Etendue - Etendue

Etendue nebo étendue ( / ˌ eɪ t ɒ n d U / ; francouzská výslovnost: [etɑdy] ) je vlastnost světla v optickém systému , který charakterizuje jak „rozprostřené“ je světlo v oblasti a úhlu. Odpovídá součinu parametrů paprsku (BPP) v Gaussově paprskové optice. Další názvy pro etendue zahrnují přijetí , propustnost , světlo pochopení , světlo-shromažďování energie , optický rozsah , a AΩ produktu . Propustnost a produkt AΩ se používají zejména v radiometrii a radiačním přenosu, kde souvisí s faktorem pohledu (nebo faktorem tvaru). Je to ústřední koncept v nezobrazovací optice .

Ze zdrojové hlediska etendue je součin plochy zdroje a úhlu , že systém má vstupní clona svírá jak je patrné ze zdroje. Ekvivalentně, ze systémového hlediska, etendue se rovná ploše vstupní pupily krát pevném úhlu, který zdroj svírá, jak je vidět z zornice. Tyto definice musí být použity pro nekonečně malé „prvky“ plochy a pevného úhlu, které pak musí být sečteny přes zdroj i membránu, jak je uvedeno níže. Etendue lze považovat za objem ve fázovém prostoru .

Etendue nikdy neklesá v žádném optickém systému, kde je zachována optická energie. Dokonalý optický systém vytváří obraz se stejnou etendou jako zdroj. Etendue souvisí s Lagrangeovým invariantem a optickým invariantem , které sdílejí vlastnost konstantní v ideálním optickém systému. Záření z optického systému je rovna derivace zářivého toku vzhledem k etendue.

Definice

Etenda pro diferenciální povrchový prvek ve 2D (vlevo) a 3D (vpravo).

Nekonečně malý povrchový prvek dS s normálním n _S je ponořen do média indexu lomu n . Povrch prochází (nebo uvolňuje) lehké omezeno na úhlu, d w , v úhlu t Vstup s normální n _S . Plocha d S promítaná ve směru šíření světla je d S cos θ . Etenda tohoto světelného přechodu dS je definována jako

{\ Displaystyle \ mathrm {d} G = n^{2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ Omega.}

Etendue je součinem geometrického rozsahu a čtvercového indexu lomu média, kterým se paprsek šíří. Protože úhly, pevné úhly a indexy lomu jsou bezrozměrné veličiny , etendue je často vyjádřena v jednotkách plochy (dS). Alternativně však může být vyjádřen v jednotkách plochy (metry čtverečních) vynásobených pevným úhlem (steradiány).

Ochrana etendue

Jak je uvedeno níže, etendue je zachována, když světlo cestuje volným prostorem a při lomech nebo odrazech. Poté je také konzervováno, protože světlo prochází optickými systémy, kde podléhá dokonalým odrazům nebo lomům. Pokud by však světlo zasáhlo, řekněme, difuzor , jeho pevný úhel by se zvětšil, čímž by se etendu zvýšilo. Etendue pak může zůstat konstantní nebo se může zvyšovat, jak se světlo šíří optikou, ale nemůže klesat. To je přímým důsledkem rostoucí entropie , kterou je možné vrátit zpět pouze tehdy, když jsou apriorní znalosti použity k rekonstrukci fázově přizpůsobeného vlnového čela, jako je tomu u fázově konjugovaných zrcadel .

Zachování etendue lze odvodit v různých kontextech, například z optických prvních principů, z hamiltonovské optiky nebo z druhého termodynamického zákona .

Ve volném prostoru

Etendue ve volném prostoru.

Uvažujme světelný zdroj Σ a světelný detektor S , oba jsou prodlouženými povrchy (spíše než diferenciálními prvky) a které jsou odděleny médiem indexu lomu n, které je dokonale průhledné (na obrázku). Aby bylo možné vypočítat konec systému, je třeba vzít v úvahu přínos každého bodu na povrchu světelného zdroje, který vrhá paprsky do každého bodu přijímače.

