnice. Ale máme také,

${\ Displaystyle (a (x_ {0} -m)+b (y_ {0} -n))^{2} = (ax_ {0}+by_ {0} -am-bn)^{2} = ( ax_ {0}+podle_ {0}+c)^{2}}$

protože ( m , n ) je na ose + o + c = 0 . Tím pádem,

${\ Displaystyle \ left (a^{2}+b^{2} \ right) \ left ((x_ {0} -m)^{2}+(y_ {0} -n)^{2} \ right ) = (ax_ {0}+by_ {0}+c)^{2}}$

a získáme délku úsečky určenou těmito dvěma body,

${\ Displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {0} -m)^{2}+(y_ {0} -n)^{2}}} = {\ frac {| ax_ {0}+od_ {0 }+c |} {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Geometrický důkaz

Tento důkaz je platný pouze v případě, že čára není vodorovná nebo svislá.

Odpojení kolmo od bodu P o souřadnicích ( x ₀ , y ₀ ) do souladu s rovnice Ax + By + C = 0. Label úpatí kolmé R . Nakreslit svislou čáru přes P a označit jeho průsečíku s danou linii S . V libovolném bodě T na přímce nakreslete pravoúhlý trojúhelník TVU, jehož strany jsou vodorovné a svislé úsečky s přeponou TU na dané přímce a vodorovnou stranou délky | B | (viz diagram). Svislá strana ∆ TVU bude mít délku | A | od linky má sklon - A / B .

∆ PRS a ∆ TVU jsou podobné trojúhelníky , protože jsou oba pravoúhlé a ∠ PSR ≅ ∠ TUV, protože jsou odpovídajícími úhly příčné k rovnoběžným čarám PS a UV (obě jsou svislé čáry). Odpovídající strany těchto trojúhelníků jsou ve stejném poměru, takže:

${\ displaystyle {\ frac {| {\ overline {PR}} |} {| {\ overline {PS}} |}}} = {\ frac {| {\ overline {TV}} |} {| {\ \ overline { TU}} |}}.}$

Pokud má bod S souřadnice ( x ₀ , m ), pak | PS | = | y ₀ - m | a vzdálenost od P k přímce je:

${\ displaystyle | {\ overline {PR}} | = {\ frac {| y_ {0} -m || B |} {\ sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$

Protože S je na přímce, můžeme najít hodnotu m,

${\ displaystyle m = {\ frac {-Ax_ {0} -C} {B}},}$

a nakonec získat:

${\ displaystyle | {\ overline {PR}} | = {\ frac {| Ax_ {0}+By_ {0}+C |} {\ sqrt {A^{2}+B^{2}}}}. }$

Variace tohoto důkazu je umístit V na P a vypočítat plochu trojúhelníku Δ UVT dva způsoby, jak získat, že pokud D je výška delta UVT přitahuje přepony delta UVT z P . Vzorec vzdálenosti pak lze použít k vyjádření , a pokud jde o souřadnice P a koeficienty rovnice přímky, abychom získali uvedený vzorec. ${\ displaystyle D | {\ overline {TU}} | = | {\ overline {VU}} || {\ overline {VT}} |}$${\ displaystyle | {\ overline {TU}} |}$${\ displaystyle | {\ overline {VU}} |}$${\ displaystyle | {\ overline {VT}} |}$

Důkaz vektorové projekce

Nechť P je bod o souřadnicích ( x ₀ , y ₀ ) a nechat danou Řádkové rovnice ax + o + c = 0. Také, ať Q = ( x ₁ , y ₁ ) být libovolný bod na tomto řádku a n vektor ( , b ) začíná v bodě Q . Vektor n je kolmý na přímku a vzdálenost d od bodu P k přímce se rovná délce ortogonálního průmětu na n . Délka této projekce je dána vztahem: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {QP}}}$

${\ displaystyle d = {\ frac {| {\ overrightarrow {QP}} \ cdot \ mathbf {n} |} {\ | \ mathbf {n} \ |}}.}$

Nyní,

${\ displaystyle {\ overrightarrow {QP}} = (x_ {0} -x_ {1}, y_ {0} -y_ {1}),}$tak a${\ displaystyle {\ overrightarrow {QP}} \ cdot \ mathbf {n} = a (x_ {0} -x_ {1})+b (y_ {0} -y_ {1})}$${\ Displaystyle \ | \ mathbf {n} \ | = {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}},}$

tím pádem

${\ Displaystyle d = {\ frac {| a (x_ {0} -x_ {1})+b (y_ {0} -y_ {1}) |} {\ sqrt {a^{2}+b^{ 2}}}}.}$

Protože Q je bod na přímce,, a tak, ${\ displaystyle c = -ax_ {1} -by_ {1}}$

${\ Displaystyle d = {\ frac {| ax_ {0}+by_ {0}+c |} {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Přestože je vzdálenost udávána jako modul, znaménko může být užitečné pro určení, na které straně čáry se bod nachází, v určitém smyslu určeném směrem normálového vektoru (a, b)

Další vzorec

Je možné vytvořit další výraz pro nalezení nejkratší vzdálenosti bodu k čáře. Toto odvození také vyžaduje, aby čára nebyla svislá ani vodorovná.

