Eberlein – Šmulianova věta - Eberlein–Šmulian theorem

V matematické oblasti funkční analýzy je Eberlein – Šmulianova věta (pojmenovaná podle Williama Fredericka Eberleina a Witolda Lwowitsche Schmuliana ) výsledkem, který spojuje tři různé druhy slabé kompaktnosti v Banachově prostoru .

Prohlášení

Eberlein – Šmulianova věta : Pokud X je Banachův prostor a A je podmnožina X , pak jsou následující tvrzení ekvivalentní:

1. každá posloupnost prvků A má subsekvenci, která je v X slabě konvergentní
2. každá posloupnost prvků A má v X slabý klastrový bod
3. slabé uzavření A je slabě kompaktní.

Sada A může být slabě kompaktní třemi různými způsoby:

• Sekvenční kompaktnost : Každá sekvence od A má konvergentní posloupnost, jehož hranice je v A .
• Limit bod kompaktnost : Každá nekonečná podmnožina A má mezní bod v A. .
• Kompaktnost (nebo kompaktnost Heine - Borel ): Každý otevřený kryt A připouští konečnou subkrytí.

Eberlein-Šmulianova věta uvádí, že tři jsou ekvivalentní při slabé topologii Banachova prostoru. I když tato ekvivalence obecně platí pro metrický prostor , slabá topologie není metrizovatelná v nekonečných dimenzionálních vektorových prostorech, a proto je potřeba Eberlein-Šmulianova věta.

Aplikace

Eberlein-Šmulianova věta je důležitá v teorii PDE , zejména v Sobolevových prostorech . Mnoho Sobolevových prostorů jsou reflexivní Banachovy prostory, a proto jsou omezené podmnožiny slabě předkompaktní Alaogluovou větou . Věta tedy naznačuje, že ohraničené podmnožiny jsou slabě postupně prekompaktní, a proto je z každé ohraničené sekvence prvků tohoto prostoru možné extrahovat subsekvenci, která se v prostoru slabě sbíhá. Protože mnoho PDE má řešení pouze ve slabém smyslu, je tato věta důležitým krokem při rozhodování, které prostory slabých řešení se mají použít při řešení PDE.

Viz také

• Banach – Alaogluova věta
• Bishop – Phelpsova věta
• Mazurovo lemma
• Jamesova věta
• Goldstinova věta

Reference

Bibliografie

• Conway, John B. (1990). Kurz funkční analýzy . Postgraduální texty z matematiky . 96 (2. vyd.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5.
• Dunford, N .; Schwartz, JT (1958), Lineární operátory, Část I , Wiley-Interscience.
• Whitley, RJ (1967), „Elementární důkaz Eberlein-Smulianovy věty“, Mathematische Annalen , 172 (2): 116–118, doi : 10,1007 / BF01350091.

Tento článek týkající se matematické analýzy je útržek . Wikipedii můžete pomoci rozšířením .

• proti
• t
• E