Podle výše uvedené definice je konec světelného přechodu d Σ směrem k d S dán vztahem:

{\ Displaystyle \ mathrm {d} G _ {\ Sigma} = n^{2} \, \ mathrm {d} \ Sigma \ cos \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma } = n^{2} \, \ mathrm {d} \ Sigma \ cos \ theta _ {\ Sigma} {\ frac {\ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {S}} {d^{2} }}}

kde d Ω _Σ je plný úhel definovaný plochou d S v oblasti d Σ , a d je vzdálenost mezi těmito dvěma oblastmi. Podobně etendue světelného přechodu d S přichází z d Σ je dána vztahem:

{\ Displaystyle \ mathrm {d} G_ {S} = n^{2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {S} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {S} = n^ {2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {S} {\ frac {\ mathrm {d} \ Sigma \ cos \ theta _ {\ Sigma}} {d^{2}}},}

kde d Ω _S je plný úhel definovaný plochou dΣ. Výsledkem těchto výrazů je

{\ Displaystyle \ mathrm {d} G _ {\ Sigma} = \ mathrm {d} G_ {S},}

což ukazuje, že etendue je konzervováno, protože světlo se šíří ve volném prostoru.

Etendu celého systému pak tvoří:

{\ Displaystyle G = \ int _ {\ Sigma} \! \ int _ {S} \ mathrm {d} G.}

Pokud jsou oba povrchy d Σ a d S ponořeny do vzduchu (nebo do vakua), n = 1 a výše uvedený výraz pro etendue lze zapsat jako

{\ Displaystyle \ mathrm {d} G = \ mathrm {d} \ Sigma \, \ cos \ theta _ {\ Sigma} \, {\ frac {\ mathrm {d} S \, \ cos \ theta _ {S} } {d^{2}}} = \ pi \, \ mathrm {d} \ Sigma \, \ left ({\ frac {\ cos \ theta _ {\ Sigma} \ cos \ theta _ {S}} {\ pi d^{2}}} \, \ mathrm {d} S \ right) = \ pi \, \ mathrm {d} \ Sigma \, F _ {\ mathrm {d} \ Sigma \ rightarrow \ mathrm {d} S },}

kde F _{d Σ → d S} je pohled faktor mezi rozdíl povrchy d Σ a d S . Integrace na d Σ a d S má za následek G = π Σ F _{Σ → S,} což umožňuje získat etendu mezi dvěma povrchy z faktorů pohledu mezi těmito povrchy, jak je uvedeno v seznamu faktorů pohledu pro konkrétní případy geometrie nebo v několika učebnice přenosu tepla .

Zachování etend ve volném prostoru souvisí s větou reciprocity pro faktory pohledu .

V lomech a odrazech

Etenda v lomu.

Konzervace etendu diskutovaná výše platí pro případ šíření světla ve volném prostoru, nebo obecněji v médiu, ve kterém je index lomu konstantní. Etendue je však také konzervována v lomech a odrazech. Obrázek „etendue v lomu“ ukazuje nekonečně povrch d S o xy rovině oddělující dvě média o indexu lomu n _å a n _S .

Normální k d S ukazuje ve směru osy z . Přicházející světlo je omezeno na plný úhel d Ω _Σ a dosahuje d S pod úhlem θ _Σ k jeho normálu. Lomené světlo je omezeno na plný úhel d Ω _S a ponechává d S v úhlu θ _S k jeho normálu. Směry přicházejícího a lomeného světla jsou obsaženy v rovině svírající úhel φ k ose x , definující tyto směry v sférické souřadnicové soustavě . S těmito definicemi lze Snellův zákon lomu sepsat jako

{\ Displaystyle n _ {\ Sigma} \ sin \ theta _ {\ Sigma} = n_ {S} \ sin \ theta _ {S},}

a jeho derivát vzhledem k θ

{\ Displaystyle n _ {\ Sigma} \ cos \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ theta _ {\ Sigma} = n_ {S} \ cos \ theta _ {S} \ mathrm {d} \ theta _ {S},}

vynásobené navzájem výsledkem v

{\ Displaystyle n _ {\ Sigma}^{2} \ cos \ theta _ {\ Sigma} \! \ left (\ sin \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ theta _ {\ Sigma} \ , \ mathrm {d} \ varphi \ right) = n_ {S}^{2} \ cos \ theta _ {S} \! \ left (\ sin \ theta _ {S} \, \ mathrm {d} \ theta _ {S} \, \ mathrm {d} \ varphi \ right),}

kde obě strany rovnice byly také vynásobeny d φ, které se na lomu nemění. Tento výraz lze nyní zapsat jako

