Ploché potrubí - Flat manifold

V matematice se říká , že Riemannův variátor je plochý, pokud je jeho tenzor Riemannova zakřivení všude nulový. Intuitivně je plochý rozdělovač ten, který „lokálně vypadá“ jako euklidovský prostor, pokud jde o vzdálenosti a úhly, např. Vnitřní úhly trojúhelníku tvoří až 180 °.

Univerzální kryt z kompletního ploché potrubí je Euclidean prostor. To lze použít k prokázání Bieberbachovy věty ( 1911 , 1912 ), že všechny kompaktní ploché rozdělovače jsou nakonec pokryty tori; 3-dimenzionální případ již dříve prokázal Schoenflies (1891) .

Příklady

Následující rozdělovače mohou být vybaveny plochou metrikou. Všimněte si, že to nemusí být jejich „standardní“ metrika (například plochá metrika na 2-dimenzionálním torusu není metrika vyvolaná jejím obvyklým vložením do ). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

Rozměr 1

Každé jednorozměrné riemannianské potrubí je ploché. Naopak, vzhledem k tomu, že každý spojený jednorozměrný hladký rozdělovač je pro oba diffeomorfní, nebo je snadné vidět, že každý připojený jednorozměrný riemannianský rozdělovač je izometrický k jednomu z následujících (každý se svou standardní riemannovskou strukturou): ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle S^{1},}$

• skutečná linie
• otevřený interval pro nějaké číslo${\ displaystyle (0, x)}$${\ displaystyle x> 0}$
• otevřený interval ${\ displaystyle (0, \ infty)}$
• kruh o poloměru pro nějaké číslo${\ Displaystyle \ {(x, y) \ in \ mathbb {R}^{2}: x^{2}+y^{2} = r^{2} \}}$${\ displaystyle r,}$${\ displaystyle r> 0.}$

Pouze první a poslední jsou kompletní. Pokud jeden obsahuje riemannianské rozdělovače s hranicí, pak musí být zahrnuty také pootevřené a uzavřené intervaly.

Jednoduchost úplného popisu v tomto případě lze přičíst skutečnosti, že každý jednorozměrný riemannianský rozdělovač má hladké vektorové pole jednotkové délky a že izometrie z jednoho z výše uvedených modelových příkladů je zajištěna uvažováním integrální křivky.

Rozměr 2

Pět možností, až po diffeomorfismus

Pokud je hladký dvourozměrný spojený kompletní plochý riemannianský rozdělovač, pak musí být odlišný od Möbiusova proužku nebo Kleinovy ​​láhve . Všimněte si, že jediné kompaktní možnosti jsou a Kleinova láhev, zatímco jediné orientovatelné možnosti jsou a${\ displaystyle (M, g)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2},}$ ${\ Displaystyle S^{1} \ times \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle S^{1} \ times S^{1},}$${\ displaystyle S^{1} \ times S^{1}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2},}$ ${\ Displaystyle S^{1} \ times \ mathbb {R},}$${\ Displaystyle S^{1} \ times S^{1}.}$

Popisovat zřetelné úplné ploché riemannianské metriky v těchto prostorech vyžaduje více úsilí. Například má dokonce mnoho různých metrik plochých produktů, protože dva faktory mohou mít různé poloměry; proto má tento prostor dokonce různé metriky plochých produktů, které nejsou izometrické až do faktoru měřítka. Abychom mohli jednotně hovořit o pěti možnostech, a zejména konkrétně pracovat s Möbiusovým proužkem a Kleinovou lahví jako abstraktními varietami, je užitečné použít jazyk skupinových akcí. ${\ displaystyle S^{1} \ times S^{1}}$

Pět možností, až do izometrie

Vzhledem k tomu, pustíte a označují překlad dán Let naznačovat odrazu dán dána dvě kladná čísla vzít v úvahu následující podskupiny skupiny isometries ze s jeho standardní metrický. ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in \ mathbb {R} ^{2},}$${\ displaystyle T _ {(x_ {0}, y_ {0})}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{2} \ to \ mathbb {R} ^{2}}$${\ Displaystyle (x, y) \ mapsto (x+x_ {0}, y+y_ {0}).}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{2} \ to \ mathbb {R} ^{2}}$${\ Displaystyle (x, y) \ mapsto (x, -y).}$${\ displaystyle a, b,}$${\ displaystyle \ operatorname {Isom} (\ mathbb {R} ^{2}),}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$

• ${\ displaystyle G_ {e} = \ {T _ {(0,0)} \}}$
• ${\ Displaystyle G _ {\ text {cyl}} (a) = \ {T _ {(an, 0)}: n \ in \ mathbb {Z} \}}$
• ${\ Displaystyle G _ {\ text {tor}} (a, b) = \ {T _ {(na, mb)}: m, n \ in \ mathbb {Z} \}}$ pokud ${\ Displaystyle a <b.}$
• ${\ Displaystyle G _ {\ text {Moeb}} (a) = \ {T _ {(2na, 0)}: n \ in \ mathbb {Z} \} \ cup \ {T _ {((2n+1) a, 0)} \ circ R: n \ in \ mathbb {Z} \}}$
• ${\ Displaystyle G _ {\ text {KB}} (b) = \ {T _ {(2na, bm)}: n, m \ in \ mathbb {Z} \} \ cup \ {T _ {((2n+1) a, bm)} \ circ R: n, m \ in \ mathbb {Z} \}}$

Všechny tyto skupiny jednají volně a řádně diskontinuálně, a tak různé prostorové komety mají přirozeně strukturu dvourozměrných kompletních plochých riemannianských variet. Žádný z nich není navzájem izometrický a jakýkoli hladký dvourozměrný úplný plochý spojený Riemannovský rozdělovač je izometrický k jednomu z nich. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2},}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{2}/G}$

Orbifolds

Existuje 17 kompaktních 2-dimenzionálních orbifoldů s plochou metrikou (včetně torusové a Kleinovy ​​lahve) uvedených v článku o orbifolds , které odpovídají 17 skupinám tapet .