Bod P je dán souřadnicemi ( ). Rovnice přímky je dána vztahem . Rovnice normální této linie, která prochází bodem P je uveden . ${\ displaystyle x_ {0}, y_ {0}}$${\ Displaystyle y = mx+k}$${\ displaystyle y = {\ frac {x_ {0} -x} {m}}+y_ {0}}$

Bod, ve kterém se tyto dvě čáry protínají, je nejbližším bodem původní čáry k bodu P. Proto:

${\ Displaystyle mx+k = {\ frac {x_ {0} -x} {m}}+y_ {0}.}$

Tuto rovnici můžeme vyřešit pro x ,

${\ displaystyle x = {\ frac {x_ {0}+my_ {0} -mk} {m^{2} +1}}.}$

Y Souřadnice průsečíku lze nalézt nahrazením této hodnoty x do rovnice původní linie,

${\ Displaystyle y = m {\ frac {(x_ {0}+my_ {0} -mk)} {m^{2} +1}}+k.}$

Pomocí rovnice pro nalezení vzdálenosti mezi 2 body můžeme odvodit, že vzorec pro nalezení nejkratší vzdálenosti mezi přímkou ​​a bodem je následující: ${\ Displaystyle d = {\ sqrt {(X_ {2} -X_ {1})^{2}+(Y_ {2} -Y_ {1})^{2}}}}$

${\ Displaystyle d = {\ sqrt {\ left ({{\ frac {x_ {0}+my_ {0} -mk} {m^{2} +1}}-x_ {0}} \ right)^{ 2}+\ vlevo ({m {\ frac {x_ {0}+my_ {0} -mk} {m^{2} +1}}+k-y_ {0}} \ vpravo)^{2}} } = {\ frac {| k+mx_ {0} -y_ {0} |} {\ sqrt {1+m^{2}}}}.}$

Připomínáme, že m = - a / b a k = - c / b pro přímku s rovnicí ax + o + c = 0, trocha algebraického zjednodušení toto redukuje na standardní výraz.

Vektorové formulace

Rovnici přímky lze zadat ve vektorové podobě:

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {a} +t \ mathbf {n}}$

Zde a je bod na přímce a n je jednotkový vektor ve směru přímky. Poté, co se skalární t mění, x udává lokus přímky.

Vzdálenost libovolného bodu p k této přímce je dána vztahem

${\ displaystyle \ operatorname {distance} (\ mathbf {x} = \ mathbf {a} +t \ mathbf {n}, \ mathbf {p}) = \ | (\ mathbf {p} -\ mathbf {a}) -((\ \ mathbf {p} -\ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n} \ |.}$

Tento vzorec lze odvodit následovně: je vektor od a do bodu p . Pak je promítaná délka na čáru a tak ${\ displaystyle \ mathbf {p} -\ mathbf {a}}$${\ Displaystyle (\ mathbf {p} -\ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {n}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {a} +((\ mathbf {p} -\ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n}}$

je vektor, který je projekce na na vedení a představuje bod na přímce nejblíže . Tím pádem ${\ displaystyle \ mathbf {p} -\ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

${\ Displaystyle (\ mathbf {p} -\ mathbf {a}) -((\ \ mathbf {p} -\ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n}}$

je složka kolmá na přímku. Vzdálenost od bodu k přímce je pak jen normou toho vektoru. Tento obecnější vzorec není omezen na dvě dimenze. ${\ displaystyle \ mathbf {p} -\ mathbf {a}}$

Další vektorová formulace

V případě, že vektorový prostor je ortonormální a v případě, že linie prochází bodem A a má směr vektoru n , vzdálenost mezi bodem P a linka je

${\ Displaystyle \ operatorname {distance} (\ mathbf {x} = \ mathbf {a} +t \ mathbf {n}, \ mathbf {p}) = {\ frac {\ left \ | (\ mathbf {a} - \ mathbf {p}) \ times \ mathbf {n} \ right \ |} {\ | \ mathbf {n} \ |}}.}$

Křížové produkty existují pouze v rozměrech 3 a 7.

Viz také

• Hesenská normální forma
• Křižovatka přímka-čára
• Vzdálenost mezi dvěma čarami
• Vzdálenost od bodu k rovině
• Zkosené čáry#Vzdálenost

Poznámky

Reference

• Anton, Howard (1994), Elementární lineární algebra (7. vydání), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
• Ballantine, JP; Jerbert, AR (1952), „Vzdálenost od přímky nebo roviny k bodu“, American Mathematical Monthly , 59 (4): 242–243, doi : 10,2307/2306514 , JSTOR  2306514
• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus: Concise Course , Houghton Mifflin Co., ISBN 978-0-618-62719-6
• Španělsko, Barry (2007) [1957], Analytical Conics , Dover Publications, ISBN 978-0-486-45773-4
• Weisstein, Eric W. „Vzdálenost bod-čára-3-dimenzionální“ . MathWorld .

Další čtení

• Deza, Michel Marie ; Deza, Elena (2013), Encyclopedia of Distances (2. vyd.), Springer, s. 86, ISBN 9783642309588