{\ Displaystyle n _ {\ Sigma}^{2} \ cos \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma} = n_ {S}^{2} \ cos \ theta _ { S} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {S},}

a vynásobením obou stran d S dostaneme

{\ Displaystyle n _ {\ Sigma}^{2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma} = n_ {S}^{ 2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {S} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {S}}

to je

{\ Displaystyle \ mathrm {d} G _ {\ Sigma} = \ mathrm {d} G_ {S},}

což ukazuje, že etenda světla lomeného na d S je zachována. Stejný výsledek platí i pro případ odrazu na povrchu d S , v tomto případě n _Σ = n _S a θ _Σ = θ _S .

Zachování základního záření

Zářivost povrchu souvisí s éterem:

{\ Displaystyle L _ {\ mathrm {e}, \ Omega} = n^{2} {\ frac {\ částečné \ Phi _ {\ mathrm {e}}} {\ částečné G}},}

kde

${\ displaystyle \ Phi _ {\ mathrm {e}}}$ je vyzařovaný, odražený, vysílaný nebo přijímaný sálavý tok ;
n je index lomu, do kterého je tento povrch ponořen;
G je konec světelného paprsku.

Jak světlo prochází ideálním optickým systémem, jsou zachovány jak etue, tak i zářivý tok. Proto základní zář je definována jako:

{\ Displaystyle L _ {\ mathrm {e}, \ Omega}^{*} = {\ frac {L _ {\ mathrm {e}, \ Omega}} {n^{2}}}}

je také konzervován. Ve skutečných systémech může dojít ke zvýšení teploty (například v důsledku rozptylu) nebo snížení zářivého toku (například v důsledku absorpce), a proto může dojít ke snížení základního záření. Avšak étendue se nesmí snižovat a sálavý tok se nemusí zvyšovat, a proto se základní záření nemusí zvyšovat.

Etendue jako objem ve fázovém prostoru

Optická hybnost.

V kontextu hamiltonovské optiky může být v bodě prostoru světelný paprsek zcela definován bodem r = ( x , y , z ) , jednotkovým euklidovským vektorem v = (cos α _X , cos α _Y , cos α _Z ) udávající jeho směr a index lomu n v bodě r . Optická hybnost paprsku v tomto bodě je definována

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = n (\ cos \ alpha _ {X}, \ cos \ alpha _ {Y}, \ cos \ alpha _ {Z}) = (p, q, r),}

kde || p || = n . Geometrie vektoru optické hybnosti je znázorněna na obrázku „optická hybnost“.

V sférickém souřadnicovém systému lze p zapsat jako

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = n \! \ left (\ sin \ theta \ cos \ varphi, \ sin \ theta \ sin \ varphi, \ cos \ theta \ right),}

z nichž

{\ Displaystyle \ mathrm {d} p \, \ mathrm {d} q = {\ frac {\ částečná (p, q)} {\ částečná (\ theta, \ varphi)}} \ \ mathrm {d} \ theta \ , \ mathrm {d} \ varphi = \ left ({\ frac {\ částečný p} {\ částečný \ theta}} {\ frac {\ částečný q} {\ částečný \ varphi}}-{\ frac {\ částečný p } {\ částečné \ varphi}} {\ frac {\ částečné q} {\ částečné \ theta}} \ vpravo) \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi = n^{2} \ cos \ theta \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi = n^{2} \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ Omega,}

a proto pro nekonečně malou oblast d S = d x d y v rovině xy ponořené do média indexu lomu n je etendue dána vztahem

{\ Displaystyle \ mathrm {d} G = n^{2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ Omega = \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} p \, \ mathrm {d} q,}

což je nekonečně malý objem ve fázovém prostoru x , y , p , q . Zachování etendy ve fázovém prostoru je v optice ekvivalentem Liouvilleovy věty v klasické mechanice. Etendue jako objem ve fázovém prostoru se běžně používá v nezobrazovací optice .

Maximální koncentrace

Etendue pro velký pevný úhel.