Poznámky

Všimněte si toho, že standardní 'obrázek' torusu jako koblihy nepředstavuje plochou metriku, protože body nejvzdálenější od středu mají kladné zakřivení, zatímco body nejblíže středu mají negativní zakřivení. Podle Kuiperovy formulace Nashovy věty o vložení existuje vložení, které indukuje některou z plochých metrik produktu, které existují, ale nejsou snadno viditelné. Vzhledem k tomu, že je prezentován jako vložený dílčí rozdělovač jakékoli z (plochých) struktur produktů, jsou přirozeně prezentovány jako dílčí rozdělovače Podobně, standardní trojrozměrné vizualizace Kleinovy ​​láhve nepředstavují plochou metriku. Standardní konstrukce pásu Möbius lepením konců pásu papíru k sobě skutečně dává plochou metriku, ale není úplná. ${\ displaystyle C^{1}}$${\ Displaystyle S^{1} \ times S^{1} \ to \ mathbb {R}^{3}}$${\ displaystyle S^{1} \ times S^{1},}$${\ displaystyle S^{1}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2},}$${\ displaystyle S^{1} \ times S^{1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{2} \ times \ mathbb {R} ^{2} = \ mathbb {R} ^{4}.}$

Rozměr 3

K dispozici je 6 orientovatelných a 4 neorientovatelné kompaktní ploché 3 rozdělovače, což jsou všechny prostory vláken Seifert ; jsou to skupin kvocientu z od 10 bez kroucení krystalografických skupin . K dispozici jsou také 4 orientovatelné a 4 neorientovatelné nekompaktní prostory. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

Orientovatelný

10 orientovatelných plochých 3 rozdělovačů je:

1. Euklidovské 3-prostor , .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$
2. 3-torus , vyrobený slepením vzájemně opačné plochy krychle .${\ displaystyle T^{3}}$
3. Rozdělovač vyrobený lepením protilehlých ploch krychle s 1/2 kroucením na jeden pár.
4. Rozdělovač vyrobený lepením protilehlých ploch krychle s otočením o 1/4 na jeden pár.
5. Rozdělovač vyrobený lepením protilehlých ploch šestihranného hranolu s otočením 1/3 na šestihranných plochách.
6. Rozdělovač vyrobený lepením protilehlých ploch šestihranného hranolu s otočením 1/6 na šestihranných plochách.
7. Hantzsche-Wendt mnohonásobně .
8. Rozdělovač vytvořený jako prostor mezi dvěma rovnoběžnými rovinami, které jsou slepeny dohromady.${\ Displaystyle S ^{1} \ times \ mathbb {R} ^{2}}$
9. Rozdělovač vyrobený lepením protilehlých stěn nekonečného čtvercového komína .${\ Displaystyle T^{2} \ times \ mathbb {R}}$
10. Rozdělovač vyrobený lepením protilehlých stěn nekonečného čtvercového komína s 1/2 kroucením na jeden pár.

Neorientovatelný

Vyšší rozměry

• Euklidovský prostor
• Tori
• Produkty plochých rozvodů
• Množství plochých potrubí podle skupin jednajících volně.

Vztah k přístupnosti

Mezi všemi uzavřenými varietami s kladným zakřivením průřezu jsou ploché rozvody charakterizovány jako přesně ty s přístupnou základní skupinou .

Je to důsledek Adams- Ballmannovy věty (1998), která tuto charakteristiku zavádí v mnohem obecnějším nastavení diskrétních kokompaktních skupin izometrií Hadamardových prostorů . To poskytuje dalekosáhlé zobecnění Bieberbachovy věty .

Předpoklad diskrétnosti je v Adamsově-Ballmannově větě zásadní: v opačném případě musí klasifikace zahrnovat symetrické prostory , budovy Bruhat-Tits a stromy Bass-Serre s ohledem na „neurčitou“ Bieberbachovu větu Caprace- Monod .

Viz také

• Prostorové formy
• Krystalografické skupiny
• Ricciho ploché potrubí
• Konformně ploché potrubí
• Affine potrubí

Reference

• Bieberbach, L. (1911), „Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume I“, Mathematische Annalen , 70 (3): 297–336, doi : 10,1007/BF01564500.

• Bieberbach, L. (1912), „Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume II: Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich“ , Mathematische Annalen , 72 (3): 400–412, doi : 10,1007/BF01456724.

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Základy diferenciální geometrie. Sv. I (Dotisk původního vydání z roku 1963), New York: John Wiley & Sons, Inc., s. 209–224, ISBN 0-471-15733-3
• Schoenflies, A. (1891), Kristallsysteme und Kristallstruktur , Teubner.

• Vinberg, EB (2001) [1994], „Krystalografická skupina“ , Encyklopedie matematiky , EMS Press

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Ploché potrubí“ . MathWorld .

Reference