Uvažujme nekonečně malý povrch d S , ponořený do média indexu lomu n protnutého (nebo vyzařujícího) světla uvnitř kuželu úhlu α . Etendu tohoto světla udává

{\ Displaystyle \ mathrm {d} G = n^{2} \, \ mathrm {d} S \ int \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ Omega = n^{2} dS \ int _ {0 }^{2 \ pi} \! \ Int _ {0}^{\ alpha} \ cos \ theta \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi = \ pi n ^{2} \ mathrm {d} S \ sin ^{2} \ alpha.}

S poznámkou, že n sin α je numerická apertura NA paprsku světla, to lze také vyjádřit jako

{\ Displaystyle \ mathrm {d} G = \ pi \, \ mathrm {d} S \, \ mathrm {NA} ^{2}.}

Všimněte si, že d Ω je vyjádřeno v sférickém souřadném systému . Nyní, pokud je velký povrch S prochází (nebo uvolňuje) světlo rovněž omezeno na kuželu úhel alfa je etendue na světelné křižovatce S je

{\ Displaystyle G = \ pi n ^{2} \ sin ^{2} \ alpha \ int \ mathrm {d} S = \ pi n ^{2} S \ sin ^{2} \ alpha = \ pi S \ , \ mathrm {NA} ^{2}.}

Etendue a ideální koncentrace.

Limit pro maximální koncentraci (na obrázku) je optika se vstupní aperturou S , ve vzduchu ( n _i = 1 ) sbírá světlo v pevném úhlu úhlu 2 α (jeho úhel přijetí ) a odesílá jej do přijímače s menší plochou Σ ponořeného v médiu indexu lomu n , jehož body jsou osvětleny v pevném úhlu 2 β . Z výše uvedeného výrazu je etenda přicházejícího světla

{\ Displaystyle G _ {\ mathrm {i}} = \ pi S \ sin ^{2} \ alpha}

a konec světla dopadajícího na přijímač je

{\ Displaystyle G _ {\ mathrm {r}} = \ pi n ^{2} \ Sigma \ sin ^{2} \ beta.}

Zachování etendy G _i = G _r pak dává

{\ Displaystyle C = {\ frac {S} {\ Sigma}} = n ^{2} {\ frac {\ sin ^{2} \ beta} {\ sin ^{2} \ alpha}},}

kde C je koncentrace optiky. Pro danou úhlovou clonu α přicházejícího světla bude tato koncentrace maximální pro maximální hodnotu sin β , tj. Β = π/2. Maximální možná koncentrace je pak

{\ Displaystyle C _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {n ^{2}} {\ sin ^{2} \ alpha}}.}

V případě, že index incidentů není jednota, máme

{\ Displaystyle G _ {\ mathrm {i}} = \ pi n _ {\ mathrm {i}} S \ sin ^{2} \ alpha = G _ {\ mathrm {r}} = \ pi n _ {\ mathrm {r} } \ Sigma \ sin ^{2} \ beta,}

a tak

{\ Displaystyle C = \ left ({\ frac {\ mathrm {NA} _ {\ mathrm {r}}} {\ mathrm {NA} _ {\ mathrm {i}}}} \ right)^{2}, }

a v limitu nejlepšího případu β = π/2 se to stane

{\ displaystyle C _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {n _ {\ mathrm {r}}^{2}} {\ mathrm {NA} _ {\ mathrm {i}}^{2}}}. }

Pokud by optikou byl místo koncentrátoru kolimátor , směr světla se obrátí a zachování etendue nám dává minimální clonu S pro daný výstupní plný úhel 2 α .

Viz také

Reference

Další čtení

Greivenkamp, John E. (2004). Polní průvodce geometrickou optikou . SPIE Field Guides vol. FG01 . SPIE. ISBN 0-8194-5294-7.
Xutao Sun a kol. , 2006, „Etendue analýza a měření světelného zdroje s eliptickým reflektorem“, Displays (27), 56–61.
Randall Munroe vysvětluje, proč není možné zapálit oheň koncentrovaným měsíčním světlem pomocí argumentu o zachování etendue. Munroe, Randall. „Oheň z Moonlight“ . Co když? . Citováno 28. července 2020 .

Languages

In